《2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系》第2课时 课件21张PPT
文档属性
| 名称 | 《2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系》第2课时 课件21张PPT |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 163.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-02 09:34:52 | ||
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文档简介
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
第2课时
问题1 阅读课本第47～49页，回答下列问题：
整体概览
（1）本节将要研究一元二次方程的根与系数的关系．（2）起点是一元二次方程的解法及求根公式，目标是会求解一元二次方程的两根和与两根积，并灵活运用根与系数的关系解决问题．提升数学运算素养．
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节要研究的问题在数学中的地位是怎样的？
情境与问题
学完一元二次方程的解集后，我就听到了咱班的小奕和小涵的一段悄悄话，内容如下：
小奕：小涵，我发现了一个秘密！
小涵：什么秘密？
小奕：你知道咱们尊敬的刘老师的年龄吗？
小涵：不知道哎！
情境与问题
小奕：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄是一元二次方程x2－13x＋36＝0的两根的积，回去你把两根求出来就知道了．
小涵：咳，这你可难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还告诉你，刘老师的年龄是方程x2－36x－40＝0的两根的和呢．
小奕：哈哈，你太有才了．对了，咱们应该也让同学们猜一猜，不解方程，能不能求出刘老师的年龄．
新知探究
问题 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）若有实数根，它的根是两个吗？这两根的和与积有什么特殊性吗？
前面我们已经知道，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解集情形：
（1）当Δ＝b2－4ac＞0时，方程的解集为
（2）当Δ＝b2－4ac＝0时，方程的解集为
新知探究
问题 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）若有实数根，它的根是两个吗？这两根的和与积有什么特殊性吗？
（3）当Δ＝b2－4ac＜0时，方程的解集为?．
当Δ＝b2－4ac≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根（当Δ＝0时，x1＝x2，按照初中的习惯，我们仍称方程有两个相等的实数根），计算可得：这两个实数根的和与积分别为
新知探究
问题 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）若有实数根，它的根是两个吗？这两根的和与积有什么特殊性吗？
（1）用语言叙述为：一元二次方程的解集不空时，两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数；两根之积为常数项与二次项系数之比．
（2）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根是x1，x2，用式子表示为：x1＋x2＝ ，x1x2＝ ．这个结论通常称为一元二次方程根与系数的关系．
新知探究
【数学文化】法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理．??由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理．
新知探究
例1 已知一元二次方程2x2＋3x－4＝0的两根为x1与x2，求下列各式的值：
（1）x12＋x22； （2）|x1－x2|．
问题：是否要求出x1和x2，并由此给出上述（1）和（2）的答案？
新知探究
由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝ ，x1x2＝－2，
（1）由上有x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2
＝（ ）2－2×（－2）
（2）因为（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2
＝（ ）2－4×（－2）
所以|x1－x2|＝ ．
新知探究
例2 已知关于x的一元二次方程mx2－（m＋2）x＋ ＝0有两个不相等的实数根x1，x2．若 ＝4m，试求m的值．
由题知 ，
解得m＞－1且m≠0．
因为x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，
所以 ，
解得m＝2或m＝－1．
又因为m＞－1，所以m＝2．
新知探究
例3 已知方程x2＋tx＋1＝0，根据下列条件，分别求出t的取值范围．
（1）两个根都大于0；
（2）两个根都小于0；
设方程x2＋tx＋1＝0的两个根为x1，x2．
所以t的取值范围为（－∞，－2]．
（1）由题意得 ，解得t≤－2．
新知探究
例3 已知方程x2＋tx＋1＝0，根据下列条件，分别求出t的取值范围．
（1）两个根都大于0；
（2）两个根都小于0；
设方程x2＋tx＋1＝0的两个根为x1，x2．
所以t的取值范围为[2，＋∞）．
（2） ，解得t≥2．
新知探究
【想一想】是否存在t，使方程x2＋tx＋1＝0一个根大于0，另一个根小于0．
由前面知道：若有解，两根积为1是正数，所以不可能两根异号的，即不存在实数t使得方程的一个根大于0，另一个根小于0．
新知探究
已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两个实数根，求x12＋x22＋4x1x2的值．
1
根据一元二次方程根与系数的关系可知x1＋x2＝3，x1x2＝－1．
所以x12＋x22＋4x1x2＝（x1＋x2）2＋2x1x2＝9－2＝7．
新知探究
已知关于x的方程x2＋（2k－1）x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2．
２
（1）关于x的方程x2＋（2k－1）x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，
Δ＝（2k－1）2－4（k2－1）＝－4k＋5≥0，
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12＋x22＝16＋x1x2，求实数k的值．
解得k≤ ，实数k的取值范围为（－∞， ]．
新知探究
已知关于x的方程x2＋（2k－1）x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2．
２
（2）关于x的方程x2＋（2k－1）x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，x1＋x2＝1－2k，x1x2＝k2－1．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12＋x22＝16＋x1x2，求实数k的值．
∵x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2＝16＋x1x2，
∴（1－2k）2－2（k2－1）＝16＋（k2－1），即k2－4k－12＝0，
新知探究
已知关于x的方程x2＋（2k－1）x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2．
２
解得k＝－2或k＝6（不符合题意，舍去）．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12＋x22＝16＋x1x2，求实数k的值．
所以实数k的值为－2．
归纳小结
回顾本节课，你有什么收获？
（1）一元二次方程根与系数的关系是什么？
（2）一元二次方程根与系数的关系使用条件是什么？
作业：教科书P51练习B 2、3．
作业布置
再见
第2课时
问题1 阅读课本第47～49页，回答下列问题：
整体概览
（1）本节将要研究一元二次方程的根与系数的关系．（2）起点是一元二次方程的解法及求根公式，目标是会求解一元二次方程的两根和与两根积，并灵活运用根与系数的关系解决问题．提升数学运算素养．
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节要研究的问题在数学中的地位是怎样的？
情境与问题
学完一元二次方程的解集后，我就听到了咱班的小奕和小涵的一段悄悄话，内容如下：
小奕：小涵，我发现了一个秘密！
小涵：什么秘密？
小奕：你知道咱们尊敬的刘老师的年龄吗？
小涵：不知道哎！
情境与问题
小奕：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄是一元二次方程x2－13x＋36＝0的两根的积，回去你把两根求出来就知道了．
小涵：咳，这你可难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还告诉你，刘老师的年龄是方程x2－36x－40＝0的两根的和呢．
小奕：哈哈，你太有才了．对了，咱们应该也让同学们猜一猜，不解方程，能不能求出刘老师的年龄．
新知探究
问题 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）若有实数根，它的根是两个吗？这两根的和与积有什么特殊性吗？
前面我们已经知道，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解集情形：
（1）当Δ＝b2－4ac＞0时，方程的解集为
（2）当Δ＝b2－4ac＝0时，方程的解集为
新知探究
问题 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）若有实数根，它的根是两个吗？这两根的和与积有什么特殊性吗？
（3）当Δ＝b2－4ac＜0时，方程的解集为?．
当Δ＝b2－4ac≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根（当Δ＝0时，x1＝x2，按照初中的习惯，我们仍称方程有两个相等的实数根），计算可得：这两个实数根的和与积分别为
新知探究
问题 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）若有实数根，它的根是两个吗？这两根的和与积有什么特殊性吗？
（1）用语言叙述为：一元二次方程的解集不空时，两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数；两根之积为常数项与二次项系数之比．
（2）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根是x1，x2，用式子表示为：x1＋x2＝ ，x1x2＝ ．这个结论通常称为一元二次方程根与系数的关系．
新知探究
【数学文化】法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理．??由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理．
新知探究
例1 已知一元二次方程2x2＋3x－4＝0的两根为x1与x2，求下列各式的值：
（1）x12＋x22； （2）|x1－x2|．
问题：是否要求出x1和x2，并由此给出上述（1）和（2）的答案？
新知探究
由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝ ，x1x2＝－2，
（1）由上有x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2
＝（ ）2－2×（－2）
（2）因为（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2
＝（ ）2－4×（－2）
所以|x1－x2|＝ ．
新知探究
例2 已知关于x的一元二次方程mx2－（m＋2）x＋ ＝0有两个不相等的实数根x1，x2．若 ＝4m，试求m的值．
由题知 ，
解得m＞－1且m≠0．
因为x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，
所以 ，
解得m＝2或m＝－1．
又因为m＞－1，所以m＝2．
新知探究
例3 已知方程x2＋tx＋1＝0，根据下列条件，分别求出t的取值范围．
（1）两个根都大于0；
（2）两个根都小于0；
设方程x2＋tx＋1＝0的两个根为x1，x2．
所以t的取值范围为（－∞，－2]．
（1）由题意得 ，解得t≤－2．
新知探究
例3 已知方程x2＋tx＋1＝0，根据下列条件，分别求出t的取值范围．
（1）两个根都大于0；
（2）两个根都小于0；
设方程x2＋tx＋1＝0的两个根为x1，x2．
所以t的取值范围为[2，＋∞）．
（2） ，解得t≥2．
新知探究
【想一想】是否存在t，使方程x2＋tx＋1＝0一个根大于0，另一个根小于0．
由前面知道：若有解，两根积为1是正数，所以不可能两根异号的，即不存在实数t使得方程的一个根大于0，另一个根小于0．
新知探究
已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两个实数根，求x12＋x22＋4x1x2的值．
1
根据一元二次方程根与系数的关系可知x1＋x2＝3，x1x2＝－1．
所以x12＋x22＋4x1x2＝（x1＋x2）2＋2x1x2＝9－2＝7．
新知探究
已知关于x的方程x2＋（2k－1）x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2．
２
（1）关于x的方程x2＋（2k－1）x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，
Δ＝（2k－1）2－4（k2－1）＝－4k＋5≥0，
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12＋x22＝16＋x1x2，求实数k的值．
解得k≤ ，实数k的取值范围为（－∞， ]．
新知探究
已知关于x的方程x2＋（2k－1）x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2．
２
（2）关于x的方程x2＋（2k－1）x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，x1＋x2＝1－2k，x1x2＝k2－1．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12＋x22＝16＋x1x2，求实数k的值．
∵x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2＝16＋x1x2，
∴（1－2k）2－2（k2－1）＝16＋（k2－1），即k2－4k－12＝0，
新知探究
已知关于x的方程x2＋（2k－1）x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2．
２
解得k＝－2或k＝6（不符合题意，舍去）．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12＋x22＝16＋x1x2，求实数k的值．
所以实数k的值为－2．
归纳小结
回顾本节课，你有什么收获？
（1）一元二次方程根与系数的关系是什么？
（2）一元二次方程根与系数的关系使用条件是什么？
作业：教科书P51练习B 2、3．
作业布置
再见