沪科版数学九年级上册 第21章 二次函数与反比例函数同步 测试试题(Word版 含答案)

第21章测试卷
测试范围：第21章
时间：120分钟
满分：150分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．若A（2，4）与B（﹣2，a）都是反比例函数y＝（k≠0）图象上的点，则a的值是（　　）
A．4
B．﹣4
C．2
D．﹣2
2．把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（　　）
A．y＝x2+2
B．y＝（x﹣1）2+1
C．y＝（x﹣2）2+2
D．y＝（x﹣1）2+3
3．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（　　）
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而增大
D．图象与x轴有唯一交点
4．反比例函数y＝与一次函数y＝的图象有一个交点B（，m），则k的值为（　　）
A．1
B．2
C．
D．
已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数y＝与一次函数
y＝﹣cx+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　）
A．
B．
C．D．
第5题图
第6题图
6．如图，点P（m，1），点Q（﹣2，n）都在反比例函数y＝的图象上．过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N．连接OP，OQ，PQ．若四边形OMPN的面积记作S1，△POQ的面积记作S2，则（　　）
A．S1：S2＝2：3
B．S1：S2＝1：1
C．S1：S2＝4：3
D．S1：S2＝5：3
7．若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣1
B．﹣1＜a＜1
C．a＞1
D．a＜﹣1或a＞1
8．对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（　　）
A．0＜＜1
B．＞1
C．0＜＜1
D．＞1
9．点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，则m﹣n的最大值等于（　　）
A．
B．4
C．﹣
D．﹣
10．如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　）
A．B．C．D．
第10题图
第12题图
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象的顶点坐标为　
　
　．
12．如图，一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴．垂足分别为点D，E．当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为　
　．
13．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为______min．
14．我们用符号[x]表示不大于x的最大整数．例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2．那么：
（1）当﹣1＜[x]≤2时，x的取值范围是　
　　；
（2）当﹣1≤x＜2时，函数y＝x2﹣2a[x]+3的图象始终在函数y＝[x]+3的图象上方或图象上，则实数a的范围是　
　．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知近视眼镜片的度数y（度）是镜片焦距x（cm）（x＞0）的反比例函数，调查数据如下表：
眼镜片度数y（度）
400
625
800
1000
…
1250
镜片焦距x（cm）
25
16
12.5
10
…
8
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若近视眼镜镜片的度数为500度，求该镜片的焦距．
16．已知反比例函数y＝，（k为常数，k≠3）．
（1）若点A（2，3）在这个函数的图象上，求k的值；
（2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．已知抛物线y＝（m+1）x|m|+1﹣4x+3．
（1）求m的值及此抛物线的对称轴；
（2）判断该抛物线与x轴交点的个数，并说明理由．
18．2019年10月31日，三大运营商宣布5G商用正式启动，5G资费套餐上线，5G时代大步流星地走来．某电器城准备销售某种型号的5G手机，在销售过程中发现，当零售价为4000元时，每天可以售出8台，日销售利润为4000元，当零售价每降低50元时，每天多售出4台，设该型号5G手机的零售价降低x（元）时，日销售量为y（台）．
（1）求y关于x的函数表达式（写出x的取值范围）；
（2）当零售价为多少元时，日销售利润最大，最大利润为多少元？
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连接OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求∠EOD的度数．
20．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
六、（本题满分12分）
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3（k≠0）与x轴交于点A，与双曲线
y＝（m≠0）的一个交点为B（﹣1，4）．
（1）求直线与双曲线的表达式；
（2）过点B作BC⊥x轴于点C，若点P在双曲线y＝上，且△PAC的面积为4，求点P的坐标．
七、（本题满分12分）
22．如图，二次函数y＝﹣x2+（n﹣1）x+3的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B（﹣2，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是第二象限内二次函数图象上的一点，过点P作y轴的垂线与线段AB交于点C，求线段PC长度的最大值．
八、（本题满分14分）
23．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．当PE＝2ED时，求P点坐标；
（3）如图2所示，设抛物线与y轴交于点F，在第一象限内的抛物线上，是否存在一点Q，使得四边形OFQC的面积最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
答
案
1．B
2．C
3．C
4．C
5．C
6．C
7．B
8．A
9．C
10．A
解析：如图1所示，当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．
∵△ABC和△DEF均为等边三角形，∴△GEJ为等边三角形．
∴GH＝EJ＝x，∴y＝EJ?GH＝x2．
当x＝2时，y＝，且抛物线的开口向上．
如图2所示，当2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H，则易得FJ=2+2-x=4-x，GH=FJ=(4-x)，∴y＝FJ?GH＝（4﹣x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．故选A．
11．（﹣1，4）
12．2
13．3.75
14．（1）0≤x＜3
（2）﹣≤a≤0
解析：由题意，当﹣1≤x＜0时，[x]＝﹣1，函数分别为：y1＝x2+2a+3，y2＝2，2a+3≥2，∴a≥﹣；当0≤x＜1时，[x]＝0，y1＝x2﹣2a[x]+3＝x2+3，y2＝[x]+3＝3，此时y1≥y2，即y1的图象在y2的图象上方或图象上；当1≤x＜2时，[x]＝1，y1＝x2﹣2a+3，y2＝4，又∵当1≤x＜2时，y1随的x增大而增大，∴1﹣2a+3≥4，解得a≤0．
综上所述，当﹣≤a≤0时，函数y＝x2﹣2a[x]+3的图象始终在函数y＝[x]+3的图象上方或图象上，故答案为﹣≤a≤0．
15．解：（1）由表中数据可知y与x之积恒为10000，则函数的表达式是y＝．（4分）
（2）令y＝500，则500＝，解得x＝20．即该镜片的焦距是20
cm．（8分）
16．解：（1）∵点A（2，3）在这个函数的图象上，∴k﹣3＝2×3，解得k＝9．（4分）
（2）由题意得k﹣3＜0，解得k＜3．（8分）
17．解：（1）由题意得m+1≠0，且|m|+1＝2，解得m＝1．
故抛物线的表达式为：y＝2x2﹣4x+3，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．（4分）
（2）该抛物线与坐标轴交点个数为0，理由如下：令y=0，即2x2-4x+3=0，则△＝b2﹣4ac＝16﹣4×2×3＝﹣8＜0，故方程2x2-4x+3=0没有实数根，即抛物线与x轴交点的个数为0．（8分）
18．解：（1）由题意得：y＝8+×4，即y＝x+8．
∵每天可以售出8台，日销售利润为4000元，
∴每台利润为：4000÷8＝500（元）．∴0≤x＜500．
∴y关于x的函数表达式为y＝x+8（0≤x＜500）．（4分）
（2）设日销售利润为w元，根据题意得
w＝（﹣x）（x+8）＝﹣x2+32x+4000＝﹣（x﹣200）2+7200．
∴当x＝200时，w最大为7200，∴4000﹣200＝3800（元）．
∴当零售价为3800元时，日销售利润最大，最大利润为7200元．（8分）
19．解：（1）∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD＝45°，∴△AOD是等腰直角三角形．
∵OA＝2，∴OD＝AD＝2，∴A（2，2）．
∵顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝2×2＝4．
∴反比例函数的解析式为y＝（x＞0）．（5分）
（2）∵AB＝2OA，点E恰为AB的中点，∴OA＝AE，∴∠AOE＝∠AEO．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB的中点，∴CE＝AE＝BE，∴∠ECB＝∠EBC．
∴∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠ECB，又易得BC∥x轴，∴∠EOD＝∠ECB．
∴∠AOE＝∠AEO=2∠ECB=2∠EOD，∵∠AOD＝45°，∴∠EOD＝15°．（10分）
20．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2＝a（x﹣1）2+2a2﹣a﹣3．
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．（3分）
（2）∵抛物线的顶点在x轴上，∴2a2﹣a﹣3＝0，解得a＝或a＝﹣1．
∴抛物线为y＝x2﹣3x+或y＝﹣x2+2x﹣1．（6分）
（3）∵抛物线的对称轴为x＝1，则Q（3，y2）关于x＝1对称点的坐标为（﹣1，y2），
∴当a＞0，﹣1＜m＜3时，y1＜y2；当a＜0，m＜﹣1或m＞3时，y1＜y2．（10分）
21．解：（1）∵直线y＝kx+3（k≠0）与双曲线y＝（m≠0）都经过点B（﹣1，4），
∴﹣k+3＝4，m＝﹣1×4．∴k＝﹣1，m＝﹣4．
∴直线的表达式为y＝﹣x+3，双曲线的表达式为．（6分）
（2）由题意，得点C的坐标为C（﹣1，0），直线y＝﹣x+3与x轴交于点A（3，0）．
∴AC＝4．∵，∴yP＝±2．∵点P在双曲线上，∴点P的坐标为P1（﹣2，2）或P2（2，﹣2）．（12分）
22．解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+（n﹣1）x+3的图象与x轴的负半轴交于点B（﹣2，0），
∴0＝﹣（﹣2）2+（n﹣1）×（﹣2）+3，解得n＝，∴y＝﹣x2﹣x+3．
即二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+3．（5分）
（2）∵y＝﹣x2﹣x+3，∴当x＝0时，y＝3，∴点A的坐标为（0，3）．
设过点A（0，3），B（﹣2，0）的直线解析式为y＝kx+b，将坐标代入得，解得，
即直线AB的解析式为y＝x+3，设点P的坐标为（a，﹣a2﹣a+3），则点C的坐标为（a2﹣a，﹣a2﹣a+3），则PC＝a2﹣a﹣a＝﹣（a+1）2+．
∵点P是第二象限内二次函数图象上的一点，∴﹣2＜a＜0．
∴当a＝﹣1时，线段PC的长度取得最大值，此时PC＝，即线段PC长度的最大值是．（12分）
23．解：（1）∵点B（4，m）在直线y＝x+1上，∴m＝4+1＝5，∴B（4，5）．
把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5．（4分）
（2）设P（x，﹣x2+4x+5），则E（x，x+1），D（x，0），则PE＝|﹣x2+4x+5﹣（x+1）|＝
|﹣x2+3x+4|，DE＝|x+1|．∵PE＝2ED，∴|﹣x2+3x+4|＝2|x+1|．
当﹣x2+3x+4＝2（x+1）时，解得x＝﹣1或x＝2，但当x＝﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，∴P（2，9）；当﹣x2+3x+4＝﹣2（x+1）时，解得x＝﹣1（舍去）或x＝6，∴P（6，﹣7）；综上可知P点坐标为（2，9）或（6，﹣7）．（8分）
（3）存在这样的点Q，使得四边形OFQC的面积最大．
如图，过点Q作QP⊥x轴于点P，设Q（n，﹣n2+4n+5）（n＞0），则PO＝n，PQ＝﹣n2+4n+5，CP＝5﹣n，∵F(0，5)，∴OF=5.∴四边形OFQC的面积＝S四边形PQFO+S△PQC＝×（﹣n2+4n+5+5）?n+×（5﹣n）×（﹣n2+4n+5）＝﹣n2+n+＝﹣（n﹣）2+．
当n＝时，四边形OFQC的面积取得最大值，最大值为，此时点Q的坐标为（，）．（14分）