(共36张PPT)
1.1.3 集合的基本运算
第1课时 交集与并集
激趣诱思
知识点拨
某单位食堂第一天买菜的品种构成的集合记为A={黄瓜,冬瓜,鲫鱼,虾,茄子};第二天买菜的品种构成的集合记为B={黄瓜,猪肉,毛豆,芹菜,虾,土豆}.
问:1.两天所买过的相同菜的品种构成的集合记为C,则集合C等于什么?
2.两天买过的所有菜的品种构成的集合记为D,则集合D等于什么?
激趣诱思
知识点拨
知识点一、交集
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.对交集概念的理解
(1)对于“A∩B={x|x∈A,且x∈B}”,包含以下两层意思:①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素;②A与B的公共元素都属于A∩B,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如A={1,2,3},B={2,3,4},则A∩B={2,3},而不是{2}或{3}.
(2)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合A与集合B没有公共元素时,不能说A与B没有交集,而是A∩B=?.
(3)当A=B时,A∩B=A和A∩B=B同时成立.
2.求两集合交集的注意点
(1)求两集合的交集时,首先要化简集合,使集合元素的性质特征尽量明显化,然后根据交集的含义写出结果.
(2)在求与不等式有关的集合的交集运算时,数轴分析法直观清晰,因此,应重点考虑.
激趣诱思
知识点拨
微思考
两个非空集合的交集可能是空集吗?
提示:两个非空集合的交集可能是空集,即A与B无公共元素时,A与B的交集仍然存在,只不过这时A∩B=?.反之,若A∩B=?,则A,B这两个集合可能至少有一个为空集,也可能这两个集合都是非空的,如:A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8,10},此时A∩B=?.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知集合M={x|-2≤x<2},N={0,1,2},则M∩N等于( )
A.{0}
B.{1}
C.{0,1,2}
D.{0,1}
解析:按照交集的定义求解即可.
M∩N={x|-2≤x<2}∩{0,1,2}={0,1}.
答案:D
激趣诱思
知识点拨
知识点二、并集
激趣诱思
知识点拨
名师点析对并集的理解
(1)A∪B仍是一个集合,A∪B由所有属于集合A或属于集合B的元素组成.
(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“x∈A或x∈B”包括下列三种情况:①x∈A,且x?B;②x?A,且x∈B;③x∈A,且x∈B.可用下图所示形象地表示.
激趣诱思
知识点拨
(3)对概念中的“所有”的理解,不能认为A∪B是由A的所有元素和B的所有元素组成的集合,即简单拼凑,还要注意满足集合中元素的互异性,相同的元素(即A与B的公共元素)只能算作并集中的一个元素.例如,A={1,2,4},B={1,4,5,7},A∪B={1,2,4,5,7},而不能写成A∪B={1,2,4,1,4,5,7}.
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)集合A∪B中的元素个数如何确定?
提示:①当两个集合无公共元素时,A∪B的元素个数为这两个集合元素个数之和;
②当两个集合有公共元素时,根据集合元素的互异性,同时属于A和B的公共元素,在并集中只列举一次,所以A∪B的元素个数为两个集合元素个数之和减去公共元素的个数.
激趣诱思
知识点拨
(2)A∩B与A∪B是什么关系?
提示:集合A∪B={x|x∈A或x∈B}中x∈A或x∈B包含三层意思:“x∈A,且x?B”,如图甲所示的阴影部分;“x∈A,且x∈B”,如图乙所示的阴影部分;“x∈B,且x?A”,如图丙所示的阴影部分.
又A∩B={x|x∈A,且x∈B},则有(A∩B)?(A∪B).当且仅当A=B时,A∩B=A∪B;当且仅当A≠B时,(A∩B)?(A∪B).
激趣诱思
知识点拨
微练习
设集合A={1,2},B={2,3},则A∪B等于( )
A.{1,2,2,3} B.{2}
C.{1,2,3}
D.?
答案:C
激趣诱思
知识点拨
知识点三、交集与并集的运算性质
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)若集合A={x|x>0},B={x|1
.?
解析:∵A?B,
∴A∪B=A={x|x>0}.
答案:{x|x>0}
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.
①若A∩B=?,则A=?或B=?.( )
②A∩B=B?A?B.( )
③A∪B=A?A?B.( )
④A∪B=?,则A=B=?.( )
答案:①× ②× ③× ④√
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
两个集合的交集运算
例1设A={x|x2-7x+6=0},B={x|4分析首先明确集合A,B中的元素,集合A是一元二次方程x2-7x+6=0的解集,集合B是满足不等式4解:A={1,6},B={5,6,7,8},用维恩图表示集合A,B,如图所示,
依据交集的定义,观察可得A∩B={6}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟集合求交集的解题策略
求两个集合的交集时,首先要识别所给集合,其次要简化集合,即明确集合中的元素,使集合中的元素明朗化,最后再依据交集的定义写出结果.有时要借助于维恩图或数轴写出交集.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练1已知集合A={x|2(1)若A∩B=?,求a的取值范围;
(2)若A∩B={x|3解:(1)有两类情况,一类是B≠?,即a>0,①B在A的左边,②B在A的右边,如图.
B或B'位置均使A∩B=?成立.
当3a=2或a=4时也符合题意,事实上,2?A,4?A,则A∩B=?成立.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(2)因为A={x|2集合B若要符合题意,显然要a=3,此时,B={x|3探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
两个集合的并集运算
例2设集合A={x|x+1>0},B={x|-2分析首先明确集合A中的元素,集合A是不等式x+1>0的解集,然后借助于数轴写出A∪B.
解:A={x|x>-1},在数轴上分别表示集合A,B,如图所示,由数轴可知A∪B={x|x>-2}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟求两个集合的并集时,若用描述法给出的集合,要先明确集合中的元素是什么,有时直接观察可写出并集,有时则需借助图示写出并集;若用列举法给出集合,则依据并集的定义,可直接观察或借助于维恩图写出并集.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究本例条件不变,如何求A∩B?(用区间表示)
解:A∩B=(-1,2).
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
集合运算性质的运用
例3设A={x|x2-2x=0},B={x|x2-2ax+a2-a=0}.
(1)若A∩B=B,求a的取值范围;
(2)若A∪B=B,求a的值.
分析先化简集合A,B,再由已知条件得A∩B=B和A∪B=B,转化为集合A,B的包含关系,分类讨论求a的值或取值范围.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:由x2-2x=0,得x=0或x=2.∴A={0,2}.
(1)∵A∩B=B,∴B?A,B=?,{0},{2},{0,2}.
当B=?时,Δ=4a2-4(a2-a)=4a<0,∴a<0;
综上所述,得a的取值范围是{a|a=1或a≤0}.
(2)∵A∪B=B,∴A?B.∵A={0,2},而B中方程至多有两个根,∴A=B,由(1)知a=1.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
利用交、并集运算求参数的思路
(1)涉及A∩B=B或A∪B=A的问题,可利用集合的运算性质,转化为相关集合之间的关系求解,要注意空集的特殊性.
(2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系,这时要注意集合中元素的互异性;与不等式有关的集合,则可利用数轴得到不同集合之间的关系.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练2集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}.
(1)求A∩B;
(2)若集合C={x|2x+a>0},满足B∩C=B,求实数a的取值范围.
解:(1)由题意得B={x|x≥2},
又A={x|-1≤x<3},如图,
所以A∩B={x|2≤x<3}.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
集合的交、并综合运算
例4已知集合A={y|y=
x2-2x-3,x∈R},B={y|y=
-x2+2x+13,x∈R},求A∩B,A∪B.
分析先利用配方法确定集合A与B,再利用数轴进行集合的交、并运算.
解:∵A={y|y=(x-1)2-4,x∈R},
∴A={y|y≥-4}.
∵B={y|y=
-(
x-1)2+14,x∈R},
∴B={y|y
≤14}.
将集合A,B分别表示在数轴上,如图所示,
∴A∩B={y|-4≤y≤14},A∪B=R.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟集合的交、并综合运算一般需要将所给集合进行求解,有方程问题、不等式问题、点集等,把集合明确后,根据集合的特点及集合的交集、并集运算的定义,选取合适的方法进行运算,如可结合数轴、维恩图或函数的图像等.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
分类讨论思想在集合运算中的应用
分类讨论就是分别归类再进行讨论的意思,数学中的分类过程就是对事件共性的抽象过程.解题时要明确为什么分类,如何分类,如何确定分类的标准.应用时,首先要审清题意,认真分析可能产生的不同因素.进行讨论时要确定分类的标准,每一次分类只能按照一个标准来分,不能重复也不能遗漏.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
典例
设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-5=0}.
(1)若A∩B={2},求实数a的值;
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
解:(1)集合A={x|x2-3x+2=0}={1,2},
若A∩B={2},则x=2是方程x2+2(a+1)x+a2-5=0的实数根,可得a2+4a+3=0,解得a=-3或a=-1.
验证:a=-3时,B={2},a=-1时,B={-2,2},均满足A∩B={2}.
所以,a=-3或a=-1.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(2)A={x|x2-3x+2=0}={1,2},
B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0},
对应的Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).
∵A∪B=A,∴B?A.
①当Δ<0,即a<-3时,B=?,满足条件;
②当Δ=0,即a=-3时,B={2},满足条件;
③当Δ>0,即a>-3时,只有B={1,2},才能满足条件,
由一元二次方程根与系数的关系,得1+2=-2(a+1),且1×2=a2-5.
∴a=-
且a2=7,矛盾.∴a>-3不满足条件.
综上所述,实数a的取值范围是{a|a≤-3}.
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探究三
探究四
素养形成
当堂检测
方法点睛
将条件转化为两个集合的包含关系,因为集合B是由含参的一元二次方程的解组成的,所以应按其解的个数分类讨论.尤其不要忽略无解的情况,即B为空集的情况.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1.(2019全国Ⅱ)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=( )
A.(-1,+∞)
B.(-∞,2)
C.(-1,2)
D.?
解析:由题意,得A∩B=(-1,2).
答案:C
探究一
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探究三
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素养形成
当堂检测
2.已知集合A={x|x-a>0},B={x|2-x<0},且A∪B=B,则实数a满足的条件是 .?
解析:由题意得A={x|x>a},B={x|x>2},
因为A∪B=B,所以A?B.
在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示,
则在数轴上实数a必须在2的右边或与2重合,所以a≥2.
答案:a≥2
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探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3.已知集合A={1,2,3},B={2,m,4},A∩B={2,3},则m= .?
解析:由于A∩B={2,3},则3∈B,又B={2,m,4},则m=3.
答案:3
4.已知集合M={x|2x-4=0},集合N={x|x2-3x+m=0},
(1)当m=2时,求M∩N,M∪N;
(2)当M∩N=?时,求实数m的取值范围.
解:(1)由题意得,M={2},
当m=2时,N={x|x2-3x+2=0}={1,2},
则M∩N={2},M∪N={1,2}.
(2)M={2}≠?,则2不是方程x2-3x+m=0的解,所以4-6+m≠0,即m≠2.
所以实数m的取值范围为{m|m≠2}.(共25张PPT)
第2课时 补集与集合的综合运算
激趣诱思
知识点拨
太阳系有8颗行星,即水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星和海王星.原来被认为是行星的冥王星在第26届国际天文联会通过的第5号决议中,被划为矮行星,并命名为小行星134
340号,从太阳系九大行星中被除名.如果我们把名字中含有“王”的行星除去,还有几颗行星?上小学的小朋友也会回答还有6颗,但是如果我们用集合的眼光来看,就会发现一个问题:若把太阳系的行星的集合作为U,把名字中含有“王”的行星的集合作为A,把名字中不含有“王”的行星的集合作为B,那么集合A,B,U之间有怎样的关系呢?
激趣诱思
知识点拨
知识点一、全集
在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,通常用U表示.
微思考
全集一定包含任何元素吗?
提示:不一定.只要含有所有所要研究的对象即可做全集.换一句话说,所研究对象对应的集合一定为该全集的子集.
激趣诱思
知识点拨
知识点二、补集
激趣诱思
知识点拨
名师点析(1)补集是相对于全集而存在的,当全集变化时,补集也随之改变,所以在讨论一个集合的补集时,必须说明是在哪个集合中的补集.
(2)?UA表示集合U为全集时,集合A在全集U中的补集,则?UA?U.如果全集换成其他集合(如R),那么记号中“U”也必须换成相应的集合(如?RA).
(3)求?UA的前提条件为集合A是全集U的子集.
(4)若x∈U,则x∈A,x∈?UA必居其一.
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)已知U={a,b,c,d,e,f},A={b,f},如果从全集U中去掉集合A中的元素,剩下的元素构成的集合是什么?
提示:剩余元素构成的集合为{a,c,d,e}.
(2)上述问题中所求得的集合应该怎样命名?
提示:集合{a,c,d,e}可称为子集A在全集U中的补集.符号表示为:?UA={a,c,d,e}.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)若U={x|x>0},A={x|x>3},则?UA= .?
答案:{x|0(2)如图所示的阴影部分表示的集合是( )
A.A∩(?UB)
B.B∩(?UA)
C.?U(A∩B)
D.?U(A∪B)
答案:B
激趣诱思
知识点拨
(3)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.
①已知U为全集,对任意集合A,B,均有?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).( )
②已知U为全集,对任意集合A,B,均有?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).( )
③A∩(?RA)=R.( )
④若A=?,则?R?=?.( )
答案:①√ ②√ ③× ④×
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
集合的补集运算
例1已知全集U=R,集合A={x|-3求:(1)?UA,?UB;
(2)?U(A∩B).
分析(1)根据补集的定义,借助于数轴写出;(2)先求A∩B,再根据补集的定义写出.
解:(1)∵A={x|-3在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示.
∴?UA={x|x≤-3或x≥3},?UB={x|x≥1}.
(2)∵A∩B={x|-3∴?U(A∩B)={x|x≥1或x≤-3}.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟求集合补集的解题策略
1.如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,再结合补集的定义来求解.另外针对此类问题,在解答过程中也常常借助于维恩图来求解.这样处理起来,相对来说比较直观、形象且解答时不易出错.
2.如果所给集合是无限集,则常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据补集的定义求解,这样处理比较形象直观,解答过程中注意端点值能否取得.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1求解下列各题:
(1)设全集U=R,集合A={x|0≤x<3},则?UA= ;?
(2)(2020浙江高一月考)已知集合A={x|-5≤x≤3},B={x|x<-2或x>4},则A∩B= ,?RA= .?
解析:(1)由于全集U=R,画出数轴(如图所示),由补集的定义可得?UA={x|x<0,或x≥3}.
(2)因为集合A={x|-5≤x≤3},B={x|x<-2或x>4},可得A∩B=[-5,-2),可得?RA=(-∞,-5)∪(3,+∞).
答案:(1){x|x<0,或x≥3}
(2)[-5,-2) (-∞,-5)∪(3,+∞)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
交集、并集、补集的综合运算
例2已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2分析可借助数轴分析求解.
解:把全集U和集合A,B在数轴上表示(如图所示),
由图可知?UA={x|x≤-2,或3≤x≤4},
A∩B={x|-2?U(A∩B)={x|x≤-2,或3≤x≤4},
(?UA)∩B={x|-3探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟集合运算的解题技巧
1.对于无限集,常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据交、并、补的定义求解,这样处理比较形象直观,解答过程中注意端点的“取”与“舍”.
2.对于有限集,应先把集合中的元素一一列举出来,再结合交、并、补集的定义来求解,另外针对此类问题,在解答过程中也常常借助于维恩图来求解,这样处理起来,相对来说比较直观、形象,且解答时不易出错.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2(2020武汉高一月考)已知集合U={x|1≤x≤7},A={x|2≤x≤5},B={x|3≤x≤7}.求:
(1)A∩B;(2)(?UA)∪B;(3)A∩(?UB).
解:(1)由A={x|2≤x≤5},B={x|3≤x≤7},可得A∩B={x|3≤x≤5}.
(2)由U={x|1≤x≤7},A={x|2≤x≤5},故?UA={x|1≤x<2或5(3)由U={x|1≤x≤7},B={x|3≤x≤7},故?UB={x|1≤x<3},所以A∩(?UB)={x|2≤x<3}.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
补集运算中的含参数问题
例3(1)设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|a+1|,2},?UA={5},则a等于 ;?
(2)已知集合A={x|x解析:(1)由?UA={5},知a2+2a-3=5,解得a=-4或a=2.
当a=-4时,U={2,3,5},A={3,2},满足?UA={5};
当a=2时,U={2,3,5},A={3,2},满足?UA={5}.所以a的值为-4或2.
(2)?RB={x|x≤1,或x≥2},由于A∪?RB=R,如图所示,所以a≥2.
答案:(1)-4或2 (2)[2,+∞)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟1.由集合补集求有关参数问题的思路流程:
2.含参数问题一般要用到分类讨论思想、等价转化思想及数形结合思想来解决.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究已知集合A={x|2a-2解:易知?RB={x|x≤1,或x≥2}≠?.
∵A??RB,
∴分A=?和A≠?两种情况讨论.
若A=?,此时有2a-2≥a,
∴a≥2.
∴a≤1.
综上可知,实数a的取值范围为(-∞,1]∪[2,+∞).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
补集思想的综合应用
典例
已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3}.
(1)若(?RA)∪B≠R,求a的取值范围;
(2)若A∩B≠A,求a的取值范围.
分析本题考查集合交集、并集的运算及补集思想的应用,求解时可先将不相等问题转化为相等问题,求出a的集合后取其补集.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)∵A={x|0≤x≤2},
∴?RA={x|x<0,或x>2}.
设(?RA)∪B=R,如图所示.
∴a≤0,且a+3≥2,即a≤0,且a≥-1,
∴满足(?RA)∪B≠R的实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(0,+∞).
(2)若A∩B=A,则A?B,又A≠?,
∴当A∩B≠A时,a的取值范围为集合{a|-1≤a≤0}的补集,即(-∞,-1)∪(0,+∞).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛有些数学问题,若直接从正面解决较为困难,或解题思路不明朗,或需要考虑的因素太多,可用补集思想考虑其对立面,即从结论的反面去思考,探索已知和未知之间的关系,从而化繁为简,化难为易,开拓解题思路,这就是补集思想的应用.
(1)运用补集思想求参数范围的方法:
①否定已知条件考虑反面问题;
②求解反面问题对应的参数范围;
③将反面问题对应的参数范围取补集.
(2)补集思想适用的情况:从正面考虑情况较多,问题较复杂的时候,往往考虑运用补集思想.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练已知集合A={x|x<-6,或x>3},B={x|k-1≤x-1≤k},若A∩B≠?,求k的取值范围.
解:由已知可得B={x|k≤x≤k+1},
令P={k|-6≤k≤2},
则?RP={k|k<-6,或k>2}.
所以当A∩B≠?时,k的取值范围是(-∞,-6)∪(2,+∞).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.(2020广西高一月考)已知全集U={1,2,3,4,5},A={2,3,4},则?UA=( )
A.{1,2,3,4,5}
B.{1,5}
C.{2,3,4}
D.以上都不对
解析:因为U={1,2,3,4,5},A={2,3,4},所以?UA={1,5}.
答案:B
2.(2020河南高一月考)设全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B={2,3,4},则A∪(?UB)=( )
A.{1,2,5,6}
B.{1}
C.{2}
D.{1,2,3,4}
解析:∵?UB={1,5,6},∴A∪(?UB)={1,2,5,6}.
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.设全集为U,用集合A,B的交集、并集、补集符号表示图中的阴影部分.
(1) (2) ?
答案:(1)?U(A∪B)(或?UA∩?UB) (2)?UA∩B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.(2020广东高一测试)已知全集U=R,A=[-1,3],B=[-2,2).
(1)求A∩B,A∪B;
(2)求?U(A∩B),?U(A∪B).
解:(1)A∩B=[-1,3]∩[-2,2)=[-1,2),A∪B=[-1,3]∪[-2,2)=[-2,3].
(2)?U(A∩B)=(-∞,-1)∪[2,+∞),?U(A∪B)=(-∞,-2)∪(3,+∞).