2.2 等式与不等式性质，基本不等式习题课 课件(39张PPT）

等式与不等式性质、基本不等式习题课

复习回顾
不等式性质及注意事项
问题1　前面我们学习了不等式的基本性质和基本不等式，不等式有哪些性质？基本不等式能解决哪些问题？使用时需注意哪些条件？

基本不等式可以证明不等式或解决最值问题：
复习回顾
（1）如果正数x，y的积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值；
（2）如果正数x，y的和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值．
用基本不等式求最值时要注意满足三个条件：一正、二定、三相等．

典例研究
A． B． C． D．
（2）已知x∈R，下列说法中正确的是（ ）
A． 的最小值是2 B． ， 的最小值是2
C． D．函数 的最小值2
D
C
例1 （1）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
问题2　每个题对应的知识点和方法分别是什么？
36
例1 （3）已知函数 在x＝3时取得最小值，则a＝________．

问题3　如何求上式的范围？用到哪些不等式性质？
解答：∵1＜a＜4，2＜b＜8，
∴2＜2a＜8，6＜3b＜24，
∴8＜2a＋3b＜32．
典例研究
例2　已知1＜a＜4，2＜b＜8，求2a＋3b的取值范围．

变式：已知－1≤a＋b≤1，1≤a－3b≤2，求a－b的取值范围．
思考：上式如何求范围？和例2比较，在方法上有什么异同？需要注意什么？
小明是这样解的：
由－1≤a＋b≤1，1≤a－3b≤2，
得
所以
错在哪里？
注意：由a＋b及a－3b的范围，可以得到a，b的范围，但这个命题不是充要条件．
典例研究

变式：已知－1≤a＋b≤1，1≤a－3b≤2，求a－b的取值范围．
思考：上式如何求范围？和例2比较，在方法上有什么异同？需要注意什么？
解答：设a－b＝m（a＋b）＋n（a－3b）＝（m＋n）a＋（m－3n）b，
解得
所以
则
由以上两式相加，得 ．
典例研究

变式：已知－1≤a＋b≤1，1≤a－3b≤2，求a－b的取值范围．
思考：上式如何求范围？和例2比较，在方法上有什么异同？需要注意什么？
总结：
利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围要注意：同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），但是这种转化不是等价转化，如果在解题中多次使用，就有可能扩大取值范围．
典例研究

（2）已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求（x＋1）（y＋1）的最大值．
解答：（1）
当且仅当 ，即x＝1时取等号．
配凑使积为定值
典例研究
例3（1）已知 ，求函数 的最大值．

解答：（1）
即
故当x＝1时，y取最大值1．
典例研究
（2）已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求（x＋1）（y＋1）的最大值．
例3（1）已知 ，求函数 的最大值．

解答：（2）法1：由x＋y＝1，得y＝1－x，
且0＜x＜1，则
当且仅当x＋1＝2－x ，即x＝y＝ 时等号成立，
即 的最大值为 ．
典例研究
（2）已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求（x＋1）（y＋1）的最大值．
例3（1）已知 ，求函数 的最大值．
解答：（2）法2：由x＋y＝1，得y＝1－x，

且0＜x＜1，则
即 的最大值为 ．
当且仅当 ，即x＝y＝ 时等号成立，
使得和为定值
典例研究
（2）已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求（x＋1）（y＋1）的最大值．
例3（1）已知 ，求函数 的最大值．

则
即 的最大值为 ．
当且仅当 ，即x＝y＝ 时等号成立，
典例研究
（2）已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求（x＋1）（y＋1）的最大值．
例3（1）已知 ，求函数 的最大值．
解答：（2）法3：∵x＋y＝1，∴

变式1：已知x＞0，y＞0，且 ，求x＋y的最小值．
追问1　上面变式和例3比较，在解题思路上什么相同之处，你还有什么发现？
小丽是这样解的：
由 ，及 ，得xy≥36，
当且仅当 即x＝2，y＝18时取等号，
所以 ， 取得最小值12．
错在哪里？
典例研究

变式1：已知x＞0，y＞0，且 ，求x＋y的最小值．
且x＞1，则
当且仅当 ，即x＝4时取等号，
∴ 时， 取得最小值16．
减元，使得和为定值
典例研究
解答：法1：由 得 ，

变式1：已知x＞0，y＞0，且 ，求x＋y的最小值．
∴
∴ 时， 取得最小值16．
∵x＞0，y＞0时，∴
则x＋y ≥16，
当且仅当 ，又 ，
1的代换，把代数式构造成倒数形式，使得积为常数
典例研究
解答：法2：∵ ，

变式2：已知 ，且 ，求 的最小值．
∴
当且仅当 时取等号，
又 ，∴ ， 取得最小值8．
典例研究
解答：∵ ，

变式3：已知 ， ，求 的最小值．
所以所求式子的最小值为2．
则
当且仅当 ，即 时取等号，
典例研究
解答：由 ，得

*变式4：已知 x＞0，y＞0，且 x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值．
解答：法1：由 ，可得 ．
∴ ，∴ 的最小值是5 ．
当且仅当 时取等号，又 ，
典例研究
∴

*变式4：已知 x＞0，y＞0，且 x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值．
解答：法2：由 ，可得 ，
∴ 的最小值是5 ．
当且仅当 时取等号，即
典例研究
∴

*变式4：已知 x＞0，y＞0，且 x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值．
解答：法3：由 ，可得 ，
典例研究
即
∴
∴ 的最小值是5 ．
当且仅当 时取等号，即 等号成立，

解析：设一年的总费用为y万元，
故一年的总运费与总存储费用之和最小时x的值是30．
由题知 ，而
当且仅当 ，即 吨时取等号．
30
典例研究
例4　某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x＝________吨．

归纳小结
（1）如何利用作差（商）法比较两个实数的大小？
作差法步骤：作差、变形、定号、定论，适合所有的数或式
作商法步骤：作商、变形、定号、定论，适合同号的数或式
问题6　回顾本节学习过程，回答以下问题：

归纳小结
问题6　回顾本节学习过程，回答以下问题：
（2）不等式的基本性质有哪些？需要注意哪些条件？
基本不等式是：

归纳小结
可以证明不等式或解决以下最值问题：
（1）如果正数x，y的积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值；（2）如果正数x，y的和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值．
问题6　回顾本节学习过程，回答以下问题：
（3）基本不等式是什么？能够解决什么问题？在解决问题时应注意什么？

归纳小结
会将问题中的条件进行变形或转化，使其满足基本不等式的条件．
用基本不等式求最值时要注意满足三个条件：一正、二定、三相等．
问题6　回顾本节学习过程，回答以下问题：
（3）基本不等式是什么？能够解决什么问题？在解决问题时应注意什么？

作业：教科书复习参考题2第1，2，3，4题．
作业布置

目标检测
A．c－a＜c－b B．
C． D．
A
取a＝1，b＝－1，B，C选项都错了．
对于D，取a＝－1，b＝－2，D也错了．
由不等式的性质4可乘性知－a＜－b，
再根据可加性得c－a＜c－b选项正确，故选A．
设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
1
分析：利用不等式的性质或者举反例判断．

目标检测
A． 2 B． C． 4 D． 5
C
即a＝b时，取“＝”号．
当且仅当 ，
且 ，
分析：因为
已知a＞0，b＞0，则 的最小值是（ ）
2

目标检测
（2）若0＜x＜1，则 的最小值为_______．
8
9
（1）若a＞0，b＞0，ab＝2a＋b，则a＋b的最小值为________，ab的最小值为_______．
3

目标检测
∵x2＋6＞0，
∴当 时， ，即 ；
当x＝1时， ，即 ；
当x＜1时， ，即 ．
已知x∈R，试比较x3＋6x与x2＋6的大小．
4
解：

目标检测
当且仅当 时取等号，
又
的最大值是 ．
设a＞0，b＞0，a2＋ ＝1求 的最大值．
5
解：

目标检测
∴
以上三个不等式相加，得
即
已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1．
求证： ．
6
证明：∵a，b，c都是正实数，且abc＝1，

目标检测
所以上述三个等式中的“＝”不都同时成立，
所以
已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1．
求证： ．
6
证明：∵a，b，c不全相等，

目标检测
某农场有一废弃的猪圈，留有一面旧墙长12 m，现准备在该地区重新建一个猪圈．平面图为矩形，面积为56 m2，预计：①修复1 m旧墙的费用是建造1 m新墙费用的25%，②拆去1 m旧墙所得材料用以建成1 m新墙的费用是建1 m新墙费用的50%，③为安装圈门，要在围墙的适当处留出1 m的空缺．试问：这里建造猪圈的围墙应当怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小？
7

目标检测
解：显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好．
则剩下的旧墙拆得的材料可建造新墙（12－x）m，
于是还需建造新墙的长为
设修复成新墙的旧墙为x m，

目标检测
解：设建造1 m新墙所需a元，建造围墙的总费用为y元，
又x＞0， ∴ ，
当且仅当 ，即x＝8时，上式等号成立．
因此修复的旧墙约为8 m，拆除并改建成新墙的旧墙约为4 m时，
建造的总费用最小．
再见