《2.1.1 等式的性质与方程的解集》 课件24张PPT

2.1.1 等式的性质与方程的解集
问题1　阅读课本第42页，回答下列问题：
整体概览
（1）本章将要研究等式与不等式．
（1）本章将要研究哪类问题？
（2）本章要研究的对象在高中的地位是怎样的？
（3）本章研究的起点是什么？目标是什么？
问题1　阅读课本第42页，回答下列问题：
整体概览
（2）本章要研究的对象在高中的地位是怎样的？
（2）相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础．本单元的学习，可以帮助学生通过类比，理解等式和不等式的共性与差异，掌握基本不等式．本单元的学习，可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式，通过梳理初中数学的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性．
问题1　阅读课本第42页，回答下列问题：
整体概览
（3）本章研究的起点是什么？目标是什么？
（3）起点是小学生初中已经学过的等式和不等式的知识（包括它们的性质），本章我们将在用集合和逻辑的语言复习以前所学内容的基础上，了解更多等式和不等式的知识，包括一元二次不等式的解法、均值不等式等．目标是能够从函数观点认识方程和不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，掌握等式与不等式的性质．重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养．
新知探究
（1）等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；
（2）等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．
我们已经学习过等式的性质：
新知探究
【尝试与发现】用符号语言和量词表示上述等式的性质：
（1）如果a＝b，则对任意c，都有___________；
（2）如果a＝b，则对任意不为零的c，都有___________．
（1）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，等式仍成立．即：如果a＝b，则对任意c，都有a±c＝b±c．
（2）等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．即：如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc（或）．
a＋c＝b＋c
ac＝bc
新知探究
【尝试与发现】补全下列（1）（2）中的两个公式，然后将下列含有字母的等式进行分类，并说出分类的标准：
（1）a2－b2＝_____________（平方差公式）；
（2）（x＋y）2＝______________（两数和的平方公式）；
（3）3x－6＝0；
（4）（a＋b）c＝ac＋bc；
（5）m（m－1）＝0；
（6）t3＋1＝（t＋1）（t2－t＋1）．
新知探究
对任意实数都成立的等式有： __________________________ ；只是存在实数使其成立的等式有：_____________ .
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．恒等式是进行代数变形的依据之一．
（1）（2）（4）（6）
（3）（5）
新知探究
【想一想】如何得到两数差的平方公式？
如何认识这个恒等式：对任意的x，a，b，都有（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab．
新知探究
这是我们经常会用到的恒等式：对任意的x，a，b，都有（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab．只需将左边展开然后合并同类项即可证明这个恒等式．从左到右是乘法运算，而从右到左是因式分解．一般地：给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则
x2＋Cx＋D＝（x＋a）（x＋b）．
为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用下图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”．
新知探究
【练一练】用十字相乘法分解因式
（1）x2＋5x＋6
（2）x2－2x－3
（3）x2＋2x－15
＝（x＋2）（x＋3）
＝（x－3）（x＋1）
＝（x＋5）（x－3）
上述恒等式的证明，也只需将左边展开然后合并同类项即可．据此也可进行因式分解，即（ax＋b）（cx＋d）＝acx2＋（ad＋bc）x＋bd．
新知探究
【练一练】用十字相乘法分解因式3x2＋11x＋10．
3x2＋11x＋10＝（x＋2）（3x＋5）．
1
2
3
5
新知探究
【想一想】（1）一元一次方程kx＋b＝0（k≠0）的根是什么？
方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值．
（2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式是什么？
一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集．
新知探究
【想一想】（1）一元一次方程kx＋b＝0（k≠0）的根是什么？
（2）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式是什么？
（1）
（2）当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两不等实根
当Δ＝b2－4ac＝0时，
当Δ＝b2－4ac＜0时，方程无实根．
新知探究
【练一练】求下列方程的解集．
（1）x2＋3x＋2＝0
（2）x2－2021x－2022＝0
{－1，－2}
{－1，2022}
新知探究
【想一想】一元二次方程的解集中一定有两个元素吗？
一元二次方程的解集中不一定有两个元素．
对于方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），
当Δ＝b2－4ac＝0时，
解集中有一个元素；
当Δ＝b2－4ac＜0时，方程无实根，解集中没有元素．
当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两不等实根
解集中有两个元素；
新知探究
例1　化简（2x＋1）2－（x－1）2．
方法一：可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开，然后合并同类项，即
（2x＋1）2－（x－1）2
＝4x2＋4x＋1－（x2－2x＋1）＝3x2＋6x．
方法二：可以将2x＋1和x－1分别看成一个整体，然后使用平方差公式，即
（2x＋1）2－（x－1）2＝[（2x＋1）＋（x＋1）][（2x＋1）－（x＋1）]
＝3x（x＋2）＝3x2＋6x．
新知探究
【练一练】将各式分解因式
（1）x2－25
（2）a2－6a＋9
（3）4m（x－y）－8n（y－x）
＝（x＋5）（x－5）
＝（a－3）2
＝4（x－y）（m＋2n）
分解因式的常用方法：（1）平方差公式法；（2）完全平方公式法；（3）提取公因式法；（4）十字相乘法．
（4）（a2＋4）2－16a2
＝（a＋2）2（a－2）2．
新知探究
例2　求方程x2－5x＋6＝0的解集．
因为x2－5x＋6＝0＝（x－2）（x－3），
所以原方程可以化为（x－2）（x－3）＝0，
从而可知x－2＝0或x－3＝0，
即x＝2或x＝3，因此所求解集为{2，3}．
新知探究
例3　求关于x的方程ax＝2的解集，其中a是常数．
【尝试与发现】能直接在等式ax＝2的两边同时除以a，从而得到x＝
吗？为什么？
新知探究
例3　求关于x的方程ax＝2的解集，其中a是常数．
当a≠0时，在等式ax＝2的两边同时乘以a，得x＝ ，
此时解集为{ }．
当a＝0时，方程变为0x＝2，这个方程无解，此时解集为?．
综上，当a≠0时，解集为{　}；当a＝0时，解集为?．
归纳小结
回顾本节课，你有什么收获？
（1）等式的性质有哪些？
（2）什么叫恒等式？什么叫十字相乘法？
（3）什么叫方程的解集？
作业：教科书P46练习B 1、2、3、4、5．
作业布置
再见