圆的对称性
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25.2 圆的对称性（第一课时）
一、教学目标：
1.经历利用旋转变换探索圆的中心对称性的过程，理解圆的中心对称性及其相关性质；
2.利用圆的旋转不变性研究弧、弦之间的关系定理及其简单应用；
3、通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展学生的空间观念、推理能力等。
二、教学重难点：
1.重点：弧、弦之间的关系定理及其简单应用；
2.难点：弧、弦之间的关系定理及其简单应用；
三、教学过程
1、情境创设
1）、什么是中心对称图形？
2）、我们采用什么方法研究中心对称图形？
2、探索新知
1）活动：每个同学用刻度尺和圆规画一个圆，自己总结圆的定义：在平面内，线段OP绕着它固定的一个端点O旋转一周，则另一个端点P所形成的封闭曲线叫做圆。2）、让学生拿出事先准备好的能够旋转的圆形物体，绕着它们的
圆心旋转任意角度，问：旋转后的图形能与原来的图形重合吗？
结论：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
3）弧与弦的讲解
定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧可细分为：优弧和劣弧。
连接圆上任意两点的线段，叫做弦，经过圆心的弦，叫做直径。同圆中：（1）半径相等；（2）直径等于半径 2倍。
四、例题讲解
例1已知：如图所示，AB、CD为⊙O直径。求证：AD‖CB。
五、巩固练习：
13页第1、3题
六、小结： 学生谈收获
七、作业：13页第2题
25.2 圆的对称性（第二课时）
一：教学目标：圆的对称性垂径定理及其逆定理，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.
二、教学重难点：
教学重点：垂径定理及其逆定理.
教学难点：垂径定理及其逆定理的证明.
三、教学过程
1、情境创设
同学们想一想：圆是轴对称图形吗 如果是，它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴
（圆是轴对称图形．过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．）
你是用什么方法解决上述问题的 大家互相讨论一下．
我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线。这样便可知圆有无数条对称轴．
圆是轴对称图形。过圆心的任意一条直线都是对称轴．
2、讲授新课
做一做
按下面的步骤做一做:
1）．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．
2）．得到一条折痕CD．
3）．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．
4）．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图．
教师叙述步骤，师生共同操作，并提出问题：
1．通过第一步，我们可以得到什么
（可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．）
2．很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧 为什么呢
（AM＝BM，AC＝BC，AD =BD，因为折痕AM与BM互相重合，A点与B点重合．）
3．还可以怎么说呢 能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系
如右图示，连接OA、OB得到等腰△ABC，即OA=OB，因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是Rt△，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM=BM，又⊙O关于直径CD对称，所以点A与点B关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合AD与BD重合．因此AM＝BM，AC＝BC，AD =BD ）
4．在上述操作过程中，你会得出什么结论
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
[这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意：①条件中的 “弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．
5、证明过程证同学们自己完成。
6、垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
四、例题讲解
通过求解例，来熟悉垂径定理以及常见的辅助线
已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．（证明略）
五、课堂小结
1．本节课利用圆的轴对称性研究了垂径定理．
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
六、课后作业 :1.课本练习P16 （1、3）；2．复习本堂课内容
25.2 圆的对称性（第三课时）
一、教学目标
1.使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形，并能运用其特有的性质推出在同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，
2.能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。
二、教学重难点：
教学重点 由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。
教学难点 运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。
三、教学过程
（一）情境导入
要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的。如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合。
由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。
(二)实践与探索1
1、同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。
实验1、将图形28.1.3中的扇形AOB绕点O逆时针旋转某个角度，得到图28.1.4中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现，AB＝A’B’，AB＝A’B’。
实质上，确定了扇形AOB的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。
问题：在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？
在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧是否相等呢？
总结：在同圆或等圆中：圆心角相等 弧相等 弦相等 弦心距相等。
四、例题讲解
例1：如图28.1.5，在⊙O中，，，求的度数。
例2：如图，在⊙O中，＝，∠B＝70°.求∠C度数.
例3：如图，AB是直径，＝＝，∠BOC＝40°，求∠AOE的度数
五、课堂小结
本节课我们通过实验得到了圆不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，而由圆的对称性又得出许多圆的许多性质，即（1）同一个圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等。（2）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。（3）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧相等。
六、作业布置
课后练习P18 （1、2、3）。
七：课后反思：
A
C
D
B
(
例
2
)
（例
3
）
一、教学目标：
1.经历利用旋转变换探索圆的中心对称性的过程，理解圆的中心对称性及其相关性质；
2.利用圆的旋转不变性研究弧、弦之间的关系定理及其简单应用；
3、通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展学生的空间观念、推理能力等。
二、教学重难点：
1.重点：弧、弦之间的关系定理及其简单应用；
2.难点：弧、弦之间的关系定理及其简单应用；
三、教学过程
1、情境创设
1）、什么是中心对称图形？
2）、我们采用什么方法研究中心对称图形？
2、探索新知
1）活动：每个同学用刻度尺和圆规画一个圆，自己总结圆的定义：在平面内，线段OP绕着它固定的一个端点O旋转一周，则另一个端点P所形成的封闭曲线叫做圆。2）、让学生拿出事先准备好的能够旋转的圆形物体，绕着它们的
圆心旋转任意角度，问：旋转后的图形能与原来的图形重合吗？
结论：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
3）弧与弦的讲解
定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧可细分为：优弧和劣弧。
连接圆上任意两点的线段，叫做弦，经过圆心的弦，叫做直径。同圆中：（1）半径相等；（2）直径等于半径 2倍。
四、例题讲解
例1已知：如图所示，AB、CD为⊙O直径。求证：AD‖CB。
五、巩固练习：
13页第1、3题
六、小结： 学生谈收获
七、作业：13页第2题
25.2 圆的对称性（第二课时）
一：教学目标：圆的对称性垂径定理及其逆定理，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.
二、教学重难点：
教学重点：垂径定理及其逆定理.
教学难点：垂径定理及其逆定理的证明.
三、教学过程
1、情境创设
同学们想一想：圆是轴对称图形吗 如果是，它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴
（圆是轴对称图形．过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．）
你是用什么方法解决上述问题的 大家互相讨论一下．
我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线。这样便可知圆有无数条对称轴．
圆是轴对称图形。过圆心的任意一条直线都是对称轴．
2、讲授新课
做一做
按下面的步骤做一做:
1）．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．
2）．得到一条折痕CD．
3）．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．
4）．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图．
教师叙述步骤，师生共同操作，并提出问题：
1．通过第一步，我们可以得到什么
（可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．）
2．很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧 为什么呢
（AM＝BM，AC＝BC，AD =BD，因为折痕AM与BM互相重合，A点与B点重合．）
3．还可以怎么说呢 能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系
如右图示，连接OA、OB得到等腰△ABC，即OA=OB，因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是Rt△，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM=BM，又⊙O关于直径CD对称，所以点A与点B关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合AD与BD重合．因此AM＝BM，AC＝BC，AD =BD ）
4．在上述操作过程中，你会得出什么结论
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
[这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意：①条件中的 “弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．
5、证明过程证同学们自己完成。
6、垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
四、例题讲解
通过求解例，来熟悉垂径定理以及常见的辅助线
已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．（证明略）
五、课堂小结
1．本节课利用圆的轴对称性研究了垂径定理．
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
六、课后作业 :1.课本练习P16 （1、3）；2．复习本堂课内容
25.2 圆的对称性（第三课时）
一、教学目标
1.使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形，并能运用其特有的性质推出在同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，
2.能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。
二、教学重难点：
教学重点 由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。
教学难点 运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。
三、教学过程
（一）情境导入
要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的。如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合。
由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。
(二)实践与探索1
1、同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。
实验1、将图形28.1.3中的扇形AOB绕点O逆时针旋转某个角度，得到图28.1.4中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现，AB＝A’B’，AB＝A’B’。
实质上，确定了扇形AOB的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。
问题：在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？
在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧是否相等呢？
总结：在同圆或等圆中：圆心角相等 弧相等 弦相等 弦心距相等。
四、例题讲解
例1：如图28.1.5，在⊙O中，，，求的度数。
例2：如图，在⊙O中，＝，∠B＝70°.求∠C度数.
例3：如图，AB是直径，＝＝，∠BOC＝40°，求∠AOE的度数
五、课堂小结
本节课我们通过实验得到了圆不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，而由圆的对称性又得出许多圆的许多性质，即（1）同一个圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等。（2）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。（3）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧相等。
六、作业布置
课后练习P18 （1、2、3）。
七：课后反思：
A
C
D
B
(
例
2
)
（例
3
）