人教版数学九年级上册21.2.2 公式法课件（21张）

21.2.2　公式法
一、教学目标
1．理解一元二次方程求根公式的推导．
2．会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程．
重点
难点
二、教学重难点
求根公式的推导和公式法的应用．
一元二次方程求根公式的推导．
活动1 新课导入
三、教学设计
用配方法解方程：
x2＋3x＋2＝0； (2) 2x2－3x－5＝0.
解：(1) x1＝－1，x2＝－2；
(2) x1＝－1，x2＝ .
任何一个一元二次方程都可以写成ax2＋bx＋c＝0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？
活动2 探究新知
探究：
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
ax2+bx+c=0(a≠0). (Ⅲ)
能否也用配方法得出(Ⅲ)的解呢？
二次项系数化为1，得
解:
移项，得
配方，得
即
我们可以根据配方法解一元二次方程的经验来解决这个问题
ax2+bx+c=0 (a≠0).
因为a≠0，所以4a2＞0.式子b?-4ac的值有以下三种情况.
（1）b2-4ac＞0

这时 ＞0，由①得
方程有两个不等的实数根
(2) b?-4ac=0
这时 =0，由①可知，方程有两个相等的实数根
(3) b?-4ac＜0
这时 ＜0，由①可知 ，而x取任何实数都不能使 ，因此方程无实数根.
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“△”表示它，即△=b2-4ac。
归纳
由上可知，当△＞0时，方程ax?+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根；
当△＝0时，方程ax?+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
当△＜0时，方程ax?+bx+c=0(a≠0)无实数根。
提出问题：
(1)运用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
(2)请结合“步骤”解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，移项得____________，二次项系数化为1得____________，两边同时加一次项系数一半平方得__________________.左边写成完全平方式，右边整理得_______________；
(3) 两边能直接开平方求解吗？为什么？你觉得应该怎么办？
ax2＋bx＝－c
活动3 知识归纳
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当__________时，x＝ ，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的_________．
2．式子_______叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式．Δ＞0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) __________
__________；Δ＝0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) _______
__________；Δ＜0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) __________．
没有实数根
b2－4ac≥0
求根公式
b2－4ac
有两个不相
等的实数根
有两个相
等的实数根
提出问题：
(1)一元二次方程根的情况是由什么决定的？
(2)用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？需要注意什么问题？
活动4 例题与练习
例1：用公式法解下列方程
(1) x2-4x-7=0; (2) 2x2- +1=0;
(3) 5x2-3x=x+1; (4) x2+17=8x.
解：(1) a=1,b=-4,c=-7.
△=b2-4ac=(-4)2-4 ×1 ×(-7)=44＞0
方程有两个不等的实数根
即
确定a,b,c的值时，要注意它们的符号。
解：(2) a=2，b= ，c=1.
△=b2-4ac=( )2-4 ×2 ×1=0
方程有两个相等的实数根
解：(3) 方程化为5x2-4x-1=0.
a=5，b= -4，c=-1.
△=b2-4ac=( -4 )2-4 ×5 ×(-1)=36＞0
方程有两个不等的实数根
即
解：(4) 方程化为 x2-8x+17=0.
a=1，b= -8，c=17.
△=b2-4ac=( -8 )2-4 ×1 ×17=-4＜0
方程无实数根.
例2　不解方程，判断下列方程的根的情况．
(1) x2－2x＋1＝0；
(2) 3x2＋4x＋5＝0；
(3) －x2＋7x＋6＝0.
解：(1) b2－4ac＝0，
∴方程有两个相等的实数根；
b2－4ac＝－44＜0，
∴方程无实数根；
b2－4ac＝73＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
例3　关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
解：(1)依题意，得Δ＝(2m＋1)2－4(m2－1)＝4m＋5＞0，解得m＞－ ；
(2)答案不唯一，如：m＝1.此时方程为x2＋3x＝0，解得x1＝－3，x2＝0.
练 习
1．教材P12　练习第1，2题．
2．关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个相等的实根，则(　　)
A．k＝－4　　B．k＝4　　C．k≥－4　　D．k≥4
B
3．关于x的一元二次方程x2＋ax－1＝0的根的情况是
(　　)
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
4．若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．
D
m＞－4