《2.2.3一元二次不等式的解集》课件（24张PPT）

2.2.3 一元二次不等式的解集
问题1　阅读课本第68～71页，回答下列问题：
整体概览
（1）本节将要研究一元二次不等式的解法．（2）起点是二次函数以及一元二次方程，目标是会用因式分解法和配方法解一元二次不等式．进一步提升数学运算、直观想象等素养．
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
情境与问题
汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．
在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6 m，乙车的刹车距离略超过10 m．已知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速v km/h之间的关系分别为
试判断甲、乙两车有无超速现象．
情境与问题
问题2　如何解不等式v2－10v－600＞0和v2－10v－2000＞0．
新知探究
一般地，形如ax2＋bx＋c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0．一元二次不等式中的不等号也可以是“＜”“≥”“≤”等．
新知探究
问题2　如何求一个一元二次不等式的解集呢？
追问：你能用类似的方法可以求得不等式（x＋1）（x－1）＜0 ②的解吗？
新知探究
此时的依据是：ab＜0当且仅当 或
因为不等式②可以转化为两个不等式组 或
不难解得x∈?或－1＜x＜1，因此不等式②的解集为（－1，1）．
新知探究
一般地，如果x1＜x2，则不等式（x－x1）（x－x2）＜0的解集是（x1，x2），不等式（x－x1）（x－x2）＞0的解集是（一∞，x1）∪（x2，＋∞）．
新知探究
问题3　如果可将不等式一边化为0，另一边可因式分解为a（x－x1）（x－x2），则可用因式分解法求解一元二次不等式，当然，这种方法只有在一元二次不等式是特殊类型时才比较方便，那么一般情况该怎么办呢？
【尝试与发现】通过代入数值验证的方法，猜测以下一元二次不等式的解集，由此总结求一元二次不等式解集的一般方法：
（1）x2＜－1；（2）x2＞－2；（3）x2＜9．
新知探究
类似于一元二次方程，一般的一元二次不等式可以通过配方法来求得解集．
新知探究
★资源名称： 【数学探究】借助二次函数求解一元二次不等式
★使用说明：本资源通过操作展示动画，使学生认识用函数法求解一元二次不等式的函数思想方法．通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以形象的展示内容，增加教学效果，提高教学效率．
注：此图片为动画截图，如需使用资源，请于资源库调用．
新知探究
例1　求不等式x2－x－2＞0的解集．
解：因为x2－x－2＝（x＋1）（x－2），
所以原不等式等价于（x＋1）（x－2）＞0，因此所求解集为
（一∞，一1）∪（2，＋∞）．
新知探究
情境与问题中的不等式，v2－10v－600＞0可以化为
（v＋20）（v－30）＞0，
因此甲车的车速v＞30；而v2－10v－2000＞0可以化为
（v＋40）（v－50）＞0，
因此乙车的车速v＞50．由此可见，乙车肯定超速了．
新知探究
例2　求下列不等式的解集：
解：（1）因为x2＋4x＋1＝x2＋4x＋4－4＋1＝（x＋2）2－3，
所以原不等式可化为（x＋2）2－3≥0，即（x＋2）2≥3，
（1）x2＋4x＋1≥0；　　　　（2）x2－6x－1≤0；
（3）－x2＋2x－1＜0；　　　（4）2x2＋4x＋5＞0．
两边开平方得|x＋2|≥ ，从而可知x＋2≤－ 或x＋2≥ ，
因此x≤ －2－ 或x≥－2＋ ，所以原不等式的解集为
（－∞，－2－ ]∪[－2＋ ，＋∞）
新知探究
例2　求下列不等式的解集：
解：（2）因为x2－6x－1＝x2－6x＋9－9－1＝（x－3）2－10，
所以原不等式可化为（x－3）2－10≤0，即（x－3）2≤10，
（1）x2＋4x＋1≥0；　　　　（2）x2－6x－1≤0；
（3）－x2＋2x－1＜0；　　　（4）2x2＋4x＋5＞0．
两边开平方得|x－3|≤ ，从而可知－ ≤x－3≤ ，
因此3－ ≤x≤3＋ ，
所以原不等式的解集为[3－ ，3＋ ]．
新知探究
例2　求下列不等式的解集：
解：（3）原不等式可化为x2－2x＋1＞0，
又因为x2－2x＋1＝（x－1）2，
所以上述不等式可化为（x－1）2＞0．
（1）x2＋4x＋1≥0；　　　　（2）x2－6x－1≤0；
（3）－x2＋2x－1＜0；　　　（4）2x2＋4x＋5＞0．
注意到只要x≠1，上述不等式就成立，所以原不等式的解集为
（－∞，1）∪（1，＋∞）．
解：（4）原不等式可以化为x2＋2x＋ ＞0．
新知探究
例2　求下列不等式的解集：
（1）x2＋4x＋1≥0；　　　　（2）x2－6x－1≤0；
（3）－x2＋2x－1＜0；　　　（4）2x2＋4x＋5＞0．
不难看出，这个不等式恒成立，即原不等式的解集为R．
因为x2＋2x＋ ＝（x＋1）2＋ ，
所以原不等式可以化为（x＋1）2＋ ＞0 ，
即（x＋1）2＞－ ，
新知探究
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）通过配方总是可以变为（x－h）2＞k或（x－h）2＜k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集．
新知探究
例3　求不等式 ≥1的解集．
解：由题意知x－2≠0，因此（x－2）2＞0，
原不等式两边同时乘以（x－2）2可得
（2x＋1）（x－2）≥（x－2）2且x－2≠0，
即（x＋3）（x－2）≥0且x≠2，
因此所求不等式的解集为（－∞，－3]∪（2，＋∞）．
新知探究
例3说明，有些不等式通过变形之后，可以借助于一元二次不等式的解法来解，事实上，我们也可以通过移项，通分，利用“同号两数相除得正，异号两数相除得负”将其转化求得其解．
解： －1≥0（移项，一边化为0）， ≥0（通分），
新知探究
例3　求不等式 ≥1的解集．
所以原不等式的解集为（－∞，－3] ∪（2，＋∞）．
则 （利用同号两数相除得正转化），
解得x＞2或x≤－3，
归纳小结
回顾本节课，你有什么收获？
（1）什么叫一元二次不等式？如何解一元二次不等式？
（2）如何解分式不等式？
作业：教科书P71练习B 1，2，3，4，5．
作业布置
再见