人教版A版数学必修第一册 1.2　集合间的基本关系（46张PPT）

1.2　集合间的基本关系
课标阐释
思维脉络
1.理解子集、真子集的概念及集合相等的含义.(数学抽象)
2.掌握子集、真子集及集合相等的应用,会判断集合间的基本关系.(逻辑推理)
3.在具体情境中了解空集的含义并会应用.(数学抽象)

激趣诱思
知识点拨
银河系是地球和太阳所属的星系.因其主体部分投影在天空上的亮带被我国称为银河而得名.银河系约有2 000多亿颗恒星.银河系侧看像一个中心略鼓的大圆盘,整个圆盘的直径约为
10万光年,鼓起处为银心,是恒星密集区,故望去白茫茫的一片.银河系俯视像一个巨大的旋涡,这个旋涡由四个旋臂组成.而我们的地球所属的太阳系位于其中一个旋臂(猎户座臂),距离银河系中心约2.3万光年.
如果我们把银河系所包含的所有行星和恒星所构成的集合叫集合A,把太阳系包含的行星和恒星所构成的集合叫集合B.那么集合A与集合B有怎样的关系?
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知识点拨
知识点一、子集与真子集
1.Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.
名师点析 对Venn图的理解:
(1)表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.
(2)用Venn图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.
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知识点拨
2.子集与真子集
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知识点拨
激趣诱思
知识点拨
名师点析 1.对子集的理解:
(1)“A是B的子集”的含义:集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,即由任意x∈A,能推出x∈B.
(2)若A?B,则A有以下三种情况:
①A是空集;
②A是由B的部分元素组成的集合;
③A是由B的全部元素组成的集合.
故不能简单地认为“若A?B,则A是由B的部分元素组成的集合”.
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知识点拨
2.对真子集的理解:
(1)真子集的概念也可以叙述为:若集合A?B,存在元素x∈B,且x?A,则称集合A是集合B的真子集.
(2)集合A是集合B的真子集,需要满足以下两个条件:a.集合A是集合B的子集;b.存在元素x∈B,且x?A.所以,如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之不成立.
(3)任何集合都一定有子集,一个集合的真子集的个数比子集的个数少1.
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知识点拨
微思考
观察下面实例:①A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};
②设A为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合,B为这个班全体学生组成的集合;
③设A={x|x是两条边相等的三角形},B={x|x是等腰三角形};
④A={x|x是长方形},B={x|x是平行四边形};
⑤A={x|x>3},B={x|x>2};
⑥A={x|(x+1)(x+2)=0},B={-1,-2}.
激趣诱思
知识点拨
(1)上面的每个例子中的两个集合,集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素吗?
提示:是.称集合A是集合B的子集.
(2)反过来,上述各对集合中,集合B中的元素都是集合A中的元素吗?
提示:③⑥两对集合中,集合B中的元素也都是集合A中的元素(集合相等);①②④⑤这四对集合中,集合B中有些元素不是集合A的元素.称集合A是集合B的真子集.
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知识点拨
微练习
(1)已知集合P={-1,0,1,2},Q={-1,0,1},则(　　)
A.P∈Q　 B.P?Q　 C.Q?P　 D.Q∈P
(2)已知集合A={x|-1 A.B?A B.A?B C.B (1)解析:集合Q中的元素都在集合P中,所以Q?P.
答案:C
(2)解析:由题意结合集合在数轴上的表示确定两集合的关系即可.如图所示,由图可知,B?A.


答案:A
激趣诱思
知识点拨
知识点二、集合相等
一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B.
也就是说,若A?B,且B?A,则A=B.
激趣诱思
知识点拨
名师点析 对集合相等的理解:
(1)A=B的图形表示如右:
(2)集合A与集合B相等,就是集合A与集合B中的元素完全一致.
(3)集合“A=B”可类比实数中的结论“若a≤b,且b≤a,则a=b”,即“若A?B,且B?A,则A=B”.
(4)若A=B,则有A?B,且B?A.
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知识点拨
微思考
本书1.1中,我们是如何定义两个集合相等的?
提示:只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.
微练习
已知集合A={1,-m},B={1,m2},且A=B,则m的值为　　　　　.?
解析:由A=B,得m2=-m,解得m=0或m=-1.当m=-1时不满足集合中元素的互异性,舍去.故m=0.
答案:0
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知识点拨
知识点三、空集
一般地,我们把不含有任何元素的集合叫做空集,记为?,并规定:空集是任何集合的子集,即??A.
微拓展有限集合的子集问题
若有限非空集合A中含有n个元素,则有:
(1)集合A的子集的个数为2n;
(2)集合A的真子集的个数为2n-1;
(3)集合A的非空子集的个数为2n-1;
(4)集合A的非空真子集的个数为2n-2.
如,集合{1,2}的元素个数为2,其子集个数为22=4,子集分别为?,{1},{2},{1,2};真子集个数为22-1=3,真子集分别为?,{1},{2};非空子集个数为22-1=3,非空子集分别为{1},{2},{1,2};非空真子集个数为22-2=2,非空真子集分别为{1},{2}.
激趣诱思
知识点拨
微思考
{0},?,{?}之间有什么区别与联系?
提示:{0}是含有一个元素0的集合,?是不含任何元素的集合,因此??{0},而{?}是含有一个元素?的集合.
微练习
下列四个集合中,是空集的是(　　)
A.{0}
B.{x|x>8,且x<5}
C.{x∈N|x2-1=0}
D.{x|x>4}
答案:B
激趣诱思
知识点拨
知识点四、子集与真子集的性质
由子集、真子集和空集的概念可得:
(1)空集是任何集合的子集,??A;
(2)任何一个集合是它自身的子集,即A?A;
(3)空集只有一个子集,即它自身;
(4)对于集合A,B,C,由A?B,B?C可得A?C;
(5)对于集合A,B,C,由A?B,B?C可得A?C.
激趣诱思
知识点拨
微思考
∈与?、a与{a}之间有什么区别?
提示:(1)∈与?的区别:∈表示元素与集合之间的关系,因此,有
∈Q, ?Q等;?表示集合与集合之间的关系,因此,有Q?R,??R等.
(2)a与{a}的区别:一般地,a表示一个对象,而{a}表示由一个元素组成的集合(常称单元素集),a是集合{a}的一个元素.因此,有2∈{2},不能写成2={2}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
集合的子集、真子集问题
例1(1)(2020安徽合肥高一检测)集合A={x|0≤x<3,x∈N}的真子集的个数是(　　)
A.16 B.8 C.7 D.4
(2)(2020浙江台州高一检测)已知集合A={x|x2+x=0,x∈R},则集合A=　　　　　.若集合B满足{0}?B?A,则集合B=　　　　　.?
(3)已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集.
探究一
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探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(1)解析:由已知得,A={0,1,2},此集合的真子集为?,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},共7个.
答案:C
(2)解析:因为解方程x2+x=0,得x=-1或x=0,
所以集合A={x|x2+x=0,x∈R}={-1,0},
因为集合B满足{0}?B?A,所以集合B={-1,0}.
答案:{-1,0}　{-1,0}
(3)解:因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.所以A的子集有?,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)}, {(0,2),(1,1),(2,0)}.
探究一
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探究三
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反思感悟 1.求集合子集、真子集步骤
判断—根据子集、真子集的概念判断出集合中含有元素的可能情况
↓
分类—根据集合中元素的多少进行分类
↓
列举—采用列举法逐一写出每种情况的子集
探究一
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2.求元素个数有限的集合的子集两个关注点
(1)要注意两个特殊的子集:?和自身;
(2)按集合中含有元素的个数由少到多,分类一一写出,保证不重不漏.
变式训练1(1)若{1,2,3}?A?{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
(2)设含有4个元素的集合的全部子集数为S,其中由2个元素组成的子集数为T,则 的值为　　　　　.?
(3)设集合A={x∈Z|-1≤x+1≤6},求A的非空真子集的个数.
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(1)解析:集合{1,2,3}是集合A的真子集,同时集合A又是集合{1,2,3,4,5}的子集,所以集合A只能取集合{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5}.
答案:B





(3)解:化简集合A得A={x∈Z|-2≤x≤5}.
∵x∈Z,∴A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},即A中含有8个元素,∴A的非空真子集数为28-2=254(个).
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集合之间关系的判断
例2已知集合A={x|1≤x<6},B={x|x+3≥4},则A与B的关系是(　　)
A.A?B B.A=B
C.B?A D.B?A
解析:由题意知,B={x|x≥1},将A,B表示在数轴上,如图所示.由数轴可以看出,集合A中元素全部在集合B中,且B中至少存在一个元素不属于集合A,所以A?B.
答案:A
反思感悟 判断两个集合之间的关系,一般是依据子集等相关定义分析.对于两个连续数集,则可将集合用数轴表示出来,数形结合判断,需注意端点值的取舍.
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A.A?B B.A=B
C.A?B D.B?A
解析:∵A={-2,3},B={3},∴B?A.
答案:D
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答案:A?B
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反思感悟 将集合中元素的特征性质进行等价变形,从而发现各性质之间的关系,最后得到集合之间的关系.
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A.A=B?C B.A?B=C
C.A?B?C D.B?C?A
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答案:B
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集合相等关系的应用
例4已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求实数x,y的值.
分析根据A=B列出关于x,y的方程组进行求解.
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反思感悟 1.判断两个集合相等可以看两个集合中的元素是否相同,有两种方法:(1)将两个集合的元素一一列举出来,进行比较;(2)看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致,若均一致,则两个集合相等.
2.两个集合相等的问题一般转化为解方程(组),但要注意最后需检验,看是否满足集合中元素的互异性.
3.找好问题的切入点是解决集合相等问题的关键.
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延伸探究 若将本例已知条件改为“集合A={x,xy,x-y},集合B={0,|x|,y},且A=B”,求实数x,y的值.
解:∵0∈B,A=B,∴0∈A.
又由集合中元素的互异性,可知|x|≠0,y≠0,
∴x≠0,xy≠0,故x-y=0,即x=y.
此时A={x,x2,0},B={0,|x|,x},
∴x2=|x|,解得x=±1.
当x=1时,x2=1,与集合中元素的互异性矛盾,
∴x=-1,即x=y=-1.
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由集合间的关系求参数的范围
例5已知集合A={x|-5 (1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在子集关系;
(2)若A?B,求实数a的取值范围.
分析(1)令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其子集关系;(2)根据集合B是否为空集进行分类讨论,然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a所满足的条件.
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解:(1)若a=-1,则B={x|-5 如图在数轴上标出集合A,B.
由图可知,B?A.
(2)由已知A?B.
①当B=?时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.
②当B≠?时,2a-3 由已知A?B,如图在数轴上表示出两个集合,


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反思感悟 由集合间的关系求参数的范围问题中的两点注意事项
(1)求解此类问题通常是借助于数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心圈表示.
(2)涉及“A?B”或“A?B,且B≠?”的问题,一定要分A=?和A≠?两种情况进行讨论,其中A=?的情况容易被忽略,应引起足够的重视.
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延伸探究 (1)例5(2)中,是否存在实数a,使得A?B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,试说明理由.
(2)若集合A={x|x<-5,或x>2},B={x|2a-3 解:(1)不存在.理由如下,
因为A={x|-5探究一
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(2)①当B=?时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立.
②当B≠?时,2a-3 由已知A?B,如图在数轴上表示出两个集合,



由图可知2a-3≥2或a-2≤-5,


综上,实数a的取值范围为{a|a≤-3,或a≥1}.
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分类讨论思想与数形结合思想在解决集合含参问题中的应用
对于两个集合A与B,已知A或B中含有待确定的参数(字母),若A?B或A=B,则集合B中的元素与集合A中的元素具有“包含关系”,解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的方法.
(1)分类讨论是指:
①A?B在未指明集合A非空时,应分A=?和A≠?两种情况来讨论.
②因为集合中的元素是无序的,由A?B或A=B得到两集合中的元素对应相等的情况可能有多种,因此需要分类讨论.
(2)数形结合是指对A≠?这种情况,在确定参数时,需要借助数轴来完成,将两个集合在数轴上画出来,分清实心点与空心圈,确定两个集合之间的包含关系,列不等式(组)确定参数范围.
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特别提醒 此类问题易错点有三个:①忽略A=?的情况,没有分类讨论;②在数轴上画两个集合时,没有分清实心点与空心圈;③没有弄清包含关系,以致没有正确地列出不等式或不等式组.
(3)解决集合中含参问题时,最后结果要注意验证.验证是指:
①分类讨论求得的参数的值,还需要代入原集合中看是否满足集合中元素的互异性.
②所求参数能否取到端点值需要单独验证.
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典例 已知集合A={x|1 分析对参数a进行讨论,写出集合A,B,借助于数轴,求出a的取值范围.
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1.集合{x,y}的子集个数是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:(方法1)集合{x,y}的子集有?,{x},{y},{x,y},共有4个.
(方法2)集合内有2个元素,子集个数为22=4.
答案:D
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2.下列正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是(　　)



解析:由N={-1,0},知N?M,故选B.
答案:B
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3.(2020山东高一检测)设a,b∈R,P={1,a},Q={-1,-b},若P=Q,则a+b=　　　　　.?


所以a+b=-2.
答案:-2
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4.已知集合P={x|-2 解:Q={x|x-a≥0}={x|x≥a},
P?Q,将集合P,Q在数轴上表示出来,如图.



由图可得a≤-2.故实数a的取值范围是{a|a≤-2}.