人教版数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件（19张）

*21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系
一、教学目标
1．了解一元二次方程的根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数．
2．在不解一元二次方程的情况下，会求直接(或变形后)含有两根与两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的思想．
重点
难点
二、教学重难点
一元二次方程的根与系数的关系．
让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系．
活动1 新课导入
三、教学设计
(1)一元二次方程的一般形式：_________________；
(2)一元二次方程的求根公式：
___________________________；
(3)一元二次方程的系数与根有着密切的关系，今天让我们进一步研究一元二次方程的根与系数a，b，c之间的关系．
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
活动2 探究新知
1．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1＋x2，x1·x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
一元二次方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2
x2＋6x－16＝0
x2－2x－5＝0
2x2－3x＋1＝0
5x2＋4x－1＝0
－8
2
－6
－16
2
－5
1
－1
思 考 1
从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，
得方程 x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=- (x1+x2)，常数项q=x1x2 .
于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：
x1+x2=-p，x1x2=q.
提出问题：
(1)将方程(x－x1)(x－x2)＝0化成一般形式为
____________________；
(2)将一般形式与x2＋px＋q＝0进行比较，由此可得p＝_________，q＝____．即x1＋x2＝___，x1x2＝____；
(3)请归纳方程x2＋px＋q＝0的两根x1，x2与系数p，q之间的关系．
q
x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0
－(x1＋x2)
x1x2
－p
思 考 2
一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
根据求根公式可知，
由此可得
因此，方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比。
提出问题：
(1)如果一元二次方程的二次项系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？你能证明你的猜想吗？
(2)由求根公式可知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，两根分别为
观察两式右边，分母相同，分子是 .两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？x1＋x2＝____，x1x2＝____．
(3)由此你能得出方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有怎样的关系吗？把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两边同时除以a，能否得出该结论？为什么？
活动3 知识归纳
若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则有
即：任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于__________________________________，两个根的积等于______________________．
提出问题：
(1)方程的根是由什么决定的？
(2)在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ＝b2－4ac≥0呢？为什么？
一次项系数与二次项系数的比的相反数
常数项与二次项系数的比
活动4 例题与练习
例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
(1) x2-6x-15=0； (2) 3x2+7x-9=0；
5x-1=4x2；
解：(1) x1+x2=-(-6)=6，x1x2=-15.
(2) x1+x2= ，
(3) 方程化为4x2-5x+1=0.
例2　已知a，b为实数，且满足a2－2a－1＝0，b2－2b－1＝0，求 的值．
解：当a＝b时， ＝2.当a≠b时，a，b可看作方程x2－2x－1＝0的两根，则a＋b＝2，ab＝－1，因此
.因此
的值为2或－6.
练 习
1．教材P16　练习．
2．已知一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两根为m，n，则m2＋n2＝____．
3．设一元二次方程x2－7x＋3＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝____，x1x2＝____，(x1－2)(x2－2)＝____．
7
3
－7
4．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求实数m的取值范围；
(2)是否存在m使得 ＝0成立？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵原方程有两个实数根，∴Δ＝(2m－1)2－4m2＝4m2－4m＋1－4m2＝－4m＋1≥0，∴ ；
(2)假使存在实数m使得x－x＝0，∴x1＋x2＝0或x1＝x2.当x1＋x2＝0时，－(2m－1)＝0，∴m＝ (舍)；当x1＝x2时，Δ＝0，∴ .