2020年人教版九年级上数学课件 24.2.2 第3课时切线长定理（21张ppt）

(共21张PPT)
第3课时
切线长定理
葫芦岛第六初级中学
P
1.定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长．
A
O
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
2.切线长与切线的区别
定
义
PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．
OB是⊙O的一条半径吗？
PB是⊙O的切线吗？
（利用图形轴对称性解释）
PA、PB有何关系？
∠APO和∠BPO有何关系？
O.
P
A
B
切线长定理
B
P
O
A
切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA
=
PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
注意：
切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
拓展结论
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB
⊥PB，AB
⊥OP.
（3）写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌
△BOP，
△AOC≌
△BOC，
△ACP≌
△BCP.
（4）写出图中所有的等腰三角形.
△ABP
△AOB
（2）写出图中与∠OAC相等的角；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.
B
P
O
A
C
E
D
B
P
O
A
练一练
PA、PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
（1）若AP=4,则OP=
;
（2）若∠BPA=60
°,则OP=
.
5
6
★切线长问题辅助线添加方法
（3）连接圆心和圆外一点.
（2）连接两切点；
（1）分别连接圆心和切点；
一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，使截出的圆与三角形各边都相切呢？
A
B
C
A
B
C
三角形的内切圆及内心
如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
M
N
D
作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC,垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
⊙O就是所求的圆.
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
B
2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
3.这个三角形叫做圆的外切三角形.
4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.
┐
A
C
I
┐
┐
D
E
F
三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
⊙O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心，△ABC是⊙O的外切三角形.
概念学习
名称
确定方法
图形
性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边
中垂线的交
点
1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．
三角形三条
角平分线的
交点
1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．
填一填：
A
B
O
A
B
C
O
C
如图，PA、PB是⊙O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7，∠P=40°.则
⑵
∠DOE=
.
⑴
△PDE的周长是
；
14
O
P
A
B
C
E
D
70°
例1
△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.
解:
设AF=xcm，则AE=xcm.
∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，
BF=BD=AB-AF=13-x(cm).
由
BD+CD=BC，可得
(13-x)+(9-x)=14，
解得
x=4.
∴
AF=4
cm，BD=9
cm，CE=5
cm.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
A
C
B
E
D
F
O
例2
·
A
B
C
E
D
F
O
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,
AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆.
求Rt△ABC的内切圆的半径
r.
设AD=
x
,
BE=
y
,CE＝
r
,
∵
⊙O与Rt△ABC的三边都相切,
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD,
则有
x＋r＝b,
y＋r＝a,
x＋y＝c,
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF,则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB.
解得
r＝
a＋b－c
2
变式题：
.
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC
的内切圆的半径
r＝
a＋b－c
2
总结归纳
.
20
°
4
110
°
A
1.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4,
∠APB=
40
°
,则∠APO=
,PB=
.
B
P
O
A
第1题
2.如图，已知点O是△ABC
的内心，且∠ABC=
60
°,
∠ACB=
80
°,则∠BOC=
.
B
C
O
第2题
3.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B,∠P=
50
°，点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB=
.
65
°或115
°
B
P
O
A
第3题
4.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是
.
A
B
C
F
E
D
O
第4题
30
直角三角形的两直角边分别是3cm
,4cm,试问：
（1）它的外接圆半径是
cm;内切圆半径是
cm.
·
A
B
C
E
D
F
O
2.5
1
解：如图，△ABC的外接圆直径为AB,而由勾股定理可得AB=5cm,故外接圆半径为2.5cm.连接AO,BO,CO.设△ABC的内接圆半径为r，由面积公式可得：S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC
,即
，所以
，代入数据得r=1cm.
方法小结：直角三角形的外接圆半径等于斜边长的一半，内接圆半径
.
（2）若移动点O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC、BC都相切，求⊙O的半径r的取值范围.
·
A
B
O
D
C
解：如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连接OB、OD,则四边形BODC为正方形.
∴OB＝BC＝3，
∴半径r的取值范围为0＜r≤3.
切线长
切线长定理
作用
图形的轴对称性
原理
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
有关概念
内心概念及性质
应用
重要结论
只适合于直角三角形
课堂总结