华师大新版九年级（上）数学 第22章 一元二次方程 单元测试卷 （word版，含解析）
文档属性
| 名称 | 华师大新版九年级（上）数学 第22章 一元二次方程 单元测试卷 （word版，含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 366.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-03 06:44:36 | ||
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文档简介
第22章 一元二次方程 单元测试卷
一、选择题（共10小题）.
1．下列各方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．3x+2＝3 B．x3+2x+1＝0 C．x2＝1 D．x2+2y＝0
2．关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式为（ ）
A．3x2﹣4x+2＝0 B．3x2﹣4x﹣2＝0 C．3x2+4x+2＝0 D．3x2+4x﹣2＝0
4．一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
5．方程x2+6x﹣5＝0的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A．（x+3）2＝14 B．（x﹣3）2＝14 C．（x+3）2＝4 D．（x﹣3）2＝4
6．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣5m+3＝0有一个根为1，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．0 D．1或3
7．已知a、b、c为实数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．无实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有一根为0
8．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
9．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实数根，若k为非负整数，则k等于（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
二、填空题（共6小题）.
11．一元二次方程x2﹣x＝0的根是 ．
12．写出一个二次项系数为1，且一个根是3的一元二次方程 ．
13．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是 ．
14．若关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+1＝0有两个相等的实数根，则（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）的值为 ．
15．有三个连续偶数，第三个数的平方等于前两个数的平方和，则这三个数分别为 ．
16．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是 ．
三、解答题（17～20题每题8分，21～22题每题10分，共52分）
17．用适当的方法解下列方程：
（1）2x2﹣4x＝1；
（2）（2x+3）2﹣2（2x+3）＝0．
18．已知关于x的方程2x2﹣kx+1＝0的一个解与方程的解相同．
（1）求k的值；
（2）求方程2x2﹣kx+1＝0的另一个解．
19．已知一元二次方程x2﹣3x+m﹣1＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根．
20．“低碳环保，绿色出行”，自行车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌共享自行车在某区域的投放量自2018年逐月增加，据统计，该品牌共享自行车1月份投放了1600辆，3月份投放了2500辆．若该品牌共享自行车前4个月的投放量的月平均增长率相同，求4月份投放了多少辆？
21．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
22．阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝ ，x3＝ ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8m，宽AB＝3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列各方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．3x+2＝3 B．x3+2x+1＝0 C．x2＝1 D．x2+2y＝0
解：A、方程3x+2＝3化简为3x﹣1＝0，该方程为一元一次方程，故错误；
B、方程x3+2x+1＝0的最高次数是3，故错误；
C、方程x2﹣1＝0符合一元二次方程的一般形式，正确．
D、方程x2+2y＝0含有两个未知数，为二元二次方程，故错误；
故选：C．
2．关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
解：把x＝﹣1代入方程得1﹣3+a＝0，
解得a＝2．
故选：C．
3．将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式为（ ）
A．3x2﹣4x+2＝0 B．3x2﹣4x﹣2＝0 C．3x2+4x+2＝0 D．3x2+4x﹣2＝0
解：方程整理得：3x2﹣4x+2＝0，
故选：A．
4．一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
解：∵一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为x1和x2，
∴x1x2＝0．
故选：D．
5．方程x2+6x﹣5＝0的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A．（x+3）2＝14 B．（x﹣3）2＝14 C．（x+3）2＝4 D．（x﹣3）2＝4
解：
移项得：x2+6x＝5，
配方可得：x2+6x+9＝5+9，
即（x+3）2＝14，
故选：A．
6．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣5m+3＝0有一个根为1，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．0 D．1或3
解：把x＝1代入（m﹣1）x2+x+m2﹣5m+3＝0，得
m2﹣4m+3＝0
解得m1＝3，m2＝1，
而m﹣1≠0，
所以m＝3．
故选：B．
7．已知a、b、c为实数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．无实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有一根为0
解：∵（a﹣c）2＝a2+c2﹣2ac＞a2+c2，
∴ac＜0．
在方程ax2+bx+c＝0中，△＝b2﹣4ac，
∵b2≥0，ac＜0，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
故选：C．
8．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：
画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，
设AD＝x，根据勾股定理得：（x+）2＝b2+（）2，
整理得：x2+ax﹣b2＝0（a≠0，b≠0），
∵△＝a2+4b2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，且两根之积为﹣b2＜0，即方程的根一正一负，
则该方程的一个正根是AD的长，
故选：B．
9．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实数根，若k为非负整数，则k等于（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．
解：由题意可知：
∴0＜k≤1，
由于k是整数，
∴k＝1
故选：B．
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝15，
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故选：B．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．一元二次方程x2﹣x＝0的根是 x1＝0，x2＝1 ．
解：方程变形得：x（x﹣1）＝0，
可得x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝1．
故答案为：x1＝0，x2＝1．
12．写出一个二次项系数为1，且一个根是3的一元二次方程 x2﹣3x＝0 ．
解：根据题意，设该一元二次方程为：（x+b）（x+a）＝0；
∵该方程的一个根是3，
∴该一元二次方程可以是：x（x﹣3）＝0．
即x2﹣3x＝0
故答案是：x2﹣3x＝0．
13．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是 13 ．
解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0，x﹣4＝0，
x1＝2，x2＝4，
当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，
当x＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝13，
故答案为：13．
14．若关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+1＝0有两个相等的实数根，则（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）的值为 ．
解：由题意可知：△＝4m2﹣2（1﹣4m）＝4m2+8m﹣2＝0，
∴m2+2m＝
∴（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）
＝﹣m2﹣2m+4
＝+4
＝
故答案为：
15．有三个连续偶数，第三个数的平方等于前两个数的平方和，则这三个数分别为 6，8，10或﹣2，0，2 ．
解：设最小的偶数为x，根据题意得（x+4）2＝x2+（x+2）2，解得x＝6或﹣2．
当x＝6时，x+2＝8，x+4＝10；
当x＝﹣2时，x+2＝0，x+4＝2
因此这三个数分别为6，8，10或﹣2，0，2．
故答案为6，8，10或﹣2，0，2．
16．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是 x3＝0，x4＝﹣3 ．
解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，
解得x＝0或x＝﹣3．
故答案为：x3＝0，x4＝﹣3．
三、解答题（17～20题每题8分，21～22题每题10分，共52分）
17．用适当的方法解下列方程：
（1）2x2﹣4x＝1；
（2）（2x+3）2﹣2（2x+3）＝0．
解：（1）二次项系数化为1，得x2﹣2x＝．
配方，得x2﹣2x+1＝+1，
即（x﹣1）2＝．
直接开平方，得x﹣1＝±．
故x1＝，x2＝．
（2）原方程可化为（2x+3）（2x+3﹣2）＝0，即（2x+3）（2x+1）＝0．
可得2x+3＝0或2x+1＝0．
解得x1＝﹣，x2＝﹣．
18．已知关于x的方程2x2﹣kx+1＝0的一个解与方程的解相同．
（1）求k的值；
（2）求方程2x2﹣kx+1＝0的另一个解．
解：（1）解方程：，得
2x+1＝4﹣4x．
∴．
经检验是原方程的解．
把代入方程2x2﹣kx+1＝0．
解得k＝3．
（2）当k＝3时，方程为2x2﹣3x+1＝0．
由根与系数关系得方程另一个解为：x＝﹣＝1．
19．已知一元二次方程x2﹣3x+m﹣1＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根．
解：△＝（﹣3）2﹣4（m﹣1），
（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，解得m＜．
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴△＝0，即9﹣4（m﹣1）＝0
解得m＝
∴方程的根是：x1＝x2＝．
20．“低碳环保，绿色出行”，自行车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌共享自行车在某区域的投放量自2018年逐月增加，据统计，该品牌共享自行车1月份投放了1600辆，3月份投放了2500辆．若该品牌共享自行车前4个月的投放量的月平均增长率相同，求4月份投放了多少辆？
解：设月平均增长率为x，
根据题意得1600（1+x）2＝2500，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去），
∴月平均增长率为25%，
∴4月份投放了2500（1+x）＝2500×（1+25%）＝3125．
答：4月份投放了3125辆．
21．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（40，600）、（45，550）代入y＝kx+b，得：
，解得：，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝﹣10x+1000．
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，
根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）＝10000，
整理，得：x2﹣130x+4000＝0，
解得：x1＝50，x2＝80．
∵此设备的销售单价不得高于70万元，
∴x＝50．
答：该设备的销售单价应是50万元/台．
22．阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝ ﹣2 ，x3＝ 1 ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8m，宽AB＝3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
解：（1）x3+x2﹣2x＝0，
x（x2+x﹣2）＝0，
x（x+2）（x﹣1）＝0
所以x＝0或x+2＝0或x﹣1＝0
∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝1；
故答案为：﹣2，1；
（2）＝x，
方程的两边平方，得2x+3＝x2
即x2﹣2x﹣3＝0
（x﹣3）（x+1）＝0
∴x﹣3＝0或x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1，
当x＝﹣1时，＝＝1≠﹣1，
所以﹣1不是原方程的解．
所以方程＝x的解是x＝3；
（3）因为四边形ABCD是矩形，
所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3m
设AP＝xm，则PD＝（8﹣x）m
因为BP+CP＝10，
BP＝，CP＝
∴+＝10
∴＝10﹣
两边平方，得（8﹣x）2+9＝100﹣20+9+x2
整理，得5＝4x+9
两边平方并整理，得x2﹣8x+16＝0
即（x﹣4）2＝0
所以x＝4．
经检验，x＝4是方程的解．
答：AP的长为4m．
一、选择题（共10小题）.
1．下列各方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．3x+2＝3 B．x3+2x+1＝0 C．x2＝1 D．x2+2y＝0
2．关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式为（ ）
A．3x2﹣4x+2＝0 B．3x2﹣4x﹣2＝0 C．3x2+4x+2＝0 D．3x2+4x﹣2＝0
4．一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
5．方程x2+6x﹣5＝0的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A．（x+3）2＝14 B．（x﹣3）2＝14 C．（x+3）2＝4 D．（x﹣3）2＝4
6．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣5m+3＝0有一个根为1，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．0 D．1或3
7．已知a、b、c为实数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．无实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有一根为0
8．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
9．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实数根，若k为非负整数，则k等于（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
二、填空题（共6小题）.
11．一元二次方程x2﹣x＝0的根是 ．
12．写出一个二次项系数为1，且一个根是3的一元二次方程 ．
13．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是 ．
14．若关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+1＝0有两个相等的实数根，则（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）的值为 ．
15．有三个连续偶数，第三个数的平方等于前两个数的平方和，则这三个数分别为 ．
16．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是 ．
三、解答题（17～20题每题8分，21～22题每题10分，共52分）
17．用适当的方法解下列方程：
（1）2x2﹣4x＝1；
（2）（2x+3）2﹣2（2x+3）＝0．
18．已知关于x的方程2x2﹣kx+1＝0的一个解与方程的解相同．
（1）求k的值；
（2）求方程2x2﹣kx+1＝0的另一个解．
19．已知一元二次方程x2﹣3x+m﹣1＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根．
20．“低碳环保，绿色出行”，自行车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌共享自行车在某区域的投放量自2018年逐月增加，据统计，该品牌共享自行车1月份投放了1600辆，3月份投放了2500辆．若该品牌共享自行车前4个月的投放量的月平均增长率相同，求4月份投放了多少辆？
21．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
22．阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝ ，x3＝ ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8m，宽AB＝3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列各方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．3x+2＝3 B．x3+2x+1＝0 C．x2＝1 D．x2+2y＝0
解：A、方程3x+2＝3化简为3x﹣1＝0，该方程为一元一次方程，故错误；
B、方程x3+2x+1＝0的最高次数是3，故错误；
C、方程x2﹣1＝0符合一元二次方程的一般形式，正确．
D、方程x2+2y＝0含有两个未知数，为二元二次方程，故错误；
故选：C．
2．关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣1，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
解：把x＝﹣1代入方程得1﹣3+a＝0，
解得a＝2．
故选：C．
3．将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式为（ ）
A．3x2﹣4x+2＝0 B．3x2﹣4x﹣2＝0 C．3x2+4x+2＝0 D．3x2+4x﹣2＝0
解：方程整理得：3x2﹣4x+2＝0，
故选：A．
4．一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．0
解：∵一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为x1和x2，
∴x1x2＝0．
故选：D．
5．方程x2+6x﹣5＝0的左边配成完全平方后所得方程为（ ）
A．（x+3）2＝14 B．（x﹣3）2＝14 C．（x+3）2＝4 D．（x﹣3）2＝4
解：
移项得：x2+6x＝5，
配方可得：x2+6x+9＝5+9，
即（x+3）2＝14，
故选：A．
6．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣5m+3＝0有一个根为1，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．0 D．1或3
解：把x＝1代入（m﹣1）x2+x+m2﹣5m+3＝0，得
m2﹣4m+3＝0
解得m1＝3，m2＝1，
而m﹣1≠0，
所以m＝3．
故选：B．
7．已知a、b、c为实数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．无实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有一根为0
解：∵（a﹣c）2＝a2+c2﹣2ac＞a2+c2，
∴ac＜0．
在方程ax2+bx+c＝0中，△＝b2﹣4ac，
∵b2≥0，ac＜0，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
故选：C．
8．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：
画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，
设AD＝x，根据勾股定理得：（x+）2＝b2+（）2，
整理得：x2+ax﹣b2＝0（a≠0，b≠0），
∵△＝a2+4b2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，且两根之积为﹣b2＜0，即方程的根一正一负，
则该方程的一个正根是AD的长，
故选：B．
9．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实数根，若k为非负整数，则k等于（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．
解：由题意可知：
∴0＜k≤1，
由于k是整数，
∴k＝1
故选：B．
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝15，
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故选：B．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．一元二次方程x2﹣x＝0的根是 x1＝0，x2＝1 ．
解：方程变形得：x（x﹣1）＝0，
可得x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝1．
故答案为：x1＝0，x2＝1．
12．写出一个二次项系数为1，且一个根是3的一元二次方程 x2﹣3x＝0 ．
解：根据题意，设该一元二次方程为：（x+b）（x+a）＝0；
∵该方程的一个根是3，
∴该一元二次方程可以是：x（x﹣3）＝0．
即x2﹣3x＝0
故答案是：x2﹣3x＝0．
13．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是 13 ．
解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0，x﹣4＝0，
x1＝2，x2＝4，
当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，
当x＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝13，
故答案为：13．
14．若关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+1＝0有两个相等的实数根，则（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）的值为 ．
解：由题意可知：△＝4m2﹣2（1﹣4m）＝4m2+8m﹣2＝0，
∴m2+2m＝
∴（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）
＝﹣m2﹣2m+4
＝+4
＝
故答案为：
15．有三个连续偶数，第三个数的平方等于前两个数的平方和，则这三个数分别为 6，8，10或﹣2，0，2 ．
解：设最小的偶数为x，根据题意得（x+4）2＝x2+（x+2）2，解得x＝6或﹣2．
当x＝6时，x+2＝8，x+4＝10；
当x＝﹣2时，x+2＝0，x+4＝2
因此这三个数分别为6，8，10或﹣2，0，2．
故答案为6，8，10或﹣2，0，2．
16．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是 x3＝0，x4＝﹣3 ．
解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，
解得x＝0或x＝﹣3．
故答案为：x3＝0，x4＝﹣3．
三、解答题（17～20题每题8分，21～22题每题10分，共52分）
17．用适当的方法解下列方程：
（1）2x2﹣4x＝1；
（2）（2x+3）2﹣2（2x+3）＝0．
解：（1）二次项系数化为1，得x2﹣2x＝．
配方，得x2﹣2x+1＝+1，
即（x﹣1）2＝．
直接开平方，得x﹣1＝±．
故x1＝，x2＝．
（2）原方程可化为（2x+3）（2x+3﹣2）＝0，即（2x+3）（2x+1）＝0．
可得2x+3＝0或2x+1＝0．
解得x1＝﹣，x2＝﹣．
18．已知关于x的方程2x2﹣kx+1＝0的一个解与方程的解相同．
（1）求k的值；
（2）求方程2x2﹣kx+1＝0的另一个解．
解：（1）解方程：，得
2x+1＝4﹣4x．
∴．
经检验是原方程的解．
把代入方程2x2﹣kx+1＝0．
解得k＝3．
（2）当k＝3时，方程为2x2﹣3x+1＝0．
由根与系数关系得方程另一个解为：x＝﹣＝1．
19．已知一元二次方程x2﹣3x+m﹣1＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根．
解：△＝（﹣3）2﹣4（m﹣1），
（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，解得m＜．
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴△＝0，即9﹣4（m﹣1）＝0
解得m＝
∴方程的根是：x1＝x2＝．
20．“低碳环保，绿色出行”，自行车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌共享自行车在某区域的投放量自2018年逐月增加，据统计，该品牌共享自行车1月份投放了1600辆，3月份投放了2500辆．若该品牌共享自行车前4个月的投放量的月平均增长率相同，求4月份投放了多少辆？
解：设月平均增长率为x，
根据题意得1600（1+x）2＝2500，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去），
∴月平均增长率为25%，
∴4月份投放了2500（1+x）＝2500×（1+25%）＝3125．
答：4月份投放了3125辆．
21．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（40，600）、（45，550）代入y＝kx+b，得：
，解得：，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝﹣10x+1000．
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，
根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）＝10000，
整理，得：x2﹣130x+4000＝0，
解得：x1＝50，x2＝80．
∵此设备的销售单价不得高于70万元，
∴x＝50．
答：该设备的销售单价应是50万元/台．
22．阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝ ﹣2 ，x3＝ 1 ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程＝x的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8m，宽AB＝3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
解：（1）x3+x2﹣2x＝0，
x（x2+x﹣2）＝0，
x（x+2）（x﹣1）＝0
所以x＝0或x+2＝0或x﹣1＝0
∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝1；
故答案为：﹣2，1；
（2）＝x，
方程的两边平方，得2x+3＝x2
即x2﹣2x﹣3＝0
（x﹣3）（x+1）＝0
∴x﹣3＝0或x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1，
当x＝﹣1时，＝＝1≠﹣1，
所以﹣1不是原方程的解．
所以方程＝x的解是x＝3；
（3）因为四边形ABCD是矩形，
所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3m
设AP＝xm，则PD＝（8﹣x）m
因为BP+CP＝10，
BP＝，CP＝
∴+＝10
∴＝10﹣
两边平方，得（8﹣x）2+9＝100﹣20+9+x2
整理，得5＝4x+9
两边平方并整理，得x2﹣8x+16＝0
即（x﹣4）2＝0
所以x＝4．
经检验，x＝4是方程的解．
答：AP的长为4m．