《2.2.2 不等式的解集》课件（22张PPT）

2.2.3 一元二次不等式的解集
问题1　阅读课本第64～67页，回答下列问题：
整体概览
（1）本节将要研究不等式的解集．（2）起点是不等式的性质以及初中学过的不等式的解，目标是掌握不等式组解集的方法；会借助数轴解决简单绝对值不等式．进一步提升数学运算、直观想象等素养．
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
情境与问题
问题2　什么叫不等式的解？如何解不等式？
能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解．解不等式的过程中要不断地使用不等式的性质．
新知探究
问题3　什么叫绝对值？绝对值的意义是什么？
一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．例如，|x|＞3，|x－1|≤2都是绝对值不等式．
追问1：你能给出|x|＞3的解集吗？
新知探究
根据绝对值的定义可知，|x|＞3等价于 或 ，
即x＞3或x＜－3，因此|x|＞3的解集为（－∞，－3）∪（3，＋∞）．
追问2：如何利用绝对值的几何意义求解不等式|x|＞3？
新知探究
不等式|x|＞3的解集也可由绝对值的几何意义得到：因为|x|是数轴上表示数x的点与原点的距离，所以数轴上与原点的距离大于3的点对应的所有数组成的集合就是|x|＞3的解集，从而由下图可知所求解集为（－∞，－3）∪（3，＋∞）．
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
0
x
追问3：试总结出m＞0时，关于x的不等式|x|＞m和|x|≤m的解集．
新知探究
用类似方法可知，当m＞0时，关于x的不等式|x|＞m的解为x＞m或x＜－m，因此解集为（－∞，－m）∪（m，＋∞）；
关于x的不等式|x|≤m的解为－m≤x≤m，因此解集为 [－m，m] ．
追问4：你能给出|a－1|≤2的解集吗？
新知探究
如果将a－1当成一个整体，比如令x＝a－1，则
因此|a－1|≤2的解集可以通过求解|x|≤2得到，所以原不等式的解集为[－1，3] ．
|a－1|≤2?|x|≤2，
追问5：如何利用|a－1|的几何意义，得出不等式|a－1|≤2的解集？
新知探究
当a＝－2时，|a－1|＝|－2－1|＝3，而且在数轴上，表示－2的点与表示1的点的距离是3；当a＝3时，|a－1|＝|3－1|＝2，而且在数轴上，表示3的点与表示1的点的距离是2．因此，如果数轴上表示a的点为A，表示1的点为B，则A，B之间的距离为|a－1|，如下图所示．
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
0
a
A
B
x
追问5：如何利用|a－1|的几何意义，得出不等式|a－1|≤2的解集？
新知探究
这样一来，数轴上与表示1的点的距离小于或等于2的点对应的所有数组成的集合就是|a－1|≤2的解集，又因为数轴上与表示1的点的距离等于2的点对应的数分别为－1和3，因此由上图可知|a－1|≤2的解集为[－1，3]．
新知探究
一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A（a），B（b），则线段AB的长为AB＝|a－b|．这就是数轴上两点之间的距离公式．更进一步，如果线段AB的中点M对应的数为x，则由AM＝MB可知|a－x|＝|x－b|，因此：当a＜b时，有a＜x＜b，从而x－a＝b－x，
所以 ，
当a≥b时，类似可得上式仍成立．这就是数轴上的中点坐标公式．
新知探究
例1　求不等式组 的解集．
解：①式两边同时加上一1，得2x≥－10，
得x≥－5，因此①的解集为[－5，＋∞）．
类似地，可得②的解集为（－∞，－3）．
又因为[－5，＋∞）∩（－∞，－3）＝[－5，－3），
以原不等式组的解集为[－5，－3）．
这个不等式两边同时乘以 ，
新知探究
方法总结：（1）解不等式时一定要注意同解变形；
（2）去分母时，不等式两端每一项均乘以最简公分母；
（3）系数化成1时，如果两端乘以（或除以）一个负数，不等号的方向要改变；
（4）在求不等式组的解集即求几个不等式的交集时，可以借助数轴来求解；
（5）写解集时要特别注意端点是否能取到．
新知探究
例2　设数轴上点A与数3对应，点B与数x对应，已知线段AB的中点到原点的距离不大于5，求x的取值范围．
解：因为AB的中点对应的数为 ，
即|3＋x|≤10，因此－10≤3＋x≤10，
所以－13≤x≤7，因此x的取值范围是[－13，7]．
所以由题意可知 ≤5
新知探究
方法总结：一般地，当c＞0时，
（1）|ax＋b|＞c?ax＋b＞c或ax＋b＜－c；
（2）|ax＋b|＜c?－c＜ax＋b＜c．
思考：若去掉c＞0，结论是否仍成立？
能成立！
新知探究
例3　求下列不等式的解集：
（1）|x－1|＋|x－2|＜5；　　　（2）|x－1|＋|x－2|≥3；
（3）|x－1|＋|x－2|＞ ；　　 （4）|x－1|＋|x－2|＜ ．
新知探究
解：（1）x＞2时，原不等式化为x－1＋x－2＜5，
则x＜4，所以2＜x＜4；
1≤x≤2时，原不等式化为x－1－（x－2）＜5，
即1＜5，所以1≤x≤2；
x＜1时，原不等式化为－（x－1）－（x－2）＜5，
则x＞－1，所以－1＜x＜1．
综上：原不等式的解集为（－1，4）．
新知探究
法二：利用绝对值的几何意义求解：设P（x），A（1），B（2），原不等式表示数轴上点P到两点A、B的距离和小于5的点P的坐标范围，画出数轴可知，到A、B两点的距离和为5的点为C（－1）、D（4），当点P位于线段AB内时满足不等式，所以－1＜x＜4，所以原不等式的解集为（－1，4）．
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
0
A
B
x
D
C
新知探究
例3　求下列不等式的解集：
（1）|x－1|＋|x－2|＜5；　　　（2）|x－1|＋|x－2|≥3；
（3）|x－1|＋|x－2|＞ ；　　 （4）|x－1|＋|x－2|＜ ．
（1）（－1，4）；（2）（－∞，0]∪[3，＋∞）；（3）R；（4）?．
归纳小结
回顾本节课，你有什么收获？
（1）什么叫不等式的解集以及不等式组的解集？如何求不等式组的解集？
（2）什么叫绝对值不等式？如何解绝对值不等式？
（3）两点间的距离公式以及中点坐标公式
作业：教科书P67练习B 1，2，3，4．
作业布置
再见