小学数学浙教版六年级上17.圆与正方形 教案

方与圆的面积关系

教学内容：研究“外方内圆”和“外圆内方”中方、圆两者之间的面积比。
教材分析：本课是浙教课标版数学六上第三单元的内容。与其他版本教材不同，浙教版教材在学习圆面积计算公式后，以新授课的形式，引导学生专门研究了圆与其内接和外切正方形之间的面积关系。研究圆与正方形之间的面积关系，帮助学生更好地理解圆面积公式，同时拓宽学生解题的路径，提高解题能力。
教学目标：
1. 在“方圆之间”的情境中，通过思辨与讨论、探究与交流等活动发现“外方--圆--内方”和“外圆--方--内圆”三者之间的面积关系。
2. 运用“方圆之间”的面积关系知识解决图形问题。
3. 根据需求选择合适的学习方式进行探究，并且在学习与探究中感悟方圆哲理。
教学重点：发现圆与内接正方形、圆与内切于正方形面积之间的关系。
教学难点：方圆之间的面积关系的推导过程，应用所学知识，探索规律，解决问题。
教学准备：ppt课件，贴图，学习材料单
教学过程设计：
一、情景引入
师：同学们，这两个图形你认识吧？（正方形、圆）你掌握了它的哪些数学知识？在我国的建筑上，方和圆经常结合，如北京的天坛公园，鸟巢水立方（出示图片）。在古代，我们的祖先就坚信宇宙就是天圆地方。（出示视频）看来方和圆组合起来，魅力无穷，今天我们来研究两者之间的关系。
二、探究新知
1. 出示主题图
师：这两个图形，可以怎样组合？（屏幕演示）（外方内圆、外圆内方）（贴纸）
师：第一幅图中，正方形和圆有什么关系？（第一幅图中正方形的边长就是圆的直径）第二幅图中，圆和正方形又有什么关系？（第二幅图中圆的直径就是正方形的对角线）
师：除了这些联系外，你认为我们今天应该从哪些方面来研究它们之间的关系？（周长与面积）那好，今天我们究主要来研究它们面积之间的关系。（板书课题：方与圆的面积关系）
2. 学生分小组合作研究。
师：现在我们要分别研究这两幅图中方和圆的面积比。请你们拿出研究单，为了让研究更高效，我们先分开来研究。图形没有数据怎么办？（先假设）为了让我们的研究更具有广泛性，请小组里每个人把半径取成不同的数字来研究。好，首先明确小组讨论的要求：（生齐读）
（1）先假设出圆的半径（用数字或字母表示），小组内每人各取不同的数字，再分别算出方和圆各自的面积；
（2）再把两者的面积进行相比，并化简比；
（3）在4人小组内讨论：分别比较两组比的结果，你能发现什么规律。
研究“外方内圆”：
研究“外圆内方”：
【设计意图】通过提问质疑，自主探究，学生体会到探究数学的乐趣，这是数学教学的根本所在。同桌合作、小组合作交流为生生互动提高了很好的载体。把大部分时间交给学生，体现学生是学习主人的教学理念，给学生提供了探索交流的时间和空间。
3. 学生汇报交流。
（1）谁来汇报你的研究结果？（两位学生汇报并板书两幅图具体数据）
（2）第一幅图中有取不同的半径的吗？你的面积比也是4︰π吗？第二幅图中还有取不同的半径的吗？你的面积比也是π︰2？
（3）诶！为什么半径取不同的数据而比值相同呢？（学生发表意见）要解释这个道理，我们可以把半径用r来表示，看看过程中有什么猫腻？计算的过程中r2被约分抵消了，所以两个图形的面积比与图形的具体数据无关。
（4）S外方︰S内圆 = 4︰π 你是怎么理解的？
S外圆︰S内方=π︰2 你又是怎么理解的？
两个比合起来对比，你还有什么发现？（圆都看做π份，外圆是4份，内圆是2份）
【设计意图】学生通过这个环节的探究，不仅理解了圆与正方形的面积比，更重要的是体验了研究的过程，积累了数学活动经验。让学生体验到公式反映了图形变化的规律，是对规律的总结提升。研究方法的总结与提升为学生后续学习做了铺垫。由于学生的学前练习显示对圆与内接正方形关系的理解困难比较大，反馈时更侧重这部分内容的体验感悟。
4. 小结。
刚才我们研究了方圆之间的面积比，发现“外方内圆”和“外圆内方”的比值是不同的。接下来我想考考大家，你们敢于接受挑战吗？好，请看练习。
5. 反馈练习：

如图，已知正方形的面积
是12平方厘米，那么圆的
面积是（ ）平方厘米。
过渡：刚才我们研究了方圆两者的面积关系，大家觉得复杂吗？过瘾吗？还有更深层次的爆料吗？有！请看屏幕。
6. 研究两种合并图形
（1）组合一：
师：如果把两个图形放到了一起，（师演示：把图2放到图1中，两个圆重合在一起）现在它们的形状是怎样的？（方中有圆，圆中有方）这时它们三者之间的面积比是怎样的呢？看来大家迫不及待了，好！请拿出资料卡2继续研究！
师：谁来汇报你的结果？你是怎样理解的？
学生说理并板书： S外方: S圆: S内方 = 4︰π︰2
师：看到这个关系，你怎么理解4︰π︰2？(外正方形面积看成4份，中间圆的面积看成π份，内正方形面积看成2份。）
（2）组合二：
师：还有新的组合方式吗？再看看！（师演示：把图1缩小并放到图2中，使两个正方形重合在一起）现在它们的形状是怎样的？（圆中有方，方中有圆）这时它们三者之间的面积比又是怎样的呢？请拿出资料卡2继续研究！
师：谁来汇报你的结果？你是怎样理解的？
学生说理并板书：S外圆: S中方: S内圆 =2π︰4︰π
师：看到这个关系，你又是怎么理解=2π︰4︰π的呢？(外圆面积看成2π份，正方形的面积看成4份，内圆面积看成π份。）
（3）对比：
“外方--中圆--内方”和“外圆--中方--内圆”的面积比之间有什么联系和区别？（比的结果不同，但方与圆或圆与方的面积比没有变）
7. 师小结
师：刚才大家通过“方圆组合”，得出的结论一层比一层高深，你能用这些知识来解决问题吗？请看老师带来的练习素材。
三、拓展练习
1、右图中正方形ABCD的面积是40平方厘米，求阴影部分的面积。
提问：（1）你想怎样处理这些阴影的面积？
（2）阴影部分组合后是什么图形？
（3）你能根据正方形的面积，算出
内外圆的面积吗？
【设计意图】练习设计有梯度，有层次。通过具体的解决问题和辨析比较练习，深化了对圆与正方形面积比的理解，增强了学生的应用意识。多种方法的展示比较使学生意识到方法灵活运用的重要性，解题时思考性会更强。提高学生辨析能力、归纳能力、评价及合作交流能力。
2、图片欣赏。
师：同学们，今天我们一起研究了圆与方之间的面积关系。其实在生活中美丽的圆形和方形是随处可见的，神奇的方与圆点缀着我们五彩缤纷的世界。在中国的建筑、装修设计中也蕴含着方圆的精神，请大家欣赏一组图片。（图片欣赏）
四、课堂总结
在这一节课的学习中，你有什么收获？
这节课我们研究了方圆之间的关系，希望同学们在生活上在为人处事方面也要做到有方有圆，方圆结合。最后我想把孙思邈的一句箴言送给大家，请看：
“治事合乎至德——胆欲大而心欲小，智欲圆而行欲方。”
——唐 孙思邈“智圆行方”思想
五、课后作业
已知圆的面积是62.8平方厘米，求阴影部分的面积。

教学反思：
2011版《数学课程标准》重视对学生进行“创新意识”的培养，鼓励学生质疑、发现问题和提出问题。整个课堂教学大量鼓励学生提间贯穿在各个环节中，问题可以是自己的疑惑，也可以是自己在学习中遇到的困难。本节课的重点就是营造一个充满思考的学习环境，让学生在这样的环境中敢于提问，敢于发表自己的意见观点，敢于讨论，敢于坚持。重视培养学生的问题意识，从而主动学习，自主研究，有效探究，进行问题驱动式的教学活动。
1. 激趣引入，揭示课题。课前教学视频介绍“天圆地方”古代学说，引领学生对方与圆的面积比研究，极大地激发了学生的学习热情。
2. 问题引领，自主探索。 主动探索，自主研究。教学内容在课前传递给学生后，课堂内更需要高质量的学习活动。这包括学生提出问题，自主研究，总结方法，独立解决问题，开展探究式活动，让学生有充分的时间提问质疑，自主找出研究的方法，继而主动探索，自主研究。
3. 重视互动，个别指导。在课堂上教师能够了解学生的学习困难，在课堂上给予有效的辅导，同学之间的相互交流更有助于促进学生知识的吸收。教师参与到各个学习小组中，对每位学生的学习进行个性化指导。如：知识运用时的比较练习环节，有些同学需要个性化辅导才能真正理解难点，高质量完成练习。
本节课我留出更多的时间让学生质疑以及自主研究难点，独立解决问题。不是显示教师对知识点面面俱到的设计，而是让学生的思考层层深入，让思考更有效度和深度。但是由于课堂教学时间有限，问题的充分展开有时会和反馈的及时充分相矛盾，其中的取舍还需要老师根据教学的实际多加斟酌。整节课下来，学能在精力最集中的时刻思考，在大胆质疑，有效探究，自主学习，合作交流中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，提高探究活动的效率，学生学习的积极性和主体性得到充分的发挥。