《2.2.4均值不等式及其应用》第1课时课件（26张PPT）

2.2.4 均值不等式及其应用
第1课时
问题1　阅读课本第71~75页，回答下列问题：
整体概览
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
问题1　阅读课本第71~75页，回答下列问题：
整体概览
（1）本节将要研究均值不等式及其应用．（2）起点是不等式的性质以及比较法，目标是知道均值不等式，会证明均值不等式定理，会用均值不等式解决简单的最大（小）问题．进一步提升数学运算、逻辑推理等素养．
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
情境与问题
问题　给定两个正数a，b，数 称为a，b的算术平均值；数 称为a，b的几何平均值．两个数的算术平均值，实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标，那么几何平均值有什么几何意义呢？两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相对大小关系呢？
情境与问题
【尝试与发现】
（1）假设一个矩形的长和宽分别为a和b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小；
（2）如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据（1）说出结论的几何意义．
情境与问题
{616DA210-FB5B-4158-B5E0-FEB733F419BA}a
1
2
b
1
4
1
3
1
新知探究
均值不等式　如果a，b都是正数，那么　　 ，
当且仅当a＝b时，等号成立．
证明　因为a，b都是正数，所以
即
而且，等号成立时，当且仅当　　　　　　　，即a＝b．
新知探究
均值不等式　如果a，b都是正数，那么　　 ，
当且仅当a＝b时，等号成立．
值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，比如　 一定是正确的．
新知探究
均值不等式　如果a，b都是正数，那么　　 ，
当且仅当a＝b时，等号成立．
综合法证明如下：
因为（a－b）2≥0，所以a2＋b2－2ab≥0，
所以a2＋b2＋2ab－4ab≥0，
即（a＋b）2≥4ab．
又因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥ ，
显然，当且仅当（a－b）2＝0，即a＝b时，等号成立．
即 ．
新知探究
问题2　均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a，b还可以为零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．那么，均值不等式有什么几何意义呢？
将均值不等式两边平方可得 ≥ab．
如果矩形的长和宽分别为a和b，那么矩形的面积为ab， 可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大．
新知探究
【想一想】你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角形中，什么样的三角形面积最大？平面上，周长相等的所有封闭图形中，什么样的图形面积最大？
正三角形，圆
新知探究
问题3　如图所示半圆中，AB为直径，O为圆心．已知AC＝a，BC＝b，D为半圆上一点，且DC⊥AB，算出OD和CD，是否可以给出均值不等式的另一个几何意义？
A
B
D
O
C
在RtΔABD中，由于DC⊥AB，利用射影定理可得CD＝ ，又CO＝
，由图可知CO≥CD，所以 　　 ，变形为a＋b≥ ．
结论：均值不等式的几何意义是：一个圆的直径大于等于垂直该直径的弦．
新知探究
例1　（1）已知x＞0，求y＝x＋ 的最小值，并说明x为何值时y取得最小值．
（2）已知x∈（－1，3），求y＝（1＋x）（3－x）的最大值，以及y取得最大值时x的值．
（3）求函数y＝x（1－x），x∈[ ，1）的最大值．
新知探究
例1　（1）已知x＞0，求y＝x＋ 的最小值，并说明x为何值时y取得最小值．
解：（1）因为x＞0，所以根据均值不等式有
解得x＝1或x＝－1（舍）．
其中等号成立当且仅当x＝ ，即x2＝1，
因此x＝1时，y取得最小值2．
新知探究
例1　（2）已知x∈（－1，3），求y＝（1＋x）（3－x）的最大值，以及y取得最大值时x的值．
解：（2）当x∈（－1，3）时，一1＜x＜3，因此1＋x＞0，3一x＞0．
当且仅当1＋x＝3－x，即x＝1时，等号成立．
从而（1＋x）（3－x）≤4，即y≤4．
由均值不等式可得 ，
从而x＝1时，y取得最大值4．
解： （3）错解：由 ≤x＜1，易知1－x＞0，
新知探究
例1　（3）求函数y＝x（1－x），x∈[ ，1）的最大值．
从而y＝x（1－x）≤ ＝ ．所以y的最大值为 ．
正解：y＝x（1－x）＝－x2＋x＝－（x－ ）2＋ ，
当x＝ 时，ymax＝ ．
新知探究
（1）在利用均值不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”：一正，a，b均为正数；二定，不等式一边为定值；三相等，不等式中的等号能取到，即a＝b有解．（2）两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．（3）利用均值不等式求最值时，等号必须取得到才能求出最值，若题设条件中的限制条件使等号不能成立，则要转换到另一种形式解答．
新知探究
例2　（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？
（2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
在（1）中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值；在（2）中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽的积的最大值．
新知探究
例2　（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？
解：（1）设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得xy＝100．
因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40．
当且仅当x＝y时，等号成立，
所以2（x＋y）≥40．
因为x＞0，y＞0，所以
由 ，可知此时x＝y＝10．
新知探究
例2　（2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
解：（2）设矩形的长与宽分别为x与y，
依题意得2（x＋y）＝36，即x＋y＝18．
因为x＞0，y＞0，所以
因此 ≤9，即xy≤81．
当且仅当x＝y时，等号成立，由 ，可知此时x＝y＝9．
因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81．
新知探究
方法总结：求实际问题中最值的一般思路：（1）读懂题意，设出变量，列出函数关系式；
（3）在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑用均值不等式，当用均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑利用第三章要学习的函数的单调性求解．
（2）把实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题；
（4）正确地写出答案．
新知探究
（1）已知a为大于0的常数，x＞0，求y＝x＋ 的最小值，并求y取得最小值时相应的x的值；
（2）已知x＜0，求y＝x＋ 的最大值，并求y取得最大值时相应x的值；
（3）已知x＞1，求y＝x＋ 的最小值，并求y取得最小值时相应x的值；
（4）已知x＜1，求y＝x＋ 的最大值，并求y取得最大值时相应x的值．
新知探究
（2）当x＝－1时，y有最大值为一2；
（3）当x＝2时，y有最小值为3；
（4）当x＝0时，y有最大值为一1．
参考答案：（1）当x＝ 时，y有最小值为 ；
归纳小结
回顾本节课，你有什么收获？
（1）什么叫均值不等式？如何证明？
（2）均值不等式的几何意义是什么？
（3）如何利用均值不等式求最值？
作业：教科书P76练习B 1，2，4．
作业布置
再见