3.1.1函数的概念及其表示第2课时 课件26张PPT

函数的概念及其表示
第二课时

问题1　在上一小节里，我们重新学习了函数的概念，请你默写这个概念．
对于数集A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作
y＝f（x），x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．
复习引入

问题2　研究函数时我们经常会用到区间的概念，请同学们阅读课本第64页的相关内容，试着完成下列两个表格：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
{x|a＜x＜b}
{x|a≤x＜b}
{x|a＜x≤b}
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
［a，b］
（a，b）
［a，b）
（a，b］
新知探究

{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}定义
名称
数轴表示
{x|x≥a}
{x|x＞a}
{x|x≤b}
{x|x＜b}
［a，＋∞）
（a，＋∞）
（－∞，b］
（－∞，b）
新知探究
问题2　研究函数时我们经常会用到区间的概念，请同学们阅读课本第64页的相关内容，试着完成下列两个表格：

追问1　区间的左端点a与右端点b的关系是什么？
a＜b．
追问2　区间与数轴之间的关系是什么？
任何区间均可在数轴上表示出来，区间中的每个元素对应数轴上的一个点．
追问3　学习区间的意义是什么？
区间表示连续性的数集，为我们研究函数的定义域、值域提供方便．
新知探究

例1　已知函数f（x）＝ ，
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求f（－3），f（ ）的值；
（3）当a＞0时，求f（a），f（a－1）的值．
解得：x≥－3且x≠－2．
所以函数f（x）的定义域为[－3，－2）∪（－2，＋∞）．
解：（1）要使该函数有意义，则需
新知探究

（2）求f（－3），f（ ）的值；
解：（2）将－3与 代入解析式，有
新知探究
例1　已知函数f（x）＝ ，

（3）当a＞0时，求f（a），f（a－1）的值．
解：（3）因为a＞0时，所以f（a），f（a－1）有意义．
新知探究
例1　已知函数f（x）＝ ，

追问1　如何求解函数的定义域？
当已知解析式 y＝f（x），
那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合．
比如：①偶次方根中被开方数非负；
②分式中分母不能为0；
③0次幂式中底数不能为0；
④在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体量的允许值范围．
新知探究

追问2　f（x）＝ 与y＝ 的含义相同，都是给出了一个函数的解析式，用f（x）替换y之后有什么优势？
在y＝ 中，要表示－3对应的函数值，
我们一般都需要这样描述：当x＝－3时，y＝－1；
而在f（x）＝ 中，我们只需要用 f（－3）＝－1表示即可．
新知探究

追问3　f（x）与f（a）有何区别与联系？
f（a）表示当自变量x＝a时的函数值，是一个确定的数，
而f（x）表示变量，f（a）是f（x）的一个特殊值．
新知探究

追问4　能说说你对记号“y＝f（x）”的理解吗？
在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用符号f(x)外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示．
首先它不能理解为“y等于f与x的乘积”，
它是“y是x的函数”的符号表示，
具体而言是：变量x在对应关系f的作用下对应到y．
新知探究

例2　下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数？
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
解：（1） （x∈[0，＋∞）），
它与函数y＝x（x∈R）虽然对应关系相同，
但是定义域不相同，
所以这个函数与函数y＝x（x∈R）不是同一个函数．
新知探究

（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
解：（2） （v∈R），
它与函数y＝x（x∈R）不仅对应关系相同，
而且定义域也相同，
所以这个函数与函数y＝x（x∈R）是同一个函数．
新知探究
例2　下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数？

（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
解： （3）
它与函数y＝x（x∈R）虽然定义域都是实数集R，
但是当x＜0时，它的对应关系与y＝x（x∈R）不相同，
所以这个函数与函数y＝x（x∈R）不是同一个函数．
新知探究
例2　下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数？
例2　下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数？

（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
解： （4） （n∈（－∞，0）∪（0，＋∞）），
它与函数y＝x（x∈R）的对应关系相同但定义域不相同，
所以这个函数与函数y＝x（x∈R）不是同一个函数．
新知探究

追问1　两个函数相等的含义是什么？
函数的三要素都相等．
值域是由定义域和对应关系决定的，
所以只要两个函数的定义域和对应关系一致，这两个函数就相等．
新知探究

追问2　你能总结判断两个函数是否相同的步骤吗？
先求函数的定义域，如果定义域不相同，
则不是相同函数，结束判断；
如果相等，则判断对应关系是否相同，
定义域和对应关系均相等才能得出相等的结论．
新知探究

追问3　你如何理解函数u＝ 的对应关系?
所以对于R中的任一实数v，
通过对应关系u＝v，在R中都有唯一的一个实数u与之对应，
因为u＝v，所以就是任一实数与它本身的对应．
因为u＝ ＝v（v∈R），
新知探究

追问4　你能结合函数的图象验证你的判断吗？
只有图（2）中的图象与y=x的图象完全相同.
新知探究

问题3　请同学们回顾本节课的内容，回答下列问题：
归纳小结
（1）区间是表示什么的符号？
（2）在判断两个函数是否相同时，我们需要注意什么？
区间是用于表示连续数集的符号．
定义域相同是函数相等的先决条件，需要优先判断；对应关系相等与否不在于解析式用什么字母符号表示，而在于同一自变量对应的函数值是否相等．

作业：教科书习题3.1第2，4，5，17题．
作业布置

求下列函数的定义域：
目标检测
（1）f（x）＝ ； （2）f（x）＝ ．
答案：（1）（－∞，－ ）∪（－ ，＋∞）；（2）[－3，1]．
1

目标检测
已知函数f（x）＝3x3＋2x，
（1）求f（2），f（－2），f（2）＋f（－2）的值；
（2）求f（a），f（－a），f（a）＋f（－a）的值．
答案：（1）f（2）＝28，f（－2）＝－28，f（2）＋f（－2）＝0；
（2）f（a）＝3a3＋2a，f（－a）＝－3a3－2a，
f（a）＋f（－a）＝0．
2

判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：
目标检测
（1）表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h＝130t－5t2和二次函数y＝130x－5x2；
（2）f（x）＝1和g（x）＝x0．
答案： （1）不相同，
因为前者的定义域为R，
后者的定义域为R；
（2）不相同，
后者的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
因为前者的定义域为[0，26]，
3
再见