苏科版九年级数学下册 7.2 正弦余弦(2)同步练习(含答案)

7.2正弦余弦(2)
1．∠α的补角是120°,则∠α=______,sinα=______．
2．已知△中，，3cosB=2，AC=，则AB= ．
3．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.
(第3题) (第5题) (第6题)
4．菱形的两条对角线长分别是8和6,较短的一条对角线与菱形的一边的夹角为,则
sin=________,cos=________,tan=__________。
5．如图，将边长为的等边折叠，折痕为，点与点重合，和分别交于点、，，垂足为,.设的面积为，则重叠部分的面积为 .(用含的式子表示)
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=．则下列关系式中不成立的是（ ）
（A）tanA·cotA=1 （B）sinA=tanA·cosA （C）cosA=cotA·sinA （D）tan2A+cot2A=1
7．已知为锐角且=则等于（ ）
A． B． C. D．
8．在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则的值是
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到△AB1C1，B1C1交AC于点D，如果AD=，则△ABC的周长等于 .
10． 先化简再求值：，其中.
11．
12．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，⊿BCE沿BE折叠为⊿BFE,点F落在AD上.
(1)求证：⊿ABF∽⊿DFE;(2)若sin∠DFE=,求tan∠EBC的值.
13.通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图①在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的。根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°= 。
（2）对于0°（3）如图②，已知sinA，其中∠A为锐角，试求sadA的值。
参考答案：
1.600，；2.6；3.；4.；5.；6.D；7.B；8.；9.；
10.；11.；
12. 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，∴∠BFE＝∠C＝90°，
∴∠AFB+∠DFE＝180°﹣∠BFE＝90°，
又∵∠AFB+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DFE，∴△ABF∽△DFE，
（2）在Rt△DEF中，sin∠DFE＝＝，
∴设DE＝a，EF＝3a，DF＝＝2a，
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴CE＝EF＝3a，CD＝DE+CE＝4a，AB＝4a，∠EBC＝∠EBF，
∵△ABF∽△DFE，∴＝，∴tan∠EBF＝＝，
tan∠EBC＝tan∠EBF＝．
变式：如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．
（1）求证：△ABF∽△DFE．
（2）若sin∠DFE＝，求tan∠EBC的值．
（3）设＝k，是否存在k的值，使△ABF与△BFE相似？若存在谋求出k的值；若不存在，请说明理由．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，∴∠BFE＝∠C＝90°，
∴∠AFB+∠DFE＝180°﹣∠BFE＝90°，
又∵∠AFB+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DFE，∴△ABF∽△DFE；
（2）解：在Rt△DEF中，sin∠DFE＝＝，
∴设DE＝2a，EF＝5a，DF＝＝a，
∵△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴CE＝EF＝5a，CD＝DE+CE＝7a，AB＝7a，∠EBC＝∠EBF，
又∵△ABF∽△DFE，∴＝＝＝，
∴tan∠EBF＝＝，tan∠EBC＝tan∠EBF＝；
（3）当△ABF∽△FBE时，∠2＝∠4．
∵∠4＝∠5，∠2+∠4+∠5＝90°，∴∠2＝∠4＝∠5＝30°，∴＝cos30°＝，
∵BC＝BF，∴＝k＝；
②当△ABF∽△FEB时，∠2＝∠6，∵∠4+∠6＝90°，∴∠2+∠4＝90°，
这与∠2+∠4+∠5＝90°相矛盾，∴△ABF∽△FEB不成立．
综上所述，k＝时，△ABF与△BFE相似．
【点评】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的概念，掌握有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键，注意分情况讨论思想的灵活运用．
13. 解：（1）根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，则sad60°＝＝1．故答案为：1．
（2）当∠A接近0°时，sadA接近0，当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．故答案为：0＜sadA＜2．
（3）在AB上取点D，使AD＝AC，过点D作DE⊥AC于E，连接CD，如图．
∵在Rt△ADE中，＝sin A＝，设AD＝AC＝5x，则DE＝3x，AE＝4x．
∴CE＝x．∴在Rt△CDE中，CD＝＝x．
∴sad A＝＝＝．
【点评】此题是一道新定义的题目，考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，要熟悉三角函数的定义，可进行类比解答．
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