《2.2.4均值不等式及其应用》第2课时课件（19张PPT）
文档属性
| 名称 | 《2.2.4均值不等式及其应用》第2课时课件（19张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 307.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-03 22:35:58 | ||
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文档简介
2.2.4 均值不等式及其应用
第2课时
问题1 阅读课本第71~75页，回答下列问题：
整体概览
（1）本节将要研究均值不等式及其应用．（2）起点是不等式的性质以及比较法，目标是知道均值不等式，会证明均值不等式定理，会用均值不等式解决简单的最大（小）问题．进一步提升数学运算、逻辑推理等素养．
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
情境与问题
复习：上节课我们一起学习了均值不等式，请同学们回顾一下均值不等式的内容，以及我们利用均值不等式可以解决什么样的问题？
如果a，b都是正数，那么 ，当且仅当a＝b时，等号成立．利用均值不等式可以求最值、解决实际应用问题等．
问题：我们利用均值不等式还能解决什么问题呢？
新知探究
问题2 我们利用均值不等式可以证明不等式，可以直接利用 （a，b都是正数），也可使用a＋b≥ ．
你还有哪些变形呢？
新知探究
例1 已知ab＞0，求证： ≥2，并推导出等号成立的条件．
证明：因为ab＞0，所以 ，
根据均值不等式，得 ，即 ，
因为ab＞0，所以等号成立的条件是a＝b．
当且仅当 ，即a2＝b2时，等号成立．
新知探究
例2 已知a，b是实数，求证：a2＋b2≥2ab．
证明：因为a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0，
并说明等号成立的条件．
所以a2＋b2－2ab≥0，即a2＋b2≥2ab．
等号成立时，当且仅当（a－b）2＝0，即a＝b．
新知探究
例2的结论也是经常要用的．不难看出，均值不等式与例5的结论既有联系，又有区别．
区别在于例2中去掉了a，b是正数的条件，联系在于均值不等式可以看成例2结论的一种特殊情况．
假设图中直角三角形的直角边分别为a，b，则显然图中大正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和，即a2＋b2≥2ab，
当且仅当小正方形的面积为0即a＝b时取等号．
新知探究
例3 已知a，b∈R，求证：
证明：（1）因为a2＋b2≥2ab，两边同时加上2ab，得
a2＋b2＋2ab≥4ab，
即（a＋b）2≥4ab；
（1）（a＋b）2≥4ab；
（2）2（a2＋b2）≥（a＋b）2．
新知探究
例3 已知a，b∈R，求证：
证明：（2）因为a2＋b2≥2ab，两边同时加上a2＋b2，得
2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab，
即2（a2＋b2）≥（a＋b）2．
（1）（a＋b）2≥4ab；
（2）2（a2＋b2）≥（a＋b）2．
新知探究
（a＋b）2≥4ab以及2（a2＋b2）≥（a＋b）2都是均值不等式的变形，又其中2（a2＋b2）≥（a＋b）2又常变形为 ．
新知探究
例4 （1）已知a，b，c?R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
证明： （1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
三个不等式相加即能得证；
（3）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1．
（2）已知a，b，c为正实数，求证： ≥abc；
新知探究
例4 （1）已知a，b，c?R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
证明： （2）注意到a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2bc2a，
c2a2＋a2b2≥2ca2b即可；
（3）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1．
（2）已知a，b，c为正实数，求证： ≥abc；
新知探究
例4 （1）已知a，b，c?R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
证明： （3）注意到a2十x2≥2ax，b2＋y2≥2by，两式相加即可得到．
（3）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1．
（2）已知a，b，c为正实数，求证： ≥abc；
新知探究
方法总结：利用均值不等式证明不等式的两种题型：（1）无附加条件的不等式的证明．其解题思路：观察待证不等式的结构形式，若不能直接使用均值不等式，则结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑等，使之达到使用均值不等式的条件．（2）有附加条件的不等式的证明．观察已知条件与待证不等式之间的关系，恰当地使用已知条件，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形．
新知探究
【探索与研究】用Excel或其他计算机软件，完成下列数学实验：
（1）任取多组三个正教a，b，c，计算 和 运后，比较它们的大小，总结出一般规律；
（2）对四个正数、五个正数做同样的实验，总结出普遍规律．
一般地， ，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
归纳小结
回顾本节课，你有什么收获？
（1）均值不等式有哪些变形？如何证明？
（2）如何利用均值不等式及其变形证明不等式？
利用均值不等式证明不等式的注意点：
（1）多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立．
（2）累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用．
（3）对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，达到使用均值不等式的条件．
作业：教科书P76练习B 3．
作业布置
作业布置
已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：（1＋ ）（1＋ ）≥9．
补
因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，
所以
同理
故
所以 ，当且仅当a＝b＝ 时取等号．
再见
第2课时
问题1 阅读课本第71~75页，回答下列问题：
整体概览
（1）本节将要研究均值不等式及其应用．（2）起点是不等式的性质以及比较法，目标是知道均值不等式，会证明均值不等式定理，会用均值不等式解决简单的最大（小）问题．进一步提升数学运算、逻辑推理等素养．
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
情境与问题
复习：上节课我们一起学习了均值不等式，请同学们回顾一下均值不等式的内容，以及我们利用均值不等式可以解决什么样的问题？
如果a，b都是正数，那么 ，当且仅当a＝b时，等号成立．利用均值不等式可以求最值、解决实际应用问题等．
问题：我们利用均值不等式还能解决什么问题呢？
新知探究
问题2 我们利用均值不等式可以证明不等式，可以直接利用 （a，b都是正数），也可使用a＋b≥ ．
你还有哪些变形呢？
新知探究
例1 已知ab＞0，求证： ≥2，并推导出等号成立的条件．
证明：因为ab＞0，所以 ，
根据均值不等式，得 ，即 ，
因为ab＞0，所以等号成立的条件是a＝b．
当且仅当 ，即a2＝b2时，等号成立．
新知探究
例2 已知a，b是实数，求证：a2＋b2≥2ab．
证明：因为a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0，
并说明等号成立的条件．
所以a2＋b2－2ab≥0，即a2＋b2≥2ab．
等号成立时，当且仅当（a－b）2＝0，即a＝b．
新知探究
例2的结论也是经常要用的．不难看出，均值不等式与例5的结论既有联系，又有区别．
区别在于例2中去掉了a，b是正数的条件，联系在于均值不等式可以看成例2结论的一种特殊情况．
假设图中直角三角形的直角边分别为a，b，则显然图中大正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和，即a2＋b2≥2ab，
当且仅当小正方形的面积为0即a＝b时取等号．
新知探究
例3 已知a，b∈R，求证：
证明：（1）因为a2＋b2≥2ab，两边同时加上2ab，得
a2＋b2＋2ab≥4ab，
即（a＋b）2≥4ab；
（1）（a＋b）2≥4ab；
（2）2（a2＋b2）≥（a＋b）2．
新知探究
例3 已知a，b∈R，求证：
证明：（2）因为a2＋b2≥2ab，两边同时加上a2＋b2，得
2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab，
即2（a2＋b2）≥（a＋b）2．
（1）（a＋b）2≥4ab；
（2）2（a2＋b2）≥（a＋b）2．
新知探究
（a＋b）2≥4ab以及2（a2＋b2）≥（a＋b）2都是均值不等式的变形，又其中2（a2＋b2）≥（a＋b）2又常变形为 ．
新知探究
例4 （1）已知a，b，c?R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
证明： （1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
三个不等式相加即能得证；
（3）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1．
（2）已知a，b，c为正实数，求证： ≥abc；
新知探究
例4 （1）已知a，b，c?R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
证明： （2）注意到a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2bc2a，
c2a2＋a2b2≥2ca2b即可；
（3）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1．
（2）已知a，b，c为正实数，求证： ≥abc；
新知探究
例4 （1）已知a，b，c?R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
证明： （3）注意到a2十x2≥2ax，b2＋y2≥2by，两式相加即可得到．
（3）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1．
（2）已知a，b，c为正实数，求证： ≥abc；
新知探究
方法总结：利用均值不等式证明不等式的两种题型：（1）无附加条件的不等式的证明．其解题思路：观察待证不等式的结构形式，若不能直接使用均值不等式，则结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑等，使之达到使用均值不等式的条件．（2）有附加条件的不等式的证明．观察已知条件与待证不等式之间的关系，恰当地使用已知条件，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形．
新知探究
【探索与研究】用Excel或其他计算机软件，完成下列数学实验：
（1）任取多组三个正教a，b，c，计算 和 运后，比较它们的大小，总结出一般规律；
（2）对四个正数、五个正数做同样的实验，总结出普遍规律．
一般地， ，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
归纳小结
回顾本节课，你有什么收获？
（1）均值不等式有哪些变形？如何证明？
（2）如何利用均值不等式及其变形证明不等式？
利用均值不等式证明不等式的注意点：
（1）多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立．
（2）累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用．
（3）对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，达到使用均值不等式的条件．
作业：教科书P76练习B 3．
作业布置
作业布置
已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：（1＋ ）（1＋ ）≥9．
补
因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，
所以
同理
故
所以 ，当且仅当a＝b＝ 时取等号．
再见