《2.2.1不等式及其性质》第1课时课件（26张PPT）

2.2.1 不等式及其性质
第1课时
问题1　阅读课本第58～61页，回答下列问题：
整体概览
（1）本节将要研究不等式的性质及其证法．（2）起点是初中所学的不等式的性质，目标是掌握不等式5个性质与2个推论，掌握用配方法、作差法、综合法证明不等式．提升逻辑推理素养．
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
情境与问题
你见过下图中的高速公路指示牌吗？左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的速率v1（单位：km/h，下同）应该满足
100≤v1≤120；
右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速率v2应该满足_______________．
60≤v2≤100
新知探究
在现实世界里，量与量之间的不等关系是普遍的，不等式是刻画不等关系的工具，我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式．
上述不等式符号中，要特别注意“≥”“≤”．事实上，住意给定两个实数a，b，那么
a＜b或a＝b
a≥b?a＞b或a＝b； a≤b?____________．
新知探究
【想一想】5≥3，2≥2，2≤2这三个命题都是真命题吗？
根据不等号的含义可知：三个命题都是真命题．
新知探究
问题1　怎样理解两个实数之间的大小呢？
结论：a－b＜0?a＜b，b＝0?a＝b，a－b＞0?a＞b．
新知探究
问题2　初中学过的不等式有哪些性质呢？
不等式的三个性质：
性质1 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c．
性质2 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc．
性质3 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc．
追问1：你能利用前面的知识，给出性质1的直观理解以及这三个性质的证明吗？
新知探究
★资源名称： 【数学探究】不等式基本性质
★使用说明：本资源为《不等式基本性质》知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源． 适用于《不等式基本性质》的教学，供教师备课和授课使用．
注：此图片为动画截图，如需使用资源，请于资源库调用．
追问1：你能利用前面的知识，给出性质1的直观理解以及这三个性质的证明吗？
新知探究
性质1：因为（a＋c）－（b＋c）＝a＋c－b－c＝a－b，
又因为a＞b，所以a－b＞0，从而（a＋c）－（b＋c）＞0．
因此a＋c＞b＋c．
性质2：因为ac－bc＝（a－b）c，
又因为a＞b，所以a－b＞0，而c＞0，因此（a－b）c＞0，
因此ac－bc＞0，即ac＞bc．
追问2：你会用充分条件、必要条件来描述不等式的性质吗？试用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空：
新知探究
（1）a＞b是a＋c＞b＋c的_______条件；
（2）如果c＞0，则a＞b是ac＞bc的_______条件；
（3）如果c＜0，则a＞b是ac＜bc的_______条件．
充要
充要
充要
追问3：不等式还有哪些性质呢？
新知探究
性质4 如果a＞b，b＞c，那么a＞c．（通常称为不等关系的传递性）
证明：因为a－c＝（a－b）＋（b－c），
又因为a＞b，所以a－b＞0；
且b＞c，所以b－c＞0，因此（a－b）＋（b－c）＞0，
从而a－c＞0，即a＞c．
性质5 a＞b?b＜a．
这只要利用a－b＝－（b－a）就可以证明．
追问3：不等式还有哪些性质呢？
新知探究
强调：值得注意的是，上述不等式性质对任意满足条件的实数都成立，因此我们可以用任意满足条件的式子去代替其中的字母．
新知探究
问题3　利用前面不等式的性质，我们还可以得到关于不等式的哪些结论？
推论1 如果a＋b＞c，那么a＞c－b．
证明 a＋b＞c?a＋b＋（－b）＞c＋（－b）?a＞c－b．
推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．推论1通常称为不等式的移项法则．
新知探究
问题3　利用前面不等式的性质，我们还可以得到关于不等式的哪些结论？
推论2 如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d．
证明　根据性质1有a＞b?a＋c＞b＋c，c＞d ?b＋c＞b＋d，
再根据性质4可知a＋c＞b＋d．
新知探究
问题3　利用前面不等式的性质，我们还可以得到关于不等式的哪些结论？
我们把a＞b和c＞d（或a＜b和c＜d）这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式．推论2说明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．很明显，推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．
新知探究
例1　（1）比较x2－x和x－2的大小．
（2）已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
（1）因为（x2－x）－（x－2）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1，
又因为（x－1）2≥0，所以（x－1）2＋1≥1＞0，
从而（x2－x）－（x－2）＞0，因此x2－x＞x－2．
新知探究
例1　（1）比较x2－x和x－2的大小．
（2）已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
（2）（a3＋b3）－（a2b＋ab2）＝a3＋b3－a2b－ab2
＝a2（a－b）－b2（a－b）＝（a－b）（a2－b2）
＝（a－b）2（a＋b）．
∵a＞0，b＞0，且a≠b，
∴（a－b）2＞0，a＋b＞0．
∴（a3＋b3）－（a2b＋ab2）＞0，即a3＋b3＞a2b＋ab2．
新知探究
方法总结：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法通常称为作差法．作差法的步骤：
（1）作差：对要比较大小的两个代数式作差．
（2）变形：对差进行变形（因式分解或者配方等）．
（3）判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．
（4）作出结论．
新知探究
其思维过程是作差→变形→判断符号→作出结论．当不能直接得到正或负的结论时，还要考虑通过分类讨论来确定．
新知探究
例2　设a≥b＞0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2．
解：3a3＋2b3－（3a2b＋2ab2）＝3a2（a－b）＋2b2（b－a）
＝（3a2－2b2）（a－b）．
因为a≥b＞0，所以a－b≥0，3a2－2b2＞0，
从而（3a2－2b2）（a－b）≥0，
所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2．
新知探究
方法总结：（1）简单不等式的证明可直接由已知条件并利用不等式的性质，通过对不等式变形得证．
（2）对于不等号两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式（式子）的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明．这种证明方法常说成是比较法．
新知探究
例3　（1）已知a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d；
（2）已知a＞b，ab＞0，求证：　 ．
证明：（1）因为a＞b，c＜d，所以a＞b，－c＞－d，
根据推论2，得a－c＞b－d．
（2）因为ab＞0，所以 ＞0，
又因为a＞b，所以a· ＞b· ，
即 　　　 ，因此 ．
新知探究
方法总结：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法．本例与前面的推论所使用的方法都是综合法．综合法中，最重要的推理形式为p?q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论．在证明不等式时，当然也可直接利用已经证明过的不等式性质等．
归纳小结
回顾本节课，你有什么收获？
（1）什么叫不等式？
（2）如何比较两个实数的大小？
（3）不等式的性质有哪些？
（4）不等式的性质有哪些推论？
（5）本节课学了哪些证明不等式的方法？
作业：教科书P63练习B 1、2、3．
作业布置
再见