人教版数学九年级上册21.2.1 第2课时 用配方法解一元二次方程课件（20张）

第2课时　用配方法解一元二次方程
一、教学目标
1．掌握配方法和指导过程，能使用配方法解一元二次方程．
2．通过降次的思想解方程，掌握一些转化的技能．
重点
难点
二、教学重难点
配方法的解题步骤．
用配方法解系数不为1的一元二次方程．
活动1 新课导入
三、教学设计
1．填空：
(1) x2＋6x＋____＝(x＋____)2 ;
9
3
2．若x2－mx＋64是一个完全平方式，则m的值是____.
±16
活动2 探究新知
探 究
怎样解方程 x2+6x+4=0？
我们已经会解方程(x+3)?=5.因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程.那么，能否将方程x2+6x+4=0转化为可以直接降次的形式再求解呢？
解方程x2+6x+4=0的过程可以用下面的框图表示：
x2+6x+4=0
x2+6x=-4
x2+6x+9=-4+9
(x+3)?=5
x+3=±
x+3= ，或x+3= -
x1= -3+ ，x2= -3-
移项
两边加9（即（ ）?） 使左边配成x2+2bx+b?的形式
左边写成完全平方公式
降次
解一次方程
为什么在方程x2+6x=-4的两边加9？加其他数行吗？
可以验证，-3± 是方程x2+6x+4=0的两个根。
像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元二次方程来解。
提出问题：
(1)请把方程(x＋3)2＝5化成一般形式，然后与所探究中的方程进行比较，你有什么发现？
(2)如何将方程x2＋6x＋4＝0化成(x＋3)2＝5的形式呢？
(3)把常数项移到方程右边之后，为什么要在x2＋6x＝－4的两边都加上9？加其他数行吗？
(4)通过x2＋6x＋4＝0的解题过程，你能说说配方的一般步骤是什么吗？配方的关键是什么吗？
2．解方程3x2－2x－1＝0.
提出问题：
(1)如果一个一元二次方程的二次项系数不为1，还能用配方法来解吗？
(2)请将方程3x2－2x－1＝0的二次项系数化为1，并尝试解此方程；
(3)由此请你再归纳一下用配方法解一元二次方程的一般步骤．
活动3 知识归纳
1．通过配成________形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
2．对于任意一元二次方程，用配方法解的一般步骤：①先化成________；②将常数项移到等式右边；③两边除以__________；④方程两边都加上____________
________；⑤将等式左边化成_____________；⑥两边开方，并求出方程的解．
完全平方
一般形式
二次项系数
一次项系数一
半的平方
完全平方形式
提出问题：
(1)配方过程中，在等式两边加上的常数与一次项系数的关系如何？
(2)配方过程中，若等号右边为负数，这个方程有没有实数根？
(3)配方过程中还需注意哪些问题？
活动4 例题与练习
例1.解下列方程：
（1）x2-8x+1=0；（2）2x2+1=3x; （3）3x2-6x+4=0
分析：（1）方程的二次项系数为1，直接运用配方法.
（2）先把方程化成2x2-3x+1=0.它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2.
（3）与（2）类似，方程的两边都除以3后再配方.
解：（1）移项，得
x2－8x=－1,
配方，得
x2－8x+42=－1+42 ,
( x－4)2=15
由此可得
即
配方，得
由此可得
二次项系数化为1，得
解：移项，得
2x2－3x=－1,
即
配方，得
解：移项，得
二次项系数化为1，得
即
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x-1)?都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根。
例2　求证：无论x为何值，代数式2x2－4x＋3的值恒大于0.
证明：2x2－4x＋3
＝
＝
＝ 2(x－1)2＋1.
∵(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋1＞0，
∴无论x为何值，代数式2x2－4x＋3的值恒大于0.
提出问题：
二次三项式的配方与一元二次方程的配方有什么区别，请指出具体区别在什么地方？
二次三项式配方时，不能除以二次项的系数，只能提取二次项的系数，并添上括号，再用配方法构造一个完全平方式；而一元二次方程配方时，两边除以二次项系数后，再用配方法构造一个完全平方式．
练 习
1．教材P9　练习第1，2题．
2．代数式x2－8x＋18的值(　　)
A．恒为正　　 　B．恒为负　　　
C．可能为0　　 　D．不能确定
3．把方程2x2＋6x－1＝0配方后得(x＋m)2＝k，则m＝____，k＝____．
A
4．式子－x2－4x－5，可配方为－(x＋____)2____，该式有最____值，是____．
5．试证明：无论a为何实数，关于x的方程(a2－8a＋17)x2＋2ax＋1＝0都是一元二次方程．
证明：∵a2－8a＋17＝(a－4)2＋1＞0，
∴无论a为何实数，该方程都是一元二次方程．
2
－1
大
－1