人教版数学九年级上册22.2 二次函数与一元二次方程课件 （23张）

22.2　二次函数与一元二次方程
一、教学目标
1．知道二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．
2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，体会数形结合思想．
重点
难点
二、教学重难点
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间的联系，利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
一元二次方程根的情况与二次函数图象与x轴位置关系的联系．
活动1 新课导入
三、教学设计
1．若一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，1)，(1，0)，则方程kx＋b＝0的解是_____．
2．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝－3的解是________．
x＝－2
x＝1
3．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y取一个确定值时，它就变成了一个一元二次方程，由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关系．那么，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间到底有怎样的关系呢？通过本节课的学习我们将能解决这个问题．
活动2 探究新知
1、问题 如图，以40m/s的速度将小球沿地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系
h=20t-5t?.
考虑以下问题：
(1) 小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
(2) 小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
(3) 小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？为什么？
(4) 小球从飞出到落地要用多少时间？
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h=20t-5t?，所以可以将问题中h的值带入函数解析式，得到关于t的一元二次方程。如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h 的值。
解：（1）解方程
15=20t-5t?，
t?-4t+3=0，
t1=1,t2=3.
当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m。
（2）解方程
20=20t-5t?，
t?-4t+4=0，
t1=t2=2.
当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m。
你能结合图指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗？
你能结合图指出为什么只在一个时间小球的高度为20m吗？
（3）解方程
20.5=20t-5t?，
t?-4t+4.1=0，
因为(-4)?-4×4.1＜0，所以方程无实数根。这就是说，小球的飞行高度达不到20.5m。
（4）解方程
0=20t-5t?，
t?-4t=0，
t1=0,t2=4.
当小球飞行0s和4s时，它的高度为0m。这表明小球从飞出到落地要用4s。从图来看，0s时小球从地面飞出，4s是小球落回地面。
提出问题：
(1)小球的飞行高度能否达到15 m，20 m，20.5 m？就是要判断哪一个一元二次方程是否有解？
(2)请将函数h＝20t－5t2化成顶点式，并解释小球飞行高度能否达到15 m，20 m，20.5 m；
(3)为什么小球飞行高度达到15 m有两个时间，而飞行高度达到20 m只有一个时间，请从方程和函数角度分别给出解释；
(4)请结合本问题谈谈二次函数与一元二次方程的关系．
2、思考
下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
y=x2+x-2；
y=x2-6x+9；
(3) y=x2-x+1；
这些函数的图象如图所示。
可以看出：
（1）抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1.当x取公共点的横坐标时，函数值是0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1.
（2）抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x=3时，函数值是0.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3.
（3）抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点。由此可知，方程x2-x+1=0没有实数根。
提出问题：
(1)由图可以看出抛物线y＝x2＋x－2与x轴有几个公共点？它们的横坐标分别是什么？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此得出方程x2＋x－2＝0的根为多少？
(2)由图可以看出抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有几个公共点？公共点的横坐标是多少？当x为多少时，函数值是0？由此得出方程x2－6x＋9＝0的根为多少？
(3)由图可以看出抛物线y＝x2－x＋1与x轴有没有公共点？由此得出方程x2－x＋1＝0的根如何？
(4)你能由此总结归纳出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系吗？
活动3 知识归纳
一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可得如下结论：
(1)如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标为x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根；
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：无实数根、有两个相等的实数根、有两个不相等的实数根．
活动4 例题与练习
例1 利用函数图象求方程x?-2x-2=0的实数根(结果包里小数点后一位)。
解：画出函数y=x?-2x-2的图象，
它与x轴的公共点的横坐标大约
是-0.7,2.7。
所以方程x?-2x-2=0的实数根为
x1≈-0.7， x2≈2.7，
例2　如图，已知直线y＝－ x与抛物线y＝－ x2＋6交于A，B两点．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)－ x2＋6＞－ x的解集为______________；
(3)－ x2＋6＜－ x的解集为______________．
解：(1) A(6，－3)，B(－4，2)；
(2) －4＜x＜6；
(3) x＜－4或x＞6
例3　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，请根据图象信息回答问题：
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两根；
(2)写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；
(3)写出方程ax2＋bx＋c＝2.5的两根；
(4)写出不等式ax2＋bx＋c＜2.5的解集；
(5)若方程ax2＋bx＋c＋1－k＝0有两个
不相等的实数根，求k的取值范围．
解：(1) x1＝0，x2＝4；(2) x＜0或x＞4；
(3) x1＝－1，x2＝5；(4) －1＜x＜5；(5) k＞－1.
练 习
1．教材P47　习题22.2第1，2题．
2．下列抛物线中，与x轴有两个交点的是(　　)
A．y＝3x2－9x＋3　　　　　　　
B．y＝2x2－4x＋12
C．y＝x2－6x＋9
D．y＝5x2－3x＋9
A
3．根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解的范围是(　　)
?
A．3＜x＜3.23　　　　 　B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25　　　　D．3.25＜x＜3.26
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2＋bx＋c
－0.06
－0.02
0.03
0.09
C
4．若二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解为x1＝3，另一个解为x2＝____，不等式－x2＋2x＋k＜0的解集为_____________．
x＜－1或x＞3
－1