《2.2.1不等式及其性质》第2课时示范教学课件21张PPT
文档属性
| 名称 | 《2.2.1不等式及其性质》第2课时示范教学课件21张PPT |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 245.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-02 10:16:56 | ||
图片预览
文档简介
2.2.1 不等式及其性质
第2课时
问题1 阅读课本第61～63页，回答下列问题：
整体概览
（1）本节将要研究不等式的性质及其推论以及证明不等式的方法．（2）起点是不等式的性质及部分推论，目标是掌握不等式的性质及其推论，正确选用性质、推论和思想方法来证明不等式．进一步提升逻辑推理素养．
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
温故知新
复习不等式的性质及两个推论：
性质1 如果a＞b，那么____________．
性质2 如果a＞b，c＞0，那么__________．
性质3 如果a＞b，c＜0，那么__________．
性质4 如果a＞b，b＞c，那么__________．
性质5 a＞b?__________．
a＋c＞b＋c
ac＞b c
ac＜bc
a＞c
b＜a
温故知新
复习不等式的性质及两个推论：
推论1 如果a＋b＞c，那么__________．
推论2 如果a＞b，c＞d，那么____________．
a＞c－b
a＋c＞b＋d
问题：推论2是同向不等式的可加性，那么有没有类似的与乘法有关的性质呢？
新知探究
根据不等式性质2与性质4可得：
推论3 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd．
证明 根据性质2有
a＞b，c＞0?ac＞bc，
c＞d，b＞0?bc＞bd，
再根据性质4可知
ac＞bd．
不等式的性质推论
新知探究
很明显，这个推论也可以推广为更一般的结论：
几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．
不等式的性质推论
新知探究
推论4 如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N，n＞1）．
★资源名称： 【数学探究】不等式基本性质7
★使用说明：本资源为《不等式基本性质》知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源． 适用于《不等式基本性质》的教学，供教师备课和授课使用．
注：此图片为动画截图，如需使用资源，请于资源库调用．
新知探究
推论4 如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N，n＞1）．
问题：不等式有没有与开方有关的性质呢？
推论5 如果a＞b＞0，那么 ．
证明 假设 ，即 或 ，
根据推论4和二次根式的性质，得
a＜b或a＝b．
这都与a＞b矛盾，因此假设不成立，从而 ．
新知探究
【思考】证明推论5中不等式的方法具有什么特征？
这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法．反证法的一般步骤：
假设命题结论不成立．（即命题结论反面成立）
假设
推理得出的结论
与已知条件矛盾
与定理，定义，公理矛盾
假设不成立
所证命题成立
新知探究
例1 （1）已知a＞b＞0，0＜c＜d，求证： ．
（2）设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d．
证明：若ab＞cd，则 ．
证明：（1）因为0＜c＜d，根据（2）的结论，得 ，
又因为a＞b＞0，所以根据推论3可知 ，即 ．
新知探究
例1 （1）已知a＞b＞0，0＜c＜d，求证： ．
（2）设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d．
证明：若ab＞cd，则 ．
（2）方法一：由题设知ab＞cd＞0，则 ．
又a＋b＝c＋d．
则
即
而 ， ，故 ．
新知探究
例1 （1）已知a＞b＞0，0＜c＜d，求证： ．
（2）设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d．
证明：若ab＞cd，则 ．
（2）方法二：方法二：因为ab＞cd＞0，则 ，
即
又 ， ，故 ．
所以 ．
又a＋b＝c＋d，所以 ，
新知探究
方法总结：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法．综合法中，最重要的推理形式为p?q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论．在证明不等式时，当然也可直接利用已经证明过的不等式性质等．
新知探究
例2 你能证明不等式 吗？
用综合法证明这个结论方便吗？
法一：假设不等式 不成立，则 ，
两边平方得 ，所以 ≥5，
所以21≥25，该不等式显然不成立，所以原不等式成立．
新知探究
例2 你能证明不等式 吗？
用综合法证明这个结论方便吗？
法二：要证 ，只需证明 ，
展开得10＋ ＜20，即 ＜5，这只需证明（ ）2＜52，
即21＜25．因为21＜25成立，所以 成立．
新知探究
方法总结：上述这种证明方法通常称为分析法．分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为p?q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件．
的证明过程也可简写为：因为
又因为21＜25成立，所以结论成立．
新知探究
例3 已知m＞0，求证： ．
证明：因为m＞0，所以3＋m＞0，从而
又因为已知m＞0，所以结论成立．
归纳小结
回顾本节课，你有什么收获？
（1）不等式的性质推论
（2）证明不等式的方法
作业：教科书P55练习B 4．
作业布置
目标检测
已知x＞0，y＞0，且x＋y＞2．求证： ， 中至少有一个小于2．
1
证明：假设 ， 都不小于2，
即 ≥2， ≥2，
∵x，y＞0，∴1＋x≥2y，1＋y≥2x．
∴2＋x＋y≥2（x＋y），即x＋y≤2，与已知x＋y＞2矛盾．
∴ ， 中至少有一个小于2．
再见
第2课时
问题1 阅读课本第61～63页，回答下列问题：
整体概览
（1）本节将要研究不等式的性质及其推论以及证明不等式的方法．（2）起点是不等式的性质及部分推论，目标是掌握不等式的性质及其推论，正确选用性质、推论和思想方法来证明不等式．进一步提升逻辑推理素养．
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
温故知新
复习不等式的性质及两个推论：
性质1 如果a＞b，那么____________．
性质2 如果a＞b，c＞0，那么__________．
性质3 如果a＞b，c＜0，那么__________．
性质4 如果a＞b，b＞c，那么__________．
性质5 a＞b?__________．
a＋c＞b＋c
ac＞b c
ac＜bc
a＞c
b＜a
温故知新
复习不等式的性质及两个推论：
推论1 如果a＋b＞c，那么__________．
推论2 如果a＞b，c＞d，那么____________．
a＞c－b
a＋c＞b＋d
问题：推论2是同向不等式的可加性，那么有没有类似的与乘法有关的性质呢？
新知探究
根据不等式性质2与性质4可得：
推论3 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd．
证明 根据性质2有
a＞b，c＞0?ac＞bc，
c＞d，b＞0?bc＞bd，
再根据性质4可知
ac＞bd．
不等式的性质推论
新知探究
很明显，这个推论也可以推广为更一般的结论：
几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．
不等式的性质推论
新知探究
推论4 如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N，n＞1）．
★资源名称： 【数学探究】不等式基本性质7
★使用说明：本资源为《不等式基本性质》知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源． 适用于《不等式基本性质》的教学，供教师备课和授课使用．
注：此图片为动画截图，如需使用资源，请于资源库调用．
新知探究
推论4 如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N，n＞1）．
问题：不等式有没有与开方有关的性质呢？
推论5 如果a＞b＞0，那么 ．
证明 假设 ，即 或 ，
根据推论4和二次根式的性质，得
a＜b或a＝b．
这都与a＞b矛盾，因此假设不成立，从而 ．
新知探究
【思考】证明推论5中不等式的方法具有什么特征？
这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法．反证法的一般步骤：
假设命题结论不成立．（即命题结论反面成立）
假设
推理得出的结论
与已知条件矛盾
与定理，定义，公理矛盾
假设不成立
所证命题成立
新知探究
例1 （1）已知a＞b＞0，0＜c＜d，求证： ．
（2）设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d．
证明：若ab＞cd，则 ．
证明：（1）因为0＜c＜d，根据（2）的结论，得 ，
又因为a＞b＞0，所以根据推论3可知 ，即 ．
新知探究
例1 （1）已知a＞b＞0，0＜c＜d，求证： ．
（2）设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d．
证明：若ab＞cd，则 ．
（2）方法一：由题设知ab＞cd＞0，则 ．
又a＋b＝c＋d．
则
即
而 ， ，故 ．
新知探究
例1 （1）已知a＞b＞0，0＜c＜d，求证： ．
（2）设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d．
证明：若ab＞cd，则 ．
（2）方法二：方法二：因为ab＞cd＞0，则 ，
即
又 ， ，故 ．
所以 ．
又a＋b＝c＋d，所以 ，
新知探究
方法总结：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法．综合法中，最重要的推理形式为p?q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论．在证明不等式时，当然也可直接利用已经证明过的不等式性质等．
新知探究
例2 你能证明不等式 吗？
用综合法证明这个结论方便吗？
法一：假设不等式 不成立，则 ，
两边平方得 ，所以 ≥5，
所以21≥25，该不等式显然不成立，所以原不等式成立．
新知探究
例2 你能证明不等式 吗？
用综合法证明这个结论方便吗？
法二：要证 ，只需证明 ，
展开得10＋ ＜20，即 ＜5，这只需证明（ ）2＜52，
即21＜25．因为21＜25成立，所以 成立．
新知探究
方法总结：上述这种证明方法通常称为分析法．分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为p?q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件．
的证明过程也可简写为：因为
又因为21＜25成立，所以结论成立．
新知探究
例3 已知m＞0，求证： ．
证明：因为m＞0，所以3＋m＞0，从而
又因为已知m＞0，所以结论成立．
归纳小结
回顾本节课，你有什么收获？
（1）不等式的性质推论
（2）证明不等式的方法
作业：教科书P55练习B 4．
作业布置
目标检测
已知x＞0，y＞0，且x＋y＞2．求证： ， 中至少有一个小于2．
1
证明：假设 ， 都不小于2，
即 ≥2， ≥2，
∵x，y＞0，∴1＋x≥2y，1＋y≥2x．
∴2＋x＋y≥2（x＋y），即x＋y≤2，与已知x＋y＞2矛盾．
∴ ， 中至少有一个小于2．
再见