22.1二次函数的图像和性质
基础练习
一、选择题
1．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）
B．顶点坐标是（1，﹣3）
C．函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
2．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②b
0；④2c–3b<0；⑤a+b>n（an+b）（n≠1），其中正确的结论有(
)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
3．某品牌钢笔进价8元，按10元1支出售时每天能卖出20支，市场调查发现如果每支每涨价1元，每天就少卖出2支，为了每天获得最大利润，其售价应定为（
）
A．11元
B．12元
C．13元
D．14元
4．若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点(
)
A．
B．
C．
D．
5．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ ）
A．只能是x=﹣1
B．可能是y轴
C．可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧;
D．可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧
6．已知抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标，其部分图象如图所示，下列结论：抛物线过原点；；；抛物线的顶点坐标为；当时，y随x增大而增大其中结论正确的是
A．
B．
C．
D．
7．已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（ ）
A．
B．
C．或
D．或
8．已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（ ）
A．正比例函数
B．一次函数
C．反比例函数
D．二次函数
9．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则|a﹣b+c|+|2a+b|=（
）
A．a+b
B．a﹣2b
C．a﹣b
D．3a
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣1或≤a＜
B．≤a＜
C．a≤或a＞
D．a≤﹣1或a≥
11．设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（ ）
A．（1，0）
B．（3，0）
C．（﹣3，0）
D．（0，﹣4）
12．数形结合是数学中常用的思想方法，试运用这一思想方法确定函数y=x2+1与y=的交点的横坐标x0的取值范围是（ ）
A．0＜x0＜1
B．1＜x0＜2
C．2＜x0＜3
D．﹣1＜x0＜0
13．已知二次函数y=﹣x2+2x+3，当x≥2时，y的取值范围是（ ）
A．y≥3
B．y≤3
C．y＞3
D．y＜3
二、填空题
14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给下以下结论：①2a﹣b=0；
②abc＞0
③4ac﹣b2＜0；
④9a+3b+c＜0；
⑤8a+c＜0．
其中正确的结论有__________
15．已知点在抛物线上，当时，总有成立，则的取值范围是________．
16．如图，抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)经过点A（-3，0），对称轴为直线x=
-1，则(a+b)(4a-2b+1)的值为____________．
17．抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标是 ．
18．已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x 时，y随x的增大而减小．
19．函数y=x2+2x+1，当y=0时，x= ；当1＜x＜2时，y随x的增大而 （填写“增大”或“减小”）．
三、解答题
20．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．
（1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+，试求出t的取值范围．
21．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
22．如果抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M(1，0)，则称此抛物线为定点抛物线．
(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的解析式．小敏写出了一个正确的答案：y＝2x2＋3x－5.请你写出一个不同于小敏的答案；
(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c，求该抛物线的顶点最低时的解析式．
23．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上.
(1)求的值及这个二次函数的关系式；
(2)P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.
24．已知是二次函数，求m的值．
25．已知点A（﹣2，n）在抛物线y=x2+bx+c上．
（1）若b=1，c=3，求n的值；
（2）若此抛物线经过点B（4，n），且二次函数y=x2+bx+c的最小值是﹣4，请画出点P（x﹣1，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由．
答案
1．
B
2．
B
3．
D
4．
B
5．
D
6．
C
7．
D
8．
D
9．
D
10．
B
12．
B
14．
②③④
15．
16．
-1
17．
（﹣1，2）
18．
＜2
19．
﹣1
增大
20．
（1）y=；（2）当k≠时，“梦之点”的坐标为（，）；当k=，s=1时，“梦之点”有无数个；当k=，s≠1时，不存在“梦之点”；（3）t＞．
21．
（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．
22．
(1)y＝x2＋3x－4(答案不唯一);(2)y＝－x2＋2x－1
23．
（1）；（2）；（3）存在,P点坐标为（2,3）．
24．
m=2
25．
解：（1）∵b=1，c=3，A（﹣2，n）在抛物线y=x2+bx+c上．
∴n=4+（﹣2）×1+3=5．
（2）∵此抛物线经过点A（﹣2，n），B（4，n），
∴抛物线的对称轴x==1，
∵二次函数y=x2+bx+c的最小值是﹣4，
∴抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，
令x﹣1=x′，
∴点P（x﹣1，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的关系式为y=x′2﹣4，
点P（x﹣1，x2+bx+c）的纵坐标随横坐标变化的如图：22.3实际问题与二次函数基础练习
一、选择题
1．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（ ）
A．15元
B．400元
C．800元
D．1250元
2．太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻在一定条件下，直杆的太阳影子长度单位：米与时刻单位：时的关系满足函数关系是常数，如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t是（）
A．
B．13
C．
D．
3．如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y＝7.9（1+2x）
B．y＝7.9（1﹣x）2
C．y＝7.9（1+x）2
D．y＝7.9+7.9（1+x）+7.9（1+x）2
5．某品牌钢笔进价8元，按10元1支出售时每天能卖出20支，市场调查发现如果每支每涨价1元，每天就少卖出2支，为了每天获得最大利润，其售价应定为（
）
A．11元
B．12元
C．13元
D．14元
6．如图为某菜农搭建的一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示，某菜农身高1.6米，则他在不弯腰的情况下在大棚内左右活动的范围是(
)
A．米
B．米
C．1.6米
D．0.8米
7．已知直线y＝﹣x和抛物线y＝x2+3x+3的图象交于P、Q两点，点A在x轴的负半轴上移动，当∠PAQ取最大值时，A的横坐标为（ ）
A．
B．﹣2
C．﹣2
D．
8．等腰三角形的周长为10，底边长为，腰长为，则关于的函数表达式和自变量的取值范围分别是（
）
A．
B．
C．
D．
9．若，符号?表示函数的图象与过点，且和轴垂直的直线及轴围成图形的面积．如图，表示梯形的面积．设，，，则，，中最大的是（
）
A．
B．
C．
D．无法比较
10．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m，水流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（ ）
A．0.55米
B．米
C．米
D．0.4米
二、填空题
11．抛物线y=2x2-4x+3绕坐标原点旋转180?所得的抛物线的解析式是___________.
12．如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上若设，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为______
．
13．某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为x（x＞0），六月份的营业额为y万元，那么y关于x的函数解析式是
．
14．如图所示是某斜拉索大桥，主索塔呈抛物线，主索塔底部在水面部分的宽度AB＝50米，主索塔的最高点E距水面的垂直距离为100米，桥面CD距水面的咨度为36米，则桥的宽度CD
米．
15．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m时，拱高为2m，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超过
______m.
三、解答题
16．已知抛物线.
(1)求证：点在此抛物线上；
(2)设该抛物线的顶点为，与轴的交点为.过点作垂直于轴，垂足为点，当时，求的值.
17．如图，从某建筑物9米高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线
所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面12米，建立平面直角坐标系，如图．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求水流落地点B离墙的距离OB．
18．如图，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点，连结，点C(6，)在抛物线上，直线与轴交于点
(1)求的值及直线的函数表达式；
(2)点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，连结与直线交于点，连结并延长交于点，若为的中点．
①求证：△APM∽△AON
②设点的横坐标为，求的长(用含的代数式表示)．
19．某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元/件）符合一次函数y＝kx+b，且x＝70时，y＝50；x＝80时，y＝40；
（1）求出一次函数y＝kx+b的解析式
（2）若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
20．某企业为打入国际市场，决定从、两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）
项?目
类?别
年固定
成本
每件产品
成本
每件产品
销售价
每年最多可
生产的件数
产品
产品
其中年固定成本与年生产的件数无关，为待定常数，其值由生产产品的原材料价格决定，预计．另外，年销售件产品时需上交万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
写出该厂分别投资生产、两种产品的年利润，与生产相应产品的件数之间的函数关系并指明其自变量取值范围；
如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．
21．已知抛物线y=
ax2+bx+c开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，-3）两点。
（1）若抛物线的对称轴为直线x=
-1,求此抛物线的解析式；
（2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；
（3）如果抛物线与x轴交于B、C两点，且∠BAC=90?，求此时a的值。
答案
1．
D
2．
C
3．
A
4．
C
5．
D
6．
B
7．
D
8．
D
9．
C
10．
B
11．
y
=
-2
12．
13．
y＝200x2+400x+200
14．
40
15．
1.2
16．
(1)点在此抛物线上；(2).
17．
解：（1）根据题意，得
A（0，9），顶点M（1，12），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+12，
把A（0，9）代入，得
a＝﹣3，
所以抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣1）2+12＝﹣3x2+6x+9．
答：抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9．
（2）当y＝0时，0＝﹣3x2+6x+9
解得x1＝3，x2＝﹣1
所以B（3，0）．
答：水流落地点B离墙的距离OB为3米．
18．
(1)c=-3;
直线AC的表达式为：y=x+3；（2）①略；②
19．
（1）y＝﹣x+120；（2）当销售价定为84元/件时，商场可以获得最大利润，最大利润是864元．
20．
，，，；当时，投资生产产品件可获得最大年利润；当时，生产产品与生产产品均可获得最大年利润；当时，投资生产产品件可获得最大年利润．
21．
（1）y=
-0.5x?-x+1;（2）-1-1.22.2
二次函数与一元二次方程
拓展练习
一、选择题
1．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（
）
A．x1=-6，x2=-1
B．x1=0，x2=5
C．x1=-3，x2=5
D．x1=-6，x2=2
2．如图，下面是二次函数图象的一部分，则下列结论中：①；②③方程有两个不等的实数根；④．正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．二次函数y＝a（x﹣1）2+k与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），则与x轴的另一个交点坐标为（ ）
A．（0，0）
B．（2，0）
C．（3，0）
D．（4，0）
4．关于x的方程x2﹣2mx+4＝0有两个不同的实根，并且有一个根小于1，另一个根大于3，则实数m的取值范围为（ ）
A．m＞
B．m＜﹣
C．m＜﹣2
或
m＞2
D．m＞
5．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：
①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a；
②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；
③若y2＞y1，则x2＞4；
④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和
其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的两交点间的距离是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．D
7．已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2﹣bx﹣c=0在﹣1＜x＜3的范围内有两个相等的实数根，则c的取值范围是（??
）
A．c=4
B．﹣5＜c≤4
C．﹣5＜c＜3或c=4
D．﹣5＜c≤3或c=4
8．如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列三个判断中:①当x＞0时，y＞0；②若a=﹣1，则b=4；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；正确的是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．①②③都不对
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0
（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A．﹣2或0
B．﹣4或2
C．﹣5或3
D．﹣6或4
10．已知a、b都是正整数，且抛物线y=ax2+bx+l与x轴有两个不同的交点A、B．若A、B到原点的距离都小于1，则a+b的最小值等于（ ）
A．16
B．10
C．4
D．1
二、填空题
11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，下列结论中：
①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④a＞b，
正确的结论是_____（只填序号）
12．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+5＝
．
13．如果抛物线y=ax2-2ax+5与y轴交于点A，那么点A关于此抛物线对称轴的对称点坐标是______.
14．若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为________．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x
﹣1
0
3
y
n
﹣3
﹣3
当n＞0时，下列结论中一定正确的是
．（填序号即可）
①bc＞0；②当x＞2时，y的值随x值的增大而增大；③n＞4a；④当n＝1时，关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3．
三、解答题
16．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，﹣）两点．
（1）求b，c的值．
（2）二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴交于点M．
（1）求此抛物线的解析式和对称轴；
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
18．阅读下列材料：
有这样一个问题：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）有两个不相等的且非零的实数根．探究a，b，c满足的条件．
小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程：
①设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）对应的二次函数为y＝ax2+bx+c（a＞0）；
②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中a，b，c满足的条件，列表如下：
方程根的几何意义：请将（2）补充完整
方程两根的情况
对应的二次函数的大致图象
a，b，c满足的条件
方程有两个
不相等的负实根
方程有两个
不相等的正实根
（1）参考小明的做法，把上述表格补充完整；
（2）若一元二次方程mx2﹣（2m+3）x﹣4m＝0有一个负实根，一个正实根，且负实根大于﹣1，求实数m的取值范围．
19．以x为自变量的函数中，m为不小于零的整数，它的图象与x轴交于点A和B，点A在原点左边，点B在原点右边.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）一次函数y=kx+b的图象经过点A，与这个二次函数的图象交于点C，且=10,求这个一次函数的解析式.
20．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），顶点为C．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若将该抛物线向上平移t个单位后，它与x轴恰好只有一个交点，求t的值．
21．已知：二次函数y=（n﹣1）x2+2mx+1图象的顶点在x轴上．
（1）请写出m与n的关系式，并判断已知中函数图象的开口方向；
（2）是否存在整数m，n的值，使函数图象的对称轴与x轴的交点横坐标为整数？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由；
（3）若y关于x的函数关系式为y=nx2﹣m2x﹣2n﹣2
①当n≠0时，求该函数必过的定点坐标；
②探索这个函数图象与坐标轴有两个交点时n的值．
22．已知关于x的一元二次方程.
（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当关于x的抛物线与x轴交点的横坐标都是整数，且时，求m的整数值
答案
1．
B
2．
C
3．
D
4．
A
5．
B
6．
D
7．
D
8．
C
9．
B
10．
B
11．
②③④
12．
6
13．
（2，5）
14．
或
15．
①②④
16．
（1）；（2）公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．
17．
（1）y=，抛物线的对称轴是
x=3；
（2）存在；P点坐标为（3，）．
（3）在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．N（，-3）
18．
解：（1）补全表格如下：
方程两根的情况
二次函数的大致图象
得出的结论
方程有一个负实根，一个正实根
答案为：方程有一个负实根，一个正实根，，；
（2）解：设一元二次方程mx2﹣（2m+3）x﹣4m＝0对应的二次函数为：y＝mx2﹣（2m+3）x﹣4m，
∵一元二次方程mx2﹣（2m+3）x﹣4m＝0有一个负实根，一个正实根，
且负实根大于﹣1，
①当m＞0时，x＝﹣1时，y＞0，解得m＜3，
∴0＜m＜3．
②当m＜0时，x＝﹣1时，y＜0，解得m＞3（舍弃）
∴m的取值范围是0＜m＜3．
19．
（1）；（2）y=－x－1或y=5x+5.
20．
（1）A（﹣1，0），B（3，0）；（2）t＝4．
21．
（1）n=m2+1，图象开口向上；（2）存在m=±1，n=2，符合要求，
（3）①必过的定点为（2，0），（﹣1，﹣3），；②当n=0或﹣1或时，函数图象与坐标轴有两个交点．
22．
（1）m≠0和m≠﹣3；（2）﹣1或3.