3.1.1 函数的基本性质第1课时 课件 34张PPT

函数的基本性质
第一课时

问题1　阅读课本节引言的内容，回答下列问题：
整体概览
（1）为什么要研究函数的性质？
（2）什么叫函数的性质？
（3）函数的性质主要有哪些？
（4）如何发现函数的性质？
通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律；
变化中的不变性就是性质，变化中的规律性也是性质；
比如随着自变量的增大函数值是增大
还是减小，有没有最大值或最小值，函数图象的对称性等；
的特征，可以发现函数的一些性质．
先画出函数图象，通过观察和分析图象

问题2　观察图1、图2、图3中的函数图象，你能说说图1与图2（或图3）的区别吗？
图1
图2
图3
图1的特点是：从左至右始终保持上升；
图2与图3的特点是：从左至右有升也有降．
问题导入

问题3　你能用函数的观点叙述图象从左至右上升（下降）吗？
用函数的观点看，就是函数值随着自变量的增大而增大（减小）．
新知探究

问题4　如何用符号语言准确刻画函数值随自变量的增大而增大（减小）呢？
追问1　你能说说函数f（x）＝x2的单调性吗？
画出它的图象，如图，
由图可知：当x＜0时，y随着x的增大而减小，
就说f（x）＝x2在区间（－∞，0]上是单调递减的；
当x＞0时，y随着x的增大而增大，
就说f（x）＝x2在区间[0，＋∞）上是单调递增的．
新知探究

追问2　如何用数量关系精确刻画“在区间[0，＋∞）上，f（x）＝x2的函数值随自变量的增大而增大”？
借助软件，在y轴右侧任意改变A，B的位置，
只要点A的横坐标大于点B的横坐标，
就会有点A的纵坐标大于点B的纵坐标．
将图象上的规律用函数的解析式表示出来，
就可以得到函数f（x）＝x2在区间[0，＋∞）上满足：
若x1，x2∈[0，＋∞）且x1＜x2，就有f（x1）＜f（x2）．
新知探究

追问3　虽然上述改变A，B的位置是随意的，但我们不能穷举所有的点，为了确保结论f（x1）＜f（x2）的正确性，你能尝试着给出它的证明吗？
?x1，x2∈[0，＋∞）且x1＜x2，
f（x1）＝x12，f（x2）＝x22，
根据不等式的性质7就可以得到f（x1）＜f（x2）．
新知探究

追问4　你能类似地描述f（x）＝x2在区间（－∞，0]上是减函数并证明吗？
若x1，x2∈[0，＋∞）且x1＜x2，
就有f（x1）＞f（x2）．
证明：?x1，x2∈（－∞，0]且x1＜x2，
f（x1）＝x12，f（x2）＝x22，
根据不等式的性质4和性质7就可以得到f（x1）＞f（x2）．
新知探究

追问5　函数f（x）＝|x|，f（x）＝－x2各有怎样的单调性？
f（x）＝|x|在区间（－∞，0]上单调递减，
在区间[0，＋∞）上单调递增；
f（x）＝－x2在区间（－∞，0]上单调递增，
在区间[0，＋∞）上是单调递减．
新知探究
新知探究
问题4　如何用符号语言准确刻画函数值随自变量的增大而增大（减小）呢？
图1
图2
如果?x1，x2∈D，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），
f（x）在区间D上单调递增（如图1）．
如果?x1，x2∈D，
都有f（x1）＞f（x2），
那么就称函数f（x）在区间D上单调递减（如
那么就称函数
当x1＜x2时，
图2）．
如果函数y＝f（x）在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
当函数f（x）在它的定义域上单调递增（减）时，我们称它为增（减）函数．
新知探究
单调性定义：
问题5　（1）设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且?x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），我们能说函数 f（x）在区间D上单调递增吗？你能举例说明吗？
（2）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？
新知探究
问题5　（1）设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且?x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），我们能说函数 f（x）在区间D上单调递增吗？你能举例说明吗？
新知探究
（1）不能，
比如函数f（x）＝x2，
当A＝{－1，2，3}，D＝[－1，3]时，
符合?x1，x2∈A，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），
但f（x）在区间D上不是单调递增的．
问题5　（2）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？
新知探究
（2）f（x）＝x在整个定义域上单调递增；
f（x）＝（x－1）2在区间（－∞，1]上单调递减，
在区间[1，＋∞）上单调递增．

例1　根据定义，研究函数f（x）＝kx＋b（k≠0）的单调性．
解：函数f（x）＝kx＋b（k≠0）的定义域是R．
?x1，x2∈R，且x1＜x2，则
f（x1）－f（x2）＝（kx＋b）－（kx＋b）＝k（x1－x2）．
由x1＜x2，得x1－x2＜0．
于是f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
这时，f（x）＝kx＋b（k≠0）是增函数．
所以，
新知探究
①当k＞0时，k（x1－x2）＜0．

解： ②当k＜0时，k（x1－x2）＞0．
于是f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．
这时，f（x）＝kx＋b（k≠0）是减函数．
新知探究
例1　根据定义，研究函数f（x）＝kx＋b（k≠0）的单调性．
例2　物理学中得玻意耳定律p＝ （k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大．试对此用函数的单调性证明．
证明：任取V1，V2∈（0，＋∞），且V1＜V2，
由V1，V2∈（0，＋∞），得V1V2＞0，
由V1＜V2，得V2－V1＞0，
则p1－p2＝ ＝ ，
新知探究
证明：又k＞0，所以p1－p2＞0，即p1＞p2，
也就是说，当体积V减小时，压强p将增大．
所以函数p＝ （k为正常数）在区间（0，＋∞）上单调递减．
例2　物理学中得玻意耳定律p＝ （k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大．试对此用函数的单调性证明．
新知探究

追问　你能总结用定义证明函数f（x）在区间D上的单调性的步骤吗？
第一步：在区间D上任取两个自变量的值x1，x2∈D，
在区间[1，＋∞）上单调递增．
第二步：计算f（x1）－f（x2），
将f（x1）－f（x2）分解为若干可以直接确定符号的式子，
简记为“作差、变形”；
新知探究

追问　你能总结用定义证明函数f（x）在区间D上的单调性的步骤吗？
第三步：确定f（x1）－f（x2）的符号．
若f（x1）－f（x2）＜0，则函数在区间D上单调递增；
若f（x1）－f（x2）＞0，则函数在区间D上单调递减．
简记为“断号、定论”．
新知探究
例3　根据定义证明函数y＝x＋ 在区间（1，＋∞）上的单调递增．
证明：?x1，x2∈（1，＋∞），且x1＜x2，
则y1－y2＝（x1＋ ）－（x2＋ ）＝（x1－x2）＋（ － ）
＝（x1－x2）＋ ＝（x1－x2）（1－－ ）
＝（x1－x2）（ ）
新知探究
证明：由x1，x2∈（1，＋∞），得x1＞1，x2＞1，
所以x1x2＞1，x1x2－1＞0．
由x1＜x2，得x1－x2＜0，
于是（x1－x2）（ ）＜0，即y1＜y2．
所以，函数y＝x＋ 在区间（1，＋∞）上的单调递增．
例3　根据定义证明函数y＝x＋ 在区间（1，＋∞）上的单调递增．
新知探究

追问　你能用单调性定义探究y＝x＋ 在整个定义域内的单调性吗？
x1－x2＜0，x1x2＞0，
所以当x1，x2∈（0，1）时，x1x2－1＜0，
则y1－y2＞0，即y1＞y2，
y＝x＋ 的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
当x1，x2∈（0，＋∞）时，在y1－y2＝（x1－x2）（ ）中，
所以y＝x＋ 在区间（0，1）上单调递减．
新知探究

追问　你能用单调性定义探究y＝x＋ 在整个定义域内的单调性吗？
同理可得，函数y＝x＋ 在区间（－∞，－1）上单调递增，
在区间（－1，0）上单调递减．
新知探究

问题6　回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：
归纳小结
（1）什么是函数的单调性？用定义证明单调性的步骤是怎样的？
（2）你能总结研究单调性的过程和方法吗？
（1）概念及步骤略．
（2）先画函数图象并观察图象上点的坐标变化趋势，得到单调性定性的叙述；再用数学符号准确表示，得到单调性的定量刻画；最后应用概念作判定与证明，在应用中掌握概念的本质．

作业：教科书习题3.2第1，2，3，6，8，9题．
作业布置

1．请根据右图描绘某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．
答案：在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人数的增加而降低．
目标检测
1

2．根据定义证明函数f（x）＝3x＋2是增函数．
因为f（x1）－f（x2）＝3（x1－x2）＜0，
目标检测
证明：任取x1，x2∈R，当x1＜x2时，
即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）＝3x＋2在R上是增函数．
2

3．证明函数f（x）＝－ 在区间（－∞，0）上单调递增．
目标检测
证明：任取x1，x2∈（－∞，0），且x1＜x2，
因为x1－x2＜0，x1x2＞0，
所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
则f（x1）－f（x2）＝ － ＝ ，
所以函数f（x）＝－ 在区间（－∞，0）上单调递增．
3

4．画出反比例函数y＝ 的图象．
目标检测
（1）这个函数的定义域I是什么？
（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论．
答案：图象略．
（1）（－∞，0）∪（0，＋∞）．
（2）当k＞0时，y＝ 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减；
当k＜0时，y＝ 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递增．
4

4．画出反比例函数y＝ 的图象．
目标检测
（1）这个函数的定义域I是什么？
（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论．
证明：当k＞0时，任取x1，x2∈（－∞，0），且x1＜x2，
因为x2－x1＞0，x1x2＞0，
所以f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
则f（x1）－f（x2）＝ ，
4

4．画出反比例函数y＝ 的图象．
目标检测
（1）这个函数的定义域I是什么？
（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论．
任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝ ，
证明：所以函数f（x）＝－ 在区间（－∞，0）上单调递减．
4

4．画出反比例函数y＝ 的图象．
目标检测
（1）这个函数的定义域I是什么？
（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论．
所以f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
证明：因为x2－x1＞0，x1x2＞0，
所以函数f（x）＝－ 在区间（0，＋∞）上单调递减．
4
再见