22.3 第3课时 二次函数与拱桥问题课件17 PPT

第3课时　二次函数与拱桥问题
一、教学目标
1．让学生能够用二次函数知识解决拱桥问题．
2．让学生能够根据实际问题构建二次函数模型．
重点
难点
二、教学重难点
建坐标系解决拱桥问题．
建立适当的坐标系解决抛物线形实际问题．
活动1 新课导入
三、教学设计
现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥(如图)吧？能不能利用二次函数的知识解决与之相关的问题呢？
活动2 探究新知
探究3
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？
分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数。为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系。
解：设这条抛物线表示的二次函数为y=ax?.
由抛物线经过点(2，-2)，可得
-2= a×2?，
这条抛物线表示的二次函数为
当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3。请你根据上面的函数解析式求出这是的书面宽度。
水面下降1m，水面宽度增加_________m。
提出问题：
(1)对于抛物线形拱桥，要是能知道此抛物线的解析式就好了．你能确定这条抛物线的表达式吗？
(2)水面下降1 m的含义是什么？怎样把距离转化成坐标？如何求宽度增加多少？你能先在图中建立一个恰当的平面直角坐标系，使抛物线形拱桥转化为坐标系中的抛物线吗？
(3)你还有其他的解决方法吗？
活动3 知识归纳
1．将线段长度转化为点的坐标问题．
2．利用点的坐标以及抛物线的特点，设出函数解析式并求解．
3．利用函数解析式求点的坐标，转化为线段的长度．
活动4 例题与练习
例1　如图①，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20 m，顶点M距水面6 m(即MO＝6 m)，小孔顶点N距水面4.5 m(即NC＝4.5 m)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图②中的平面直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF.
图①　　　　　 　图②
解：设大孔对应的抛物线的函数解析式为y＝ax2＋6.
依题意，得B(10，0)，
∴a×102＋6＝0，
解得a＝－0.06，即y＝－0.06x2＋6.
当y＝4.5时，－0.06x2＋6＝4.5，解得x＝±5.
∴DE＝DF＝5 m，
∴EF＝10 m，即水面宽度EF为10 m.
例2　如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方A，B距地面高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子C处，求绳子的最低点距地面的距离为多少米？
解：建立如图所示的平面直角坐标系．可设它的函数解析式为y＝ax2＋k.把B(1，2.5)，C(－0.5，1)代入，可求得a＝2，k＝0.5，
∴抛物线的解析式为y＝2x2＋0.5.
∵a＝2＞0，
∴y有最小值，
∴当x＝0时，y最小＝0.5.
答：绳子的最低点距地面的距离为0.5 m.
练 习
1．欢欢在今年的校运会跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数h＝3.5t－4.9t2(t的单位：s，h的单位：m)可以描述她跳跃时重心高度随时间的变化关系，则她起跳后到重心到达最高时所用的时间是____s.
2．某学校九年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高 m，与篮圈中心的水平距离为7 m，当球出手后水平距离为4 m时到达最大高度4 m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3 m.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
(2)此时，若对方队员乙在甲面前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1 m，则他能否获得成功？
解：(1)能投中；
(2)当x＝1时，y＝3＜3.1，
∴能成功．