3.2二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时） 课件20张PPT
文档属性
| 名称 | 3.2二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时） 课件20张PPT |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 487.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-02 09:41:01 | ||
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文档简介
二次函数与一元二次方程、不等式
第一课时
分析：设矩形的一边长为x m，另一边为（12－x）m ，
由题意得 x（12－x）＞20
整理得 x2－12x＋20＜0
1．类比一元一次不等式，这个不等式有什么特点？
2．能否给这类不等式起个名字，并写出它的一般形式？
情境引入
问题1 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？
我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
情境引入
一元二次不等式的一般形式是：
ax2＋bx＋c＞0（a＞0）或ax2＋bx＋c＜0（a＞0）
新知探究
一次函数
y＝ax＋b（a≠0）
几
何
代
数
与x轴的
交点（x，0）
一元一次方程
ax＋b＝0（a≠0）
对应的点
与x轴上方的
点（x，y）（y＞0）
与x轴上方的
点（x，y）（y＞0）
一元一次不等式
ax＋b＞0（a≠0）
的图象
一元一次不等式
ax＋b＜0（a≠0）
的图象
y＝0
求x的值
y＞0时求x
的取值范围
y＜0时求x
的取值范围
一元一次方程
ax＋b＝0（a≠0）
一元一次不等式
ax＋b＞0（a≠0）
一元一次不等式
ax＋b＜0（a≠0）
问题2 在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．那么这三个“一次”之间的关系是什么？
解：当y＝0时，即方程 x2－12x＋20＝0的解为x1＝2，x2＝10，
并且 x1＝2，x2＝10 也是二次函数的零点．
当y＞ 0时，即不等式x2－12x＋20＞0
的解集是 {x|x＜2或x＞10}，
当y ＜0时，即不等式x2－12x＋20＜0
的解集是{x|2＜x＜10}．
新知探究
问题3 类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？以函数y＝x2－12x＋20为例．
新知探究
问题4 求解一元二次不等式x2－12x＋20＜0解集的方法，是否可以推广到一般的一元二次不等式？对于一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与相应的函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）之间是否也具有类似的关系？请你完成下表．
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c
（a＞0）的图象
ax2＋bx＋c＝0
（a＞0）的根
ax2＋bx＋c＞0
（a＞0）的解集
ax2＋bx＋c＜0
（a＞0）的解集
有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2）
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
{x|x＜x1，或x＞x2}
{x|x≠－ }
R
{x|x1＜x＜x2}
新知探究
φ
φ
（1）x2－5x＋6＞0 （2）9x2－6x＋1＞0 （3）－x2＋2x－3＞0
解：（1）对于方程x2－5x＋6＝0，因为Δ＞0，
所以它有两个实数根，解得x1＝2，x2＝3，
画出二次函数y＝x2－5x＋6的图象（图1）
结合图象得不等式x2－5x＋6＞0的解集为{x|x＜2，或x＞3}．
图1
新知探究
例1 求下列不等式的解集：
（1）x2－5x＋6＞0 （2）9x2－6x＋1＞0 （3）－x2＋2x－3＞0
解：（2）对于方程9x2－6x＋1＝0，因为Δ＝0，
画出二次函数y＝9x2－6x＋1的图象（图2），
所以它有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝ ，
图2
结合图象得不等式9x2－6x＋1＞0的解集为 ．
新知探究
例1 求下列不等式的解集：
（1）x2－5x＋6＞0 （2）9x2－6x＋1＞0 （3）－x2＋2x－3＞0
解：（3）不等式可化为x2－2x＋3＜0，因为 Δ ＝－8＜0，
所以方程x2－2x＋3＝0无实数根，
画出二次函数y＝x2－2x＋3的图象（图3），
结合图象得不等式x2－2x＋3＜0的解集为φ．
因此原不等式的解集为φ．
图3
新知探究
例1 求下列不等式的解集：
解：根据题意可知a＜0．
代入所求不等式得ax2＋2ax－15a＜0．①
又∵a＜0，∴①化为x2＋2x－15＞0．
令ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
由根与系数的关系得
解得
新知探究
例2 已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x＜－3，或x＞5}，则ax2－bx＋c＜0的解集为________．
解：对于方程x2＋2x－15＝0，因为Δ＞0，
所以它有两个实数根，解得x1＝－5，x2＝3，
画出二次函数y＝x2＋2x－15的图象（图4），
结合图象得不等式x2＋2x－15＞0的解集为{x|x＞3，或x＞－5}．
图4
新知探究
例2 已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x＜－3，或x＞5}，则ax2－bx＋c＜0的解集为________．
归纳小结
从具体的实际问题入手，利用函数、方程与不等式的关系，结合相应的二次函数图象，求一元二次不等式的解集．其中体现了数形结合、化归及函数思想．
问题4 这节课我们学习了解一元二次不等式，那么我们是如何去研究一元二次不等式解的过程的？在这个过程中体现了哪些数学方法和思想？
步骤：（1）先把二次项系数化为正数；
（2）求判别式的值；
（3）求相应方程的实数根；
（4）结合函数图象写出一元二次不等式的解集．
归纳小结
求解一元二次不等式的一般步骤是什么？
归纳小结
目标检测
A． {x|－6≤x≤1} B．{x|2≤x≤3}
C． {x|x≥3或x≤2} D． {x|x≥1或x≤－6}
A
即（x＋6）（x－1）≤0，
解得－6≤x≤1，
∴不等式的解集为{x|－6≤x≤1}．
不等式－x2－5x＋6≥0的解集为（ ）
1
解析：不等式－x2－5x＋6≥0可化为x2＋5x－6≤0，
目标检测
A． （－3a，4a） B． （4a，－3a）
C． （－3a，a） D．（6a，2a）
B
∴－3a＞4a．
∴不等式的解集为（4a，－3a）．
不等式x2－ax－12a2＜0（其中a＜0）的解集为（ ）
2
解析： ∵x2－ax－12a2＝（x－4a）（x＋3a），其中a＜0，
目标检测
（1）求a，b的值；
（2）解不等式ax2－（a＋b）x＋b＜0．
且a＞0，则
解得
已知不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．
3
解：（1）由题意得x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两根，
目标检测
即（x－1）（x－2）＜0，∴1＜x＜2．
∴不等式得解集为（1，2）．
（1）求a，b的值；
（2）解不等式ax2－（a＋b）x＋b＜0．
已知不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．
3
解： （2）由a＝1，b＝2得不等式为x2－3x＋2＜0，
再见
第一课时
分析：设矩形的一边长为x m，另一边为（12－x）m ，
由题意得 x（12－x）＞20
整理得 x2－12x＋20＜0
1．类比一元一次不等式，这个不等式有什么特点？
2．能否给这类不等式起个名字，并写出它的一般形式？
情境引入
问题1 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？
我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
情境引入
一元二次不等式的一般形式是：
ax2＋bx＋c＞0（a＞0）或ax2＋bx＋c＜0（a＞0）
新知探究
一次函数
y＝ax＋b（a≠0）
几
何
代
数
与x轴的
交点（x，0）
一元一次方程
ax＋b＝0（a≠0）
对应的点
与x轴上方的
点（x，y）（y＞0）
与x轴上方的
点（x，y）（y＞0）
一元一次不等式
ax＋b＞0（a≠0）
的图象
一元一次不等式
ax＋b＜0（a≠0）
的图象
y＝0
求x的值
y＞0时求x
的取值范围
y＜0时求x
的取值范围
一元一次方程
ax＋b＝0（a≠0）
一元一次不等式
ax＋b＞0（a≠0）
一元一次不等式
ax＋b＜0（a≠0）
问题2 在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．那么这三个“一次”之间的关系是什么？
解：当y＝0时，即方程 x2－12x＋20＝0的解为x1＝2，x2＝10，
并且 x1＝2，x2＝10 也是二次函数的零点．
当y＞ 0时，即不等式x2－12x＋20＞0
的解集是 {x|x＜2或x＞10}，
当y ＜0时，即不等式x2－12x＋20＜0
的解集是{x|2＜x＜10}．
新知探究
问题3 类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？以函数y＝x2－12x＋20为例．
新知探究
问题4 求解一元二次不等式x2－12x＋20＜0解集的方法，是否可以推广到一般的一元二次不等式？对于一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与相应的函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）之间是否也具有类似的关系？请你完成下表．
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c
（a＞0）的图象
ax2＋bx＋c＝0
（a＞0）的根
ax2＋bx＋c＞0
（a＞0）的解集
ax2＋bx＋c＜0
（a＞0）的解集
有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2）
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
{x|x＜x1，或x＞x2}
{x|x≠－ }
R
{x|x1＜x＜x2}
新知探究
φ
φ
（1）x2－5x＋6＞0 （2）9x2－6x＋1＞0 （3）－x2＋2x－3＞0
解：（1）对于方程x2－5x＋6＝0，因为Δ＞0，
所以它有两个实数根，解得x1＝2，x2＝3，
画出二次函数y＝x2－5x＋6的图象（图1）
结合图象得不等式x2－5x＋6＞0的解集为{x|x＜2，或x＞3}．
图1
新知探究
例1 求下列不等式的解集：
（1）x2－5x＋6＞0 （2）9x2－6x＋1＞0 （3）－x2＋2x－3＞0
解：（2）对于方程9x2－6x＋1＝0，因为Δ＝0，
画出二次函数y＝9x2－6x＋1的图象（图2），
所以它有两个相等的实数根，解得x1＝x2＝ ，
图2
结合图象得不等式9x2－6x＋1＞0的解集为 ．
新知探究
例1 求下列不等式的解集：
（1）x2－5x＋6＞0 （2）9x2－6x＋1＞0 （3）－x2＋2x－3＞0
解：（3）不等式可化为x2－2x＋3＜0，因为 Δ ＝－8＜0，
所以方程x2－2x＋3＝0无实数根，
画出二次函数y＝x2－2x＋3的图象（图3），
结合图象得不等式x2－2x＋3＜0的解集为φ．
因此原不等式的解集为φ．
图3
新知探究
例1 求下列不等式的解集：
解：根据题意可知a＜0．
代入所求不等式得ax2＋2ax－15a＜0．①
又∵a＜0，∴①化为x2＋2x－15＞0．
令ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
由根与系数的关系得
解得
新知探究
例2 已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x＜－3，或x＞5}，则ax2－bx＋c＜0的解集为________．
解：对于方程x2＋2x－15＝0，因为Δ＞0，
所以它有两个实数根，解得x1＝－5，x2＝3，
画出二次函数y＝x2＋2x－15的图象（图4），
结合图象得不等式x2＋2x－15＞0的解集为{x|x＞3，或x＞－5}．
图4
新知探究
例2 已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x＜－3，或x＞5}，则ax2－bx＋c＜0的解集为________．
归纳小结
从具体的实际问题入手，利用函数、方程与不等式的关系，结合相应的二次函数图象，求一元二次不等式的解集．其中体现了数形结合、化归及函数思想．
问题4 这节课我们学习了解一元二次不等式，那么我们是如何去研究一元二次不等式解的过程的？在这个过程中体现了哪些数学方法和思想？
步骤：（1）先把二次项系数化为正数；
（2）求判别式的值；
（3）求相应方程的实数根；
（4）结合函数图象写出一元二次不等式的解集．
归纳小结
求解一元二次不等式的一般步骤是什么？
归纳小结
目标检测
A． {x|－6≤x≤1} B．{x|2≤x≤3}
C． {x|x≥3或x≤2} D． {x|x≥1或x≤－6}
A
即（x＋6）（x－1）≤0，
解得－6≤x≤1，
∴不等式的解集为{x|－6≤x≤1}．
不等式－x2－5x＋6≥0的解集为（ ）
1
解析：不等式－x2－5x＋6≥0可化为x2＋5x－6≤0，
目标检测
A． （－3a，4a） B． （4a，－3a）
C． （－3a，a） D．（6a，2a）
B
∴－3a＞4a．
∴不等式的解集为（4a，－3a）．
不等式x2－ax－12a2＜0（其中a＜0）的解集为（ ）
2
解析： ∵x2－ax－12a2＝（x－4a）（x＋3a），其中a＜0，
目标检测
（1）求a，b的值；
（2）解不等式ax2－（a＋b）x＋b＜0．
且a＞0，则
解得
已知不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．
3
解：（1）由题意得x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两根，
目标检测
即（x－1）（x－2）＜0，∴1＜x＜2．
∴不等式得解集为（1，2）．
（1）求a，b的值；
（2）解不等式ax2－（a＋b）x＋b＜0．
已知不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．
3
解： （2）由a＝1，b＝2得不等式为x2－3x＋2＜0，
再见