《2.1.3 方程组的解集》示范教学课件21张PPT
文档属性
| 名称 | 《2.1.3 方程组的解集》示范教学课件21张PPT |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 148.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-02 10:15:32 | ||
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文档简介
2.1.3 方程组的解集
问题1 阅读课本第51～54页，回答下列问题：
整体概览
（1）本节将要研究方程组的解集．（2）起点是二元一次方程的解集，目标是会用消元法求解二元一次方程组、三元一次方程组以及二元二次方程组．提升数学运算素养．
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
情境与问题
《九章算术》第八章“方程”问题一：今有上禾田三来⑧，中禾二秉，下禾一来，实三十九斗⑤；上禾二乘，中禾三来，下禾一乘，实三十四斗；上禾一乘，中禾二秉，下禾三乘，实二十六斗．问上、中、下禾实一乘各几何．请列方程组求解这个问题．
新知探究
问题1 为了更好地解决上述问题，我们先来研究以下问题：将x－y＝1看成含有两个未知数x，y的方程：
（1）判断（x，y）＝（3，2）（指的是 下同）是否是这个方程的解；
（2）判断这个方程的解集是有限集还是无限集．
【想一想】二元一次方程的解集都是无限集吗？
是！
新知探究
问题2 在刚才二元一次方程的基础上再增加一个方程，如何求方程组 的解集？解集是有限集还是无限集．
新知探究
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．因此，方程组 的解集是{（x，y）| x－y＝1 } ∩ {（x，y）| x＋y＝3 }＝{（2，1）}．
由上可以看出，求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是以前学过的消元法（消元的方法有代入消元法与加减消元法）．
新知探究
【想一想】一般情况下，二元一次方程组的解集是单元素集合，那么二元一次方程组的解集都是单元素集合吗？
不是！
新知探究
问题3 如何求解情境与问题中的实际应用问题？
解三元一次方程组的基本步骤：（1）观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数；（2）利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组；（3）解二元一次方程组，求出两个未知数的值；（4）将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求出第三个未知数的值；（5）写出三元一次方程组的解．
新知探究
【想一想】如果是三个未知时两个方程，如何求解集呢？
如：设方程组 的解集为A．判断（x，y，z）＝（3，
2，0）和（x，y，z）＝（4，4，1）是否是集合A中的元素；判断A
是一个有限集还是一个无限集．
新知探究
当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．
新知探究
例1 今年“五一”小长假期间，某市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增长30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人．分别求出该市今年外来和外出旅游的人数．
设去年同期外来旅游的人数为x万人，外出旅游的人数为y万人．
由题意得
解这个方程组，得 ，
所以（1＋30%）x＝130，（1＋20%）y＝96．
故该市今年外来和外出旅游的人数分别是130万人和96万人．
新知探究
列方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个未知数；（2）找：找出题目中的两个相等关系；（3）列：根据这两个相等关系列出代数式，从而列出方程组；（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案．
新知探究
例2 求方程组 的解集．
将②代入①，整理得x2＋x－2＝0，解得x＝1或x＝－2．
利用②可知，x＝1时，y＝2；x＝－2时，y＝－1．
所以原方程组的解集为{（1，2），（－2，－1）}．
新知探究
例3 求方程组 的解集．
由①－②，整理得
x＋2y－3＝0．③
由③解得x＝3－2y．代入①，并整理，得5y2－12y＋7＝0，解得
y＝1或y＝
利用③可知，y＝1时，x＝1；y＝ 时，x＝
因此，原方程组的解集为{（1，1），（ ， ）}．
归纳小结
回顾本节课，你有什么收获？
（1）二元一次方程的解集
（2）二元一次方程组的解集
（3）三元一次方程组的解集
（4）二元二次方程组的解集
作业：教科书P55练习B 1、2、3、4、5．
作业布置
拓展阅读
《九章算术》中的代数成就简介
《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，全书分为九章，共246个问题，包含了算术、代数、几何等多方面的成就，代数方面，《九章算术》的第八章为“方程”，但指的是一次方程组，情境与问题中的题是其中的第一个问题．《九章算术》给出了解这个问题的“方程术”，其实质是将方程中未知数的系数与最后的常数项排成长方形的形式，然后采用“遍乘直除”的算法来解，过程可表示如下．
拓展阅读
3 2 1 39 3 2 1 39 3 2 1 39 4 0 0 37
2 3 1 34?0 5 1 24?0 5 1 24?0 4 0 17
1 2 3 26 0 4 8 39 0 0 4 11 0 0 4 11
其中第一步是将第二行的数乘以3，然后不断地减去第一行，直到第一个数变为0为止，然后对第三行做同样的操作，其余的步骤都类似．
拓展阅读
《九章算术》在代数方面的另一项成就是引进了负数，在用“方程术”解方程组时，可能出现减数大于被减数的情形，为此，《九章算术》给出了“正负术”，即正负数的加减运算法则．
不难看出，“遍乘直除”的目的在于消元．按照我国著名数学史学家李文林先生的说法，《九章算术》的方程术，是世界数学史上的一颗明珠，
拓展阅读
而且，“开方术”中还提到：若开之不尽者，为不可开．这是意识到了无理数的存在．你知道其他地区类似的代数成就出现的时间吗？感兴趣的同学请查阅有关书籍或网络进行了解吧！
另外，“开方术”也是《九章算术》的代数成就之一，其实质是给出了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a0）的数值求解步骤．
再见
问题1 阅读课本第51～54页，回答下列问题：
整体概览
（1）本节将要研究方程组的解集．（2）起点是二元一次方程的解集，目标是会用消元法求解二元一次方程组、三元一次方程组以及二元二次方程组．提升数学运算素养．
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
情境与问题
《九章算术》第八章“方程”问题一：今有上禾田三来⑧，中禾二秉，下禾一来，实三十九斗⑤；上禾二乘，中禾三来，下禾一乘，实三十四斗；上禾一乘，中禾二秉，下禾三乘，实二十六斗．问上、中、下禾实一乘各几何．请列方程组求解这个问题．
新知探究
问题1 为了更好地解决上述问题，我们先来研究以下问题：将x－y＝1看成含有两个未知数x，y的方程：
（1）判断（x，y）＝（3，2）（指的是 下同）是否是这个方程的解；
（2）判断这个方程的解集是有限集还是无限集．
【想一想】二元一次方程的解集都是无限集吗？
是！
新知探究
问题2 在刚才二元一次方程的基础上再增加一个方程，如何求方程组 的解集？解集是有限集还是无限集．
新知探究
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．因此，方程组 的解集是{（x，y）| x－y＝1 } ∩ {（x，y）| x＋y＝3 }＝{（2，1）}．
由上可以看出，求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是以前学过的消元法（消元的方法有代入消元法与加减消元法）．
新知探究
【想一想】一般情况下，二元一次方程组的解集是单元素集合，那么二元一次方程组的解集都是单元素集合吗？
不是！
新知探究
问题3 如何求解情境与问题中的实际应用问题？
解三元一次方程组的基本步骤：（1）观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数；（2）利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组；（3）解二元一次方程组，求出两个未知数的值；（4）将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求出第三个未知数的值；（5）写出三元一次方程组的解．
新知探究
【想一想】如果是三个未知时两个方程，如何求解集呢？
如：设方程组 的解集为A．判断（x，y，z）＝（3，
2，0）和（x，y，z）＝（4，4，1）是否是集合A中的元素；判断A
是一个有限集还是一个无限集．
新知探究
当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．
新知探究
例1 今年“五一”小长假期间，某市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增长30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人．分别求出该市今年外来和外出旅游的人数．
设去年同期外来旅游的人数为x万人，外出旅游的人数为y万人．
由题意得
解这个方程组，得 ，
所以（1＋30%）x＝130，（1＋20%）y＝96．
故该市今年外来和外出旅游的人数分别是130万人和96万人．
新知探究
列方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个未知数；（2）找：找出题目中的两个相等关系；（3）列：根据这两个相等关系列出代数式，从而列出方程组；（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案．
新知探究
例2 求方程组 的解集．
将②代入①，整理得x2＋x－2＝0，解得x＝1或x＝－2．
利用②可知，x＝1时，y＝2；x＝－2时，y＝－1．
所以原方程组的解集为{（1，2），（－2，－1）}．
新知探究
例3 求方程组 的解集．
由①－②，整理得
x＋2y－3＝0．③
由③解得x＝3－2y．代入①，并整理，得5y2－12y＋7＝0，解得
y＝1或y＝
利用③可知，y＝1时，x＝1；y＝ 时，x＝
因此，原方程组的解集为{（1，1），（ ， ）}．
归纳小结
回顾本节课，你有什么收获？
（1）二元一次方程的解集
（2）二元一次方程组的解集
（3）三元一次方程组的解集
（4）二元二次方程组的解集
作业：教科书P55练习B 1、2、3、4、5．
作业布置
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《九章算术》中的代数成就简介
《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，全书分为九章，共246个问题，包含了算术、代数、几何等多方面的成就，代数方面，《九章算术》的第八章为“方程”，但指的是一次方程组，情境与问题中的题是其中的第一个问题．《九章算术》给出了解这个问题的“方程术”，其实质是将方程中未知数的系数与最后的常数项排成长方形的形式，然后采用“遍乘直除”的算法来解，过程可表示如下．
拓展阅读
3 2 1 39 3 2 1 39 3 2 1 39 4 0 0 37
2 3 1 34?0 5 1 24?0 5 1 24?0 4 0 17
1 2 3 26 0 4 8 39 0 0 4 11 0 0 4 11
其中第一步是将第二行的数乘以3，然后不断地减去第一行，直到第一个数变为0为止，然后对第三行做同样的操作，其余的步骤都类似．
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《九章算术》在代数方面的另一项成就是引进了负数，在用“方程术”解方程组时，可能出现减数大于被减数的情形，为此，《九章算术》给出了“正负术”，即正负数的加减运算法则．
不难看出，“遍乘直除”的目的在于消元．按照我国著名数学史学家李文林先生的说法，《九章算术》的方程术，是世界数学史上的一颗明珠，
拓展阅读
而且，“开方术”中还提到：若开之不尽者，为不可开．这是意识到了无理数的存在．你知道其他地区类似的代数成就出现的时间吗？感兴趣的同学请查阅有关书籍或网络进行了解吧！
另外，“开方术”也是《九章算术》的代数成就之一，其实质是给出了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a0）的数值求解步骤．
再见