人教版数学九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径课件（15张）

24.1.2　垂直于弦的直径
一、教学目标
1．探索并了解圆的对称性和垂径定理．
2．能运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并会解决一些实际问题．
重点
难点
二、教学重难点
垂径定理、推论及其应用．
发现并证明垂径定理．
活动1 新课导入
三、教学设计
1．请同学们把手中的圆对折，你会发现圆是一个什么样的图形？
答：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是圆的对称轴．
2．请同学们再把手中的圆沿直径向上折，折痕是圆的一条什么呢？通过观察，你能发现直径与这条折痕的关系吗？
答：折痕是圆的一条弦，直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
活动2 探究新知
1、探究
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？
通过探究可以发现，圆是对称轴
图形，任何一条直径所在的直线都是
圆的对称轴，下面我们来证明这个结论.
要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上。
如图6，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点，过点A作AA’⊥CD，交⊙O于点A’，垂足为M，连接OA， OA’.
在△OAA’中，
∵ OA=OA’，
∴ △OAA’是等腰三角形.
又∵ AA’⊥CD，∴ AM =MA’
即CD是AA’的垂直平分线.
提出问题：
(1)通过上面的折纸，圆是轴对称图形吗？有几条对称轴？
(2)“圆的任意一条直径都是它的对称轴”这种说法对吗？若不对，应该怎样说？
2．教材P82　例2以上内容．
提出问题：
(1)证明了圆是轴对称图形后，观察图24.1－6，对应线段、对应弧之间有什么关系？由此可得到什么结论？
(2)若把P81的条件“直径CD⊥AA′于点M”改为“直径CD平分弦AA′(不是直径)于点M”，还能证明出图形是轴对称图形吗？此时对应线段、对应弧之间有什么关系？
(3)当第(2)问中的弦AA′为直径时，相关结论还成立吗？为什么？
活动3 知识归纳
1．圆是__对称图形，任何一条______________都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为____．
2．垂直于弦的直径____弦，并且____弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：
① _______________________________；
② __________________；
那么可以推出：
③ ________；
④ CB＝DB；
⑤ CA＝DA.
轴
直径所在的直线
圆心
平分
平分
AB经过圆心O且与圆交于A，B两点
AB⊥CD交CD于点E
CE＝DE
(
(
(
(
3．_______________的直径垂直于弦，并且____弦所对的两条弧．
提出问题：
“推论”里的被平分的弦为什么不能是直径？
平分
平分弦(不是直径)
活动4 例题与练习
例1
赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形。
解：如图8，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R。
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，连接OA，根据垂径定理，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高。
由题设可知：AB=37，CD=7.23.
所以 AD= AB= ×37=18.5.
OD=OC-CD=R-7.23.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA?=AD?+OD?
即 R?=18.5?+(R-7.23)?. 解得R≈27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m。
(
(
(
(
例2 如图，D，E分别为AB，AC的中点，DE交AB，AC于点M，N.求证：AM＝AN.
证明：连接OD，OE分别交AB，AC于点F，G.
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴∠DFM＝∠EGN＝90°.
∵OD＝OE，
∴∠D＝∠E，
∴∠DMB＝∠ENC.
∵∠DMB＝∠AMN，∠ENC＝∠ANM，
∴∠AMN＝∠ANM，∴AM＝AN.
(
(
(
(
练 习
1．教材P83　练习第1，2题．
2．已知弓形的弦长为6 cm，弓形的高为2 cm，则这个弓形所在的圆的半径为______．
?3．如图，AB为⊙O的直径，E是BC的中点，OE交BC于点D，BD＝3，AB＝10，则AC＝____．
cm
8
4．如图，⊙O中弦CD交半径OE于点A，交半径OF于点B，若OA＝OB，求证：AC＝BD.
证明：过点O作OG⊥CD于点G.
∵OG过圆心，∴CG＝DG.
∵OA＝OB.
∴AG＝BG，
∴CG－AG＝DG－BG，
∴AC＝BD.