(共29张PPT)
第1课时 集合的概念与几种常见的数集
课标阐释
思维脉络
1.通过实例,理解集合的含义.(数学抽象)
2.掌握集合中元素的三个特性.(直观想象)
3.理解元素与集合的“属于”关系.(数学抽象)
4.记住常用数集及其记法.(直观想象)
激趣诱思
知识点拨
中国共产党第十九次全国代表大会(简称党的十九大)于2017年10月18日至10月24日在北京召开.
问题:党的十九大会议胜利闭幕,这幅图里的所有参会的代表能否构成一个集合?
激趣诱思
知识点拨
知识点一、元素与集合的概念
一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合.
名师点析
集合的三个特性
(1)描述性:“集合”是一个原始的不加定义的概念,它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样,都只是描述性的说明.
(2)整体性:集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.
(3)广泛性:组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程,也可以是人或物等.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(2020江西彭泽第一中学高一月考)下列选项能组成集合的是( )
A.兴趣广泛的同学 B.个子较高的男生
C.26个英文字母
D.非常大的数
解析:对于A,兴趣广泛的标准不明确,不能组成集合;对于B,个子较高的标准不明确,不能组成集合;对于C,26个英文字母能组成集合;对于D,非常大的标准不明确,不能组成集合.
答案:C
激趣诱思
知识点拨
知识点二、集合中元素的特性
1.集合中元素的三大特性:确定性、互异性、无序性.
2.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.
名师点析
对集合中元素的特性的理解:
(1)确定性是集合的基本特征,没有确定性就不能构成集合.例如“课本中的难题”“聪明的孩子”,其中“难题”“聪明”因界定的标准模糊,故都不能组成集合.
(2)互异性是判断能否组成集合的另一标准,也是最容易被忽视的性质.例如:组成集合{good中的字母}的元素是g,o,o,d,这句话是不对的,因为在这个单词中,字母“o”虽然出现了两次,但如果归入集合中只能算作一个元素,根据互异性,正确的说法应为{good中的字母}的元素有3个,分别为g,o,d.
激趣诱思
知识点拨
微练习
下列说法正确的是( )
A.我校爱好足球的同学组成一个集合
B.{1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合
C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合
解析:选项A不满足确定性,故错误;选项B中漏了元素0,故错误;选项C满足集合元素的互异性、无序性和确定性,故正确;
答案:C
激趣诱思
知识点拨
知识点三、元素与集合的关系
?
关系
概念
记法
读法
元素
与集
合的
关系
属于
如果a是集合A的元素,就说a属于集合A
a∈A
a属于
集合A
不属于
如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A
a?A
a不属于
集合A
激趣诱思
知识点拨
名师点析
区别与联系
概念上的区别
符号上的区别
关系
概
念
元素
研究对象
英文小写字母a,b,c,…
a∈A或
a?A
集合
一些对象组成的整体
英文大写字母A,B,C,…
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知集合A中的元素x满足x-1<
,则下列各式正确的是( )
A.3∈A,且-3?A
B.3∈A,且-3∈A
C.3?A,且-3?A
D.3?A,且-3∈A
答案:D
激趣诱思
知识点拨
知识点四、常用数集及其记法
微练习
用符号“∈”或“?”填空:
答案:(1)∈ (2)? (3)∈ (4)? (5)∈
数集
名称
非负整数集(或自然数集)
正整
数集
整数
集
有理
数集
实数
集
字母表示
N
N
或N+
Z
Q
R
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
集合的概念
例1给出下列各组对象:
①我们班中比较高的同学;②无限接近于0的数的全体;③比较小的正整数的全体;④平面上到点O的距离等于1的点的全体;⑤正三角形的全体;⑥
的近似值的全体.
其中能够构成集合的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
分析判断一组对象能否构成集合,就看判断标准是否明确.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:①②③⑥不能构成集合,因为没有明确的判断标准;④⑤可以构成集合,“平面上到点O的距离等于1的点”和“正三角形”都有明确的判断标准.
答案:B
反思感悟
一般地,确认一组对象a1,a2,a3,…,an(a1,a2,…,an均不相同)能否构成集合的过程为:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1(多选题)下列各组对象能构成集合的是( )
A.大于6的所有整数
B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数
D.函数y=
图象上所有的点
解析:选项A,C,D中的元素符合集合中元素的确定性;而选项B中,“难题”没有明确标准,不符合集合中元素的确定性,不能构成集合.
答案:ACD
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
元素与集合的关系
例2(1)下列所给关系正确的个数是( )
①π∈R;②
?Q;③0∈Z;④|-1|?N
.
A.1
B.2
C.3
D.4
(2)我们在初中学习过一元二次方程及其解法.设A是方程x2-ax-5=0的解组成的集合.
①0是不是集合A中的元素?
②若-5∈A,求实数a的值;
③若1?A,求实数a的取值范围.
(3)若集合A是由所有形如3a+
b(a∈Z,b∈Z)的数组成的,判断-6+2
是不是集合A中的元素?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分析(1)首先判断给出的数的属性,然后根据常用数集的符号判断两者的关系.
(2)①将0代入,验证方程是否成立,若方程成立,则0就是集合A中的元素;若方程不成立,则0就不是集合A中的元素;②-5是集合A中的元素,代入方程即可得到关于a的方程并求解;③1不是集合A中的元素,则代入后方程不成立,得到关于a的不等式,求解即可.
(3)观察元素的特征,验证所求式子是否满足特征,若满足就是集合A中的元素,若不满足就不是集合A中的元素.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(1)解析:根据各个数集的含义可知,①②③正确,④不正确.故选C.
答案:C
(2)解:①将x=0代入方程,得02-a×0-5=-5≠0,所以0不是集合A中的元素.
②若-5∈A,则有(-5)2-(-5)a-5=0,解得a=-4.
③若1?A,则12-a×1-5≠0,解得a≠-4.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
判断元素与集合的关系的两种方法
(1)直接法:如果元素是直接给出的,那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.此时应明确集合是由哪些元素构成的.
(2)推理法:对于一些元素没有直接给出的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时应明确已知集合中的元素具有什么特征.若元素a属于集合A,则元素a就具有集合A的特征;若a不属于集合A,则元素a就不具有集合A的特征.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2(1)下列所给关系正确的是( )
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
集合中元素的特性及其应用
例3已知集合A含有3个元素a-2,2a2+5a,12,且-3∈A,求a的值.
分析由-3∈A,分两种情况进行讨论,注意根据集合中元素的互异性进行检验.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
先根据集合中元素的确定性解出字母参数的所有可能取值,再根据集合中元素的互异性进行检验.互异性是元素的三个特性中最常用的一个,解答含有字母参数的元素与集合之间关系的问题时,要具有分类讨论的意识.如本例中得到a=-1或a=-
,需分类讨论检验是否满足集合中元素的互异性.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
(1)本例中集合A中含有三个元素,实数a的取值是否有限制?
(2)本例中集合A中能否只有一个元素呢?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)若该集合中只有一个元素,则有a-2=2a2+5a=12.
由a-2=12,解得a=14,此时2a2+5a=2×142+5×14=462≠12.所以该集合中不可能只含有一个元素.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分类讨论思想的应用
分类讨论是一种重要的数学思想,它适用于从整体上难以解决的数学问题.运用分类讨论来解决问题时,把问题进行科学地划分十分必要,必须遵循不重不漏和最简的原则.
分类讨论思想在集合中有重要的应用,在本节中,分类讨论思想常应用于元素与集合的关系方面.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
典例
已知集合A中含有三个元素0,1,x.若x2∈A,求实数x的值.
解:(1)当x2=0时,得x=0,此时集合A中有两个相同的元素,舍去.
(2)当x2=1时,得x=±1.
若x=1,此时集合A中有两个相同的元素,舍去;
若x=-1,此时集合A中有三个元素0,1,-1,符合题意.
(3)当x2=x时,得x=0或x=1,由上可知都不符合题意.
综上可知,符合题意的x的值为-1.
方法点睛
x2是集合中的元素,则它既可能是1,也可能是0,或者是x,需对其进行分类讨论.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
A.a∈A,且b?A
B.a?A,且b∈A
C.a∈A,且b∈A
D.a?A,且b?A
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.用符号∈或?填空:(其中A表示由所有质数组成的集合)
(1)1 A,2 A,3 A;?
答案:(1)? ∈ ∈ (2)? ∈ ∈
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.已知集合M中含有3个元素0,x2,-x,求实数x满足的条件.(共31张PPT)
第2课时 集合的表示方法
课标阐释
思维脉络
1.掌握集合的表示方法——列举法和描述法.
(数学抽象)
2.能进行自然语言与集合语言间的相互转换.
(直观想象)
激趣诱思
知识点拨
语言是人与人之间相互联系的一种方式,同样的祝福又有着不同的表示方法.例如,简体中文中的“生日快乐”,用繁体中文为“生日快樂”,英文为“Happy
Birthday”……那么,对于一个集合,有哪些不同的表示方法呢?
激趣诱思
知识点拨
知识点一、列举法
把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.
名师点析
用列举法表示集合时,必须注意以下几点:
(1)元素与元素之间需用“,”隔开.
(2)集合中的元素必须是确定的.
(3)不必考虑元素出现的前后顺序,但不能重复.例如,集合{1,3}与{3,1}表示同一个集合.
(4)一般地,列举法适用于有限集:①元素个数有限且比较少时,可以全部列举出来,如{1,2,3};②元素个数有限且比较多时,可以列举一部分,中间用省略号表示,称为中间省略列举,如从1到1
000的所有正整数组成的集合,可以表示为{1,2,3,…,1
000}.
激趣诱思
知识点拨
(5)对于含有较多元素的无限集,如果元素的排列呈现一定的规律,在不发生误解的情况下,也可列出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示.如自然数集N可以表示为{0,1,2,3,…},称为尾端省略列举.
(6)这里集合的“{ }”已包含“所有”的意思.例如:{整数},即代表整数集Z,所以不能写成{全体整数}.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合为( )
A.{0,1} B.{(0,1)}
(2)用列举法表示下列集合:
①方程x2-9=0的解构成的集合;
②不大于100的自然数构成的集合.
激趣诱思
知识点拨
答案:B
(2)解:①{-3,3}.
②{0,1,2,3,…,100}.
激趣诱思
知识点拨
知识点二、描述法
一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.
名师点析
使用描述法表示集合时要注意:
(1)写清该集合中元素的代表符号,如{x|x>1}不能写成{x>1};
(2)用简明、准确的语言进行描述,如方程、不等式、几何图形等;
(3)不能出现未被说明的字母,如{x∈Z|x=2m}中m未被说明,故此集合中的元素是不确定的;
(4)所有描述的内容都要写在花括号内,如“{x∈Z|x=2m},m∈N+”不符合要求,应将“m∈N+”写进“{ }”中,即{x∈Z|x=2m,m∈N+};
激趣诱思
知识点拨
(5)元素的取值(或变化)范围,从上下文的关系来看,若x∈R是明确的,则x∈R可省略不写,如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20};
(6)多层描述时,应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语,如{x|x<-1,或x>1};
(7)“{ }”有“所有”“全体”的含义,如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数},但如果写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是实数集}都是错误的,因为“{ }”本身既表示集合的意思,也表示了“所有”“全体”的意思,此处是初学者容易犯的错误,要注意领会.
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)如何理解定义中的“共同特征P(x)”?
提示:属于集合A的任意一个元素都具有性质P(x),而不属于集合A的元素都不具有性质P(x).
(2)什么类型的集合适合用描述法表示?
提示:含有较多元素的有限集或无限集,且元素的共同特征可以统一描述.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1){0,1}与{(0,1)}表示相同的集合.( )
(2)用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为{1,1}.( )
(3){x|x>-1}与{t|t>-1}表示同一集合.( )
(4)集合{(x,y)|x>0,y>0,x,y∈R}是指第一象限内的点集.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
用列举法表示集合
例1用列举法表示下列集合:
(1)方程x2-1=0的解组成的集合;
(2)单词“see”中的字母组成的集合;
(3)所有正整数组成的集合;
(4)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合.
分析先求出满足题目要求的所有元素,再用列举法表示集合.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)方程x2-1=0的解为x=-1或x=1,所求集合用列举法表示为{-1,1}.
(2)单词“see”中有两个互不相同的字母,分别为“s”“e”,所求集合用列举法表示为{s,e}.
(3)正整数有1,2,3,…,所求集合用列举法表示为{1,2,3,…}.
反思感悟
1.使用列举法表示集合时,应注意以下几点:
(1)在元素个数较少或元素间有明显规律时用列举法表示集合.
(2)“{}”表示“所有”的含义,不能省略,元素之间用“,”隔开,而不能用“、”.元素之间无顺序,满足无序性.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
2.用列举法表示集合,要分清该集合是数集还是点集.
变式训练1用列举法表示下列集合:
(1)15的正因数组成的集合;
(2)不大于10的正偶数组成的集合;
解:(1){1,3,5,15}.
(2){2,4,6,8,10}.
(3){(-3,0)}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
用描述法表示集合
例2用描述法表示下列集合:
(1)函数y=-x的图象上的点组成的集合;
(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合;
(3)不等式x-2<3的解组成的集合.
分析找准集合的代表元素→说明元素满足的条件→用描述法表示相应的集合
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1){(x,y)|y=-x,x∈R,y∈R}.
(2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合,则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合用描述法表示为{x∈R||x|>3}.
(3)不等式x-2<3的解是x<5,则不等式x-2<3的解组成的集合用描述法表示为{x|x<5}.
反思感悟
1.用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性,即它是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素.
2.若描述部分出现代表元素以外的字母,则要对新字母说明其含义或指出其取值范围.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练2用描述法表示下列集合:
(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合;
(2)抛物线y=x2-4上的点组成的集合;
解:(1){(x,y)|x∈R,y=0}.
(2){(x,y)|y=x2-4}.
(3){x|x≠1}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:学生甲正确,学生乙错误.由于集合A的代表元素为x,这是一个数集,而不是点集.因此满足条件的元素只能为x=0,1;而不是实数对
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:代表元素是点,所以这是点集,学生乙正确.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
集合表示方法的选择与转换
例4用适当的方法表示下列集合:
(2)1
000以内被3除余2的正整数组成的集合;
(3)所有的正方形组成的集合;
(4)抛物线y=x2上的所有点组成的集合.
分析依据集合中元素的个数,选择适当的方法表示集合.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
表示集合时,应先根据题意确定符合条件的元素,再根据元素情况选择适当的表示方法.
值得注意的是,并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练3用列举法和描述法分别表示下列集合:
(1)不大于10的非负偶数组成的集合;
(2)方程x2=x的所有实数解组成的集合;
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数组成的集合用列举法表示为{0,2,4,6,8,10},用描述法表示为{x|0≤x≤10,且x=2n,n∈N}.
(2)方程x2=x的解是x=0或x=1,所以方程的解组成的集合用列举法表示为{0,1},用描述法表示为{x|x2=x}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
已知集合中元素个数求参数的值或取值范围
例5若集合A={x|kx2-8x+16=0}只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.
分析明确集合A的含义→对k加以讨论→求出k的值→写出集合A
解:当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2.
此时集合A={2}.
当k≠0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.
此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.
综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.解答与描述法有关的问题时,明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点.
2.本题因kx2-8x+16=0是否为一元二次方程,而分为k=0和k≠0两种情况进行讨论,从而做到不重不漏.
3.解集合与含有参数的方程的综合问题时,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究
1例5中,若集合A中含有2个元素,试求k的取值集合.
解得k<1,且k≠0.
故k的取值集合为{k|k<1,且k≠0}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究
2例5中,若集合A中至多有一个元素,试求k的取值集合.
解:(1)当集合A中含有1个元素时,由例5知,k=0或k=1;
(2)当集合A中没有元素时,方程kx2-8x+16=0无解,即
解得k>1.
综上,实数k的取值集合为{k|k=0,或k≥1}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
集合语言的综合应用
(1)集合语言是现代数学的基本语言,也就是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言.集合语言与其他语言的关系以及它的构成如下:
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1.已知集合A=
,则下列关系式不成立的是( )
A.0∈A
B.1.5?A
C.-1?A
D.6∈A
解析:由题意知A={0,1,2,3,4,5},故选D.
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
2.(2020山东高一月考)集合{x∈N|x-3<2}用列举法表示是( )
A.{1,2,3,4}
B.{1,2,3,4,5}
C.{0,1,2,3,4,5}
D.{0,1,2,3,4}
解析:由题意x<5,又x∈N,所以集合为{0,1,2,3,4}.
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3.集合A={(x,y)|x+y=6,x,y∈N}用列举法表示为 .?
答案:A={(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}
4.分别用描述法和列举法表示下列集合:
(1)方程x2-x-2=0的解组成的集合;
(2)大于1且小于5的所有整数组成的集合.
解:(1)集合用描述法表示为{x|x2-x-2=0};由于方程x2-x-2=0的解分别为-1,2,故方程的解组成的集合用列举法表示为{-1,2}.
(2)集合用描述法表示为{x∈Z|1
