集合间的基本关系
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(共11张PPT)
1.1 集合
1.1.2集合间的基本关系
我们知道实数有相等关系、大小关系,如5=5,5<7，5>3，等等，
类比实数之间的关系，集合之间存在着什么关系呢？
观察下面几个例子，我们一起来研究集合之间的关系.
例1
（1）A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}；
（2）设A为棉湖中学高一（14）班全体女生组成的集合，B为这个
班全体学生组成的集合；
我们可以发现，在（1）中，集合A的任何一个元素都是集合B中
的元素，（2）中的集合A与集合B也有这种关系.反过来说，集合A
可以看成是集合B派生的一个集合，那么对于这种关系，我们称集
合A是集合B的子集.
一、子集
定义:对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都
是集合B的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A
是集合B的子集,记为 （或 ）,
读作”A含于B”(或”B包含A”).
韦恩图:用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称作韦恩图
B
A
例1
（3）设C={x|x是两条边长相等的三角形}，
D={x|x是等腰三角形}.
通过观察我们发现集合C中任何一个元素都是集
合D中的元素，同时，集合D中任何一个元素也都
是集合C中元素.这样，集合D的元素与集合C的元
素是一样的.
那么我们可以用子集概念来对集合相等作进一
步的数学描述.
二、集合相等
定义:如果集合A是集合B的子集,且集合B是集A的子集,此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作A=B
三、真子集
通过例1（1）A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}；
我们发现4 B,但4 A.
于是我们引入一种集合间的新的关系真子集.
定义：如果集合 ,但存在元素 ,
且 ,则称集合A是集合B的真子集,记作A B
(或B A).
则真子集的定义可以简单表示为
,且B中至少有一个元素不属于A.
四、空集
例2
（1）A={x|x2+x+1=0};
（2）B={两边之和小于第三边的三角形}；
（3）C={x|x+1=x+3}.
定义：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 .
并规定： A（ ）
同时有：
通过上述对集合之间的基本关系的学习，我们可以得到下
列结论：
（1）反射性：任何一个集合是它本身的子集，即
（2）传递性：对于集合A,B,C，如果 ，且 ，
那么 .
*下面做练习第7页第二题
例3 写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它
的真子集.
考虑：我们按照什么标准来写最好？
解：集合{a,b}的所有子集为 ，{a},{b},{a,b}.
真子集为 ，{a},{b}.
那么子集的个数为22=4，真子集的个数为22-1=3.
*下面做练习第一题，看能否找出求子集，真子集，非空
真子集个数的规律.
附加：1、求集合{a,b,c,d}的子集，真子集，非空
真子集的个数.
2、求集合A={a1,a2,a3,……an}的子集，
真子集，非空真子集的个数.
1、子集24=16，真子集24-1=15，非空真子集
24-2=14.
2、子集2n，真子集2n-1，非空真子集2n-2（这个
大家要当成公式来记忆！）
*下面做练习第7页第三题，11页习题1.1第五题.
1.1 集合
1.1.2集合间的基本关系
我们知道实数有相等关系、大小关系,如5=5,5<7，5>3，等等，
类比实数之间的关系，集合之间存在着什么关系呢？
观察下面几个例子，我们一起来研究集合之间的关系.
例1
（1）A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}；
（2）设A为棉湖中学高一（14）班全体女生组成的集合，B为这个
班全体学生组成的集合；
我们可以发现，在（1）中，集合A的任何一个元素都是集合B中
的元素，（2）中的集合A与集合B也有这种关系.反过来说，集合A
可以看成是集合B派生的一个集合，那么对于这种关系，我们称集
合A是集合B的子集.
一、子集
定义:对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都
是集合B的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A
是集合B的子集,记为 （或 ）,
读作”A含于B”(或”B包含A”).
韦恩图:用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称作韦恩图
B
A
例1
（3）设C={x|x是两条边长相等的三角形}，
D={x|x是等腰三角形}.
通过观察我们发现集合C中任何一个元素都是集
合D中的元素，同时，集合D中任何一个元素也都
是集合C中元素.这样，集合D的元素与集合C的元
素是一样的.
那么我们可以用子集概念来对集合相等作进一
步的数学描述.
二、集合相等
定义:如果集合A是集合B的子集,且集合B是集A的子集,此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作A=B
三、真子集
通过例1（1）A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}；
我们发现4 B,但4 A.
于是我们引入一种集合间的新的关系真子集.
定义：如果集合 ,但存在元素 ,
且 ,则称集合A是集合B的真子集,记作A B
(或B A).
则真子集的定义可以简单表示为
,且B中至少有一个元素不属于A.
四、空集
例2
（1）A={x|x2+x+1=0};
（2）B={两边之和小于第三边的三角形}；
（3）C={x|x+1=x+3}.
定义：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 .
并规定： A（ ）
同时有：
通过上述对集合之间的基本关系的学习，我们可以得到下
列结论：
（1）反射性：任何一个集合是它本身的子集，即
（2）传递性：对于集合A,B,C，如果 ，且 ，
那么 .
*下面做练习第7页第二题
例3 写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它
的真子集.
考虑：我们按照什么标准来写最好？
解：集合{a,b}的所有子集为 ，{a},{b},{a,b}.
真子集为 ，{a},{b}.
那么子集的个数为22=4，真子集的个数为22-1=3.
*下面做练习第一题，看能否找出求子集，真子集，非空
真子集个数的规律.
附加：1、求集合{a,b,c,d}的子集，真子集，非空
真子集的个数.
2、求集合A={a1,a2,a3,……an}的子集，
真子集，非空真子集的个数.
1、子集24=16，真子集24-1=15，非空真子集
24-2=14.
2、子集2n，真子集2n-1，非空真子集2n-2（这个
大家要当成公式来记忆！）
*下面做练习第7页第三题，11页习题1.1第五题.