单元综合测试二(第二章综合测试)
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．设a＝(x,4,3)，b＝(3,2，z)，若a∥b，则xz＝( )
A．－4
B．9
C．－9
D.
2．如图所示，已知四面体ABCD，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AC的中点，则(＋＋)＝( )
A.
B.
C.
D.
3．已知a，b，c是空间中的一个基底，则可以与向量a＋b，a构成基底的向量是( )
A．b
B．a＋2b
C．a－b
D．b－c
4．若向量a，b的坐标满足a＋b＝(－2，－1,2)，a－b＝(4，－3，－2)，则a·b＝( )
A．5
B．－5
C．7
D．－1
5．已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，点P(x,0，z)．若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为( )
A．(1,0，－2)
B．(1,0,2)
C．(－1,0,2)
D．(2,0，－1)
6．如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
7．若正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1到平面ACD1的距离为( )
A．1
B.
C.
D.
8．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F，H分别是BC，AD，AE的中点，则·的值为( )
A.a2
B.a2
C.a2
D.a2
9．已知A(0,0，－x)，B(1，，2)，C(x，，2)三点，点M在平面ABC内，O是平面ABC外一点，且＝x＋2x＋4，则与的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
10．在棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是( )
A.a
B.a
C.a
D.a
11．正四棱锥S?ABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角是( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
12．如图，在四面体P?ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B?AP?C的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(每小题4分，共16分)
13．已知空间向量s，r不共线，若向量a＝ts＋r，b＝s－t2r，a与b(b≠0)共线，则实数t的值为(
).
14．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，若|a|＝，且a分别与，垂直，则向量a＝(
)
15．如图所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝(
).
16．如图(1)是一副直角三角板．现将两三角板拼成直二面角，得到四面体ABCD，如图(2)所示．下列叙述：①·＝0；②平面BCD的法向量与平面ACD的法向量垂直；③异面直线BC与AD所成的角为60°；④直线DC与平面ABC所成的角为30°.其中正确的是(
).(填序号)
三、解答题(共74分)
17．(本题满分12分)已知a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,2)．求：
(1)a·b；
(2)a与b夹角的余弦值；
(3)确定λ，μ的值使得λa＋μb与z轴垂直，且(λa＋μb)·(a＋b)＝77.
18．(本题满分12分)如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量；
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
19．(本题满分12分)如图，在六面体ABCD?A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.
求证：(1)A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；
(2)平面A1ACC1⊥平面B1BDD1.
20．(本题满分12分)如图，在直棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.
(1)证明：AC⊥B1D；
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
21．(本题满分13分)如图，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．
(1)证明：直线MN∥平面OCD；
(2)求异面直线AB与MD的夹角的大小；
(3)求点B到平面OCD的距离．
22．(本题满分13分)如图，在四棱锥P?ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.
(1)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值；
(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．
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1单元综合测试二(第二章综合测试)
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．设a＝(x,4,3)，b＝(3,2，z)，若a∥b，则xz＝( B )
A．－4
B．9
C．－9
D.
解析：∵a∥b，∴＝＝.∴x＝6，z＝.∴xz＝9.
2．如图所示，已知四面体ABCD，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AC的中点，则(＋＋)＝( C )
A.
B.
C.
D.
解析：∵(＋＋)＝(＋)＝，
又∵＝，
∴(＋＋)＝.
3．已知a，b，c是空间中的一个基底，则可以与向量a＋b，a构成基底的向量是( D )
A．b
B．a＋2b
C．a－b
D．b－c
解析：本题主要考查向量共面的条件．因为向量b，a＋2b，a－b均与向量a＋b，a共面，而向量b－c与向量a＋b，a不共面，故选D.
4．若向量a，b的坐标满足a＋b＝(－2，－1,2)，a－b＝(4，－3，－2)，则a·b＝( B )
A．5
B．－5
C．7
D．－1
解析：本题综合考查向量的坐标运算以及数量积运算．因为a＋b＝(－2，－1,2)，a－b＝(4，－3，－2)，所以a＝(1，－2,0)，b＝(－3,1,2)，所以a·b＝1×(－3)＋(－2)×1＋0×2＝－5，故选B.
5．已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，点P(x,0，z)．若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为( C )
A．(1,0，－2)
B．(1,0,2)
C．(－1,0,2)
D．(2,0，－1)
解析：由题意知＝(－1，－1，－1)，＝(2,0,1)，＝(x，－1，z)．
因为PA⊥平面ABC，
所以·＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，
即－x＋1－z＝0；①
·＝(2,0,1)·(x，－1，z)＝0，
即2x＋z＝0.②
联立①②解得x＝－1，z＝2，故点P的坐标为(－1,0,2)．
6．如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值为( D )
A.
B.
C.
D.
解析：以D为原点，以，，方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)，M(1，，1)，C(0,1,0)，N(1,1，)．
∴＝(1，，1)－(1,0,0)＝(0，，1)，＝(1,1，)－(0,1,0)＝(1,0，)．
故·＝0×1＋×0＋1×＝，
||＝＝，
||＝＝.
则cos〈，〉＝＝＝.
7．若正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1到平面ACD1的距离为( B )
A．1
B.
C.
D.
解析：易知A1C1∥平面ACD1，则点A1到平面ACD1的距离即为直线A1C1到平面ACD1的距离．建立如图所示的空间直角坐标系，易知＝(0,0,1)，平面ACD1的一个法向量为n＝(1,1,1)，故所求的距离为||＝.
8．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F，H分别是BC，AD，AE的中点，则·的值为( C )
A.a2
B.a2
C.a2
D.a2
解析：如图所示，∵正四面体ABCD的棱长为a，点E，F，H分别是BC，AD，AE的中点，∴||＝||＝＝a，||＝a，||＝a，||＝a，∴cos〈，〉
＝＝＝，
∴·＝||||cos〈，〉＝a×a×＝a2.
9．已知A(0,0，－x)，B(1，，2)，C(x，，2)三点，点M在平面ABC内，O是平面ABC外一点，且＝x＋2x＋4，则与的夹角为( C )
A.
B.
C.
D.
解析：本题考查空间向量基本定理与向量的夹角．由A，B，C，M四点共面可知x＋2x＋4＝1，∴x＝－1，∴A(0,0,1)，C(－1，，2)，∴＝(1，，1)，＝(－1，，1)，∴cos〈，〉＝＝，即与的夹角为.故选C.
10．在棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是( A )
A.a
B.a
C.a
D.a
解析：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(a，a,0)，M，A1(a,0，a)．
∴＝(a，a,0)，＝，＝.设平面BDM的法向量为n＝(x，y，z)，则即
令z＝2，得x＝－1，y＝1.∴n＝(－1,1,2)，∴n0＝.∴A1到平面BDM的距离为d＝|·n0|＝＝a.
11．正四棱锥S?ABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角是( A )
A．30° B．45° C．60° D．75°
解析：如图，以
O为坐标原点建立空间直角坐标系O?xyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P(0，－，)，则＝(2a,0,0)，＝(－a，－，)，＝(a，a,0)，设平面PAC的一个法向量为n，可取n＝(0,1,1)，则cos〈，n〉＝＝＝，所以〈，n〉＝60°，所以直线BC与平面PAC的夹角为90°－60°＝30°.
12．如图，在四面体P?ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B?AP?C的余弦值为( C )
A.
B.
C.
D.
解析：如图，作BD⊥AP于点D，
CE⊥AP于点E.设AB＝1，
则易得CE＝，EP＝，
PA＝PB＝，可以求得BD＝，ED＝.
∵＝＋＋，∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·，∴·＝－.∴cos〈，〉＝－，故二面角B?AP?C的余弦值为，选C.
二、填空题(每小题4分，共16分)
13．已知空间向量s，r不共线，若向量a＝ts＋r，b＝s－t2r，a与b(b≠0)共线，则实数t的值为－1.
解析：a与b(b≠0)共线，则存在实数λ，使得a＝λb，即ts＋r＝λ(s－t2r)，由s，r不共线，得
解得
14．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，若|a|＝，且a分别与，垂直，则向量a＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．
解析：设a＝(x，y，z)，由题意得
解得或
∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．
15．如图所示，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝a或2a.
解析：建立如图所示的坐标系，则B1(0,0,3a)，D(，，3a)，C(0，a,0)．
设E的坐标为(a,0，z)，
则＝(a，－a，z)，＝(a,0，z－3a)．
由已知，2a2＋z2－3az＝0，
解得z＝a或2a.∴AE＝a或2a.
16．如图(1)是一副直角三角板．现将两三角板拼成直二面角，得到四面体ABCD，如图(2)所示．下列叙述：①·＝0；②平面BCD的法向量与平面ACD的法向量垂直；③异面直线BC与AD所成的角为60°；④直线DC与平面ABC所成的角为30°.其中正确的是①④.(填序号)
解析：以B为坐标原点，分别以，的方向为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．
设BD＝2，则B(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,2，0)，A(0，，)，∴＝(2,0,0)，＝(0，，－)，＝(0,2，0)，＝(2，－，－)，＝(－2，2，0)，∴·＝(2,0,0)·(0，，－)＝0，①正确；平面BCD的一个法向量为n1＝(0,0，)，平面ACD的一个法向量为n2＝(，1,1)，n1·n2≠0，②错误；||＝＝≠，③错误；平面ABC的一个法向量为＝(2,0,0)，||＝＝，故④正确．
三、解答题(共74分)
17．(本题满分12分)已知a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,2)．求：
(1)a·b；
(2)a与b夹角的余弦值；
(3)确定λ，μ的值使得λa＋μb与z轴垂直，且(λa＋μb)·(a＋b)＝77.
解：(1)a·b＝(3,5，－4)·(2,1,2)＝3×2＋5×1＋(－4)×2＝3.
(2)∵|a|＝＝5，
|b|＝＝3.
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
(3)取z轴上的单位向量n＝(0,0,1)，a＋b＝(5,6，－2)．依题意，得
即
化简整理，得
解得
18．(本题满分12分)如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量；
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
解：(1)＝＋＋＝＋＋＝－＋＋＋(－)＝＋＋，又＝a，＝b，＝c，∴＝a＋b＋c.
(2)∵AB＝AC＝AA1＝1，∴|a|＝|b|＝|c|＝1.∵∠BAC＝90°，∴a·b＝0.∵∠BAA1＝∠CAA1＝60°，∴a·c＝b·c＝，∴||2＝(a＋b＋c)2＝(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c)＝，∴||＝.
19．(本题满分12分)如图，在六面体ABCD?A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.
求证：(1)A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；
(2)平面A1ACC1⊥平面B1BDD1.
证明：由题意可知，DA，DC，DD1两两垂直．以D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(1,0,2)，B1(1,1,2)，C1(0,1,2)，D1(0,0,2)．
(1)∵＝(－1,1,0)，＝(－2,2,0)，＝(－1，－1,0)，＝(－2，－2,0)，
∴＝2，＝2.
∴与平行，与平行，
∴A1C1与AC共面，B1D1与BD共面．
(2)∵·＝(0,0,2)·(－2,2,0)＝0，·＝(2,2,0)·(－2,2,0)＝0，∴⊥，⊥，即DD1⊥AC，DB⊥AC.又DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，∴AC⊥平面B1BDD1.又AC?平面A1ACC1，
∴平面A1ACC1⊥平面B1BDD1.
20．(本题满分12分)如图，在直棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.
(1)证明：AC⊥B1D；
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
解：(1)证明：易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设AB＝t，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．
从而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0)．
因为AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0.
解得t＝或t＝－(舍去)．
于是＝(－，3，－3)，＝(，1,0)．
因为·＝－3＋3＋0＝0，
所以⊥，即AC⊥B1D.
(2)由(1)知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0)．
设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，
则即
令x＝1，则n＝(1，－，)．
设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，
则sinθ＝|cos〈n，〉|
＝||＝＝.
即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.
21．(本题满分13分)如图，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．
(1)证明：直线MN∥平面OCD；
(2)求异面直线AB与MD的夹角的大小；
(3)求点B到平面OCD的距离．
解：作AP⊥CD于点P.如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0，，0)，
D(－，，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N(1－，，0)．
(1)证明：＝(1－，，－1)，＝(0，，－2)，＝(－，，－2)．
设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0.
即
取z＝，解得n＝(0,4，)．
∵·n＝(1－，，－1)·(0,4，)＝0，
∴MN∥平面OCD.
(2)设AB与MD的夹角为θ.
∵＝(1,0,0)，＝(－，，－1)，
∴cosθ＝＝.
∴θ＝.∴AB与MD的夹角为.
(3)设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量n＝(0,4，)上的投影的绝对值．
由＝(1,0，－2)，得d＝＝，
∴点B到平面OCD的距离为.
22．(本题满分13分)如图，在四棱锥P?ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.
(1)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值；
(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．
解：以，，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz，则B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．
(1)由题意得AD⊥平面PAB，所以是平面PAB的一个法向量，＝(0,2,0)．
因为＝(1,1，－2)，＝(0,2，－2)，设平面PCD的法向量为m＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，得z＝1，x＝1.
所以m＝(1,1,1)是平面PCD的一个法向量．从而cos〈，m〉＝＝，
所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为.
(2)因为＝(－1,0,2)，设＝λ＝(－λ，0,2λ)(0≤λ≤1)，
又＝(0，－1,0)，则＝＋＝(－λ，－1,2λ)．
因为＝(0，－2,2)，
所以cos〈，〉＝＝.
设1＋2λ＝t，t∈[1,3]，则cos2〈，〉＝＝≤.当且仅当t＝，即λ＝时，|cos〈，〉|取得最大值，最大值为.
因为y＝cosx在(0，)上是减函数，所以此时直线CQ与DP所成的角取得最小值．
又||＝＝，
所以BQ＝||＝||＝.
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