人教版九年级上册数学 21.2.3 因式分解法课件（52张ppt）

21.2.3
因式分解法
教学目标：
1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．
2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．
重点：用因式分解法解一元二次方程．
难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．
温故而知新
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法？
2.什么叫分解因式？
把一个多项式分解成几个整式乘积
的形式叫做分解因式.
直接开平方法
配方法
x2=a (a≥0)
(x+m)2=n (n≥0)
公式法
复习与回顾1
分解因式的方法有哪些?
（1）提取公因式法:
（2）公式法:
（3）十字相乘法:
am+bm+cm=m(a+b+c).
a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
x2+(a+b)x+ab=
(x+a)(x+b).
回顾与复习
2
（4）分组分解法
（5）配方法
（6）添拆项法
x4-46x2+25
（7）待定系数法
2x2+xy-6y2-x+17y-12
(8)求根法
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够
分解,而右边等于零；
2.理论依据是:如果两个因式的积等于零
那么至少有一个因式等于零。
因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
一移-----方程的右边=0；
二分-----方程的左边因式分解；
三化-----方程化为两个一元一次方程；
四解-----写出方程两个解；
4.因式分解法
实际问题
根据物理学规律，如果把一个物体从地面 10 m/s 的速度竖直上抛，那么经过 x s 物体离地面的高度（单位：m）为
设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 ，即
根据这个规律求出物体经过多少秒落回地面？（精确到 0.01 s）
提示
10x-4.9x2
10x-4.9x2=0
配方法
公式法
因式分解
如果a·b=0，那么a=0或b=0。
两个因式乘积为 0，说明什么
或
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
这种解法是不是很简单？
探究
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法。
以上解方程 的方法是如何使二次方程降为一次的？
讨
论
①
②
讨论
以上解方程①的方法是如何使二次方程降为一次的?
可以发现,上述解法中,由①到②的过程,不是用开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫做因式分解法.
提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零；
2.关键是熟练掌握因式分解的知识；
3.理论依据是“ab=0,则a=0或b=0 ”。
例1. 解下列方程：
解：（1）因式分解，得
于是得
x－2＝0或x＋1=0,
x1=2，x2=－1.
(2)移项、合并同类项，得
因式分解，得 (2x＋1）(2x－1)=0.
于是得
2x＋1=0或2x－1=0,
(x－2)(x＋1)=0.
可以试用多种方法解本例中的两个方程 。
例2.解下列方程：
解： 因式分解，得：
（1） x2+x=0
x(x+1)=0.
得 x=0 或 x+1 =0，
x1=0 , x2=－1。
练习
例3.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为r
根据题意 (r +5 )2×π=2r2π.
因式分解，得





因式分解法： 适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程。






因式分解法： 适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程。
把1+2y看作一个整体 ，再用十字相乘法分解
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
1. 将方程左边因式分解，右边等于0;
2. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.
3. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
小结:
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解。这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法。
分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零。”
因式分解法解一元二次方程的步骤是:
(1)化方程为一般形式；
(2)将方程左边因式分解；
(3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程。
(4)两个一元一次方程的根就是原方程的根。
因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程。
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1. 方程右边化为______。
2. 将方程左边分解成两个___________的乘积。
3. 至少________因式为零，得到两个一元一次方程。
4. 两个___________________就是原方程的根。
零
一次因式
有一个
一元一次方程的解
AB = 0
（ A、B 表示两个因式）
则：A=0 或 B=0
课前练习
（2）(3x＋1)2－5 = 0
（1）2x2－4x ＋2 = 0
（1）2x2－4x ＋2 = 0
∴ x1 =
解：因式分解，得
2 (x－1)2
x－1 = 0
= 0
或
x2 = 1
x－1 = 0
分解因式的方法有那些？
（1）提取公因式法:
（2）公式法:
am+bm+cm=m(a+b+c).
a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
（2）(3x＋1)2－5 = 0
解：因式分解，得
解：设这个数为x,根据题意,得
∴x=0,或2x-7=0.
2x2=7x.
2x2-7x=0,
x(2x-7) =0,
先胜为快
一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
想一想
规律：
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单。
问：下面解方程的过程是否正确？
友情提示：方程的两边有相同的含有未知数的因式的时候，不能两边都除以这个因式，因为这样会把方程的一个根丢失了.
你学过一元二次方程的哪些解法？
说一说
因式分解法
开平方法
配方法
公式法
你能说出每一种解法的特点吗？
综合训练
方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如x2=a(a≥0)
1.开平方法
1.化1:把二次项系数化为1；
2.移项:把常数项移到方程的右边；
3.配方:方程两边同加一次项系数
一半的平方；
4.变形:化成
5.开平方，求解
2.“配方法”解方程的基本步骤
★一除、二移、三配、四化、五解.
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
3.公式法
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够
分解,而右边等于零；
2.理论依据是:如果两个因式的积等于零
那么至少有一个因式等于零.
因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
一移-----方程的右边=0；
二分-----方程的左边因式分解；
三化-----方程化为两个一元一次方程；
四解-----写出方程两个解。
4.因式分解法
请用四种方法解下列方程:
4(x＋1)2 = (2x－5)2
比一比
结论
先后顺序为：①开平方法；
②因式分解法；
③公式法
④配方法。
总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。

① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0 ④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0 ⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法 ；
适合运用因式分解法 ；
适合运用公式法 ；
适合运用配方法 .

一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；
若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数（2n）时，用配方法也较简单。
我的发现
用最好的方法求解下列方程
1)（3x-2）2-49=0
2)（3x-4）2=（4x-3）2
3) 4y =1－ y2
选择适当的方法解下列方程:
谁最快
用适当方法解下列方程
① -5x2-7x+6=0（十字相乘法）
② 2x2+7x-4=0（十字相乘法）
③ 4(t+2 )2=3（直接开平方法）
④ x2+2x-9999=0（配方法）
3t(t+2)=2(t+2)（因式分解法）
⑤
按括号中的要求解下列一元二次方程：
（1）4(1+x)2=9（直接开平方法）；
（2）x2+4x+2=0（配方法）；
（3）3x2+2x-1=0（公式法）；
（4）(2x+1)2= -3(2x+1) （因式分解法）
练习：用最好的方法求解下列方程
1、（3x -2）?-49=0 2、（3x -4）?=（4x -3）?
3、4y = 1 - y?
解： （3x-2）?=49
3x -2=±7
x=
x1=3，x2=
解：
法一3x-4=±（4x-3）
?3x -4=4x-3或3x-4=-4x+3
?-x=1或 7x=7
? x1 = -1， x2 =1
法二（3x-4）? -（4x-3）? =0（3x-4+4x-3）（3x-4x+3）=0
（7x-7）（-x-1）=0
7x-7=0或-x-1=0
? x1 = -1， x2 =1
解：3y?+8y -2=0
b? - 4ac
=64 -4?3?（-2）
=88
x=

练习：选用适当方法解一元二次方程：
（1）(x-1)(x+3)=12（十字相乘法）
（2） (x-3)2 =4x（十字相乘法）
（3）(2y+1)2+2(2y+1)+1=0（因式分解法）
（4）(x-1)2=9(x+2)2 （直接开平方法）
解一元二次方程的方法
联系
方法的区别
适用范围
配方法
公式法
因式分解法
将二次方程化为一元方程
降次
先配方，再降次
直接利用求根公式
先使方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0
所有一元二次方程
所有一元二次方程
某些
知识要点
5.换元法
为了解一些特殊结构的一元二次方程，达到化繁为简的目的，而设一个较简单的“元”代替较繁的式子的方法，叫换元法。
例1.解下列方程：
（1）（x2+x-2）(x2+x-3)=2
解：令x2+x-2=t,则x2+x-3=t-1,则原方程可化为：t(t-1)=2
∴t2-t-2=0
∴（t-2）(t+1)=0
∴t1=2,t2=-1
∴x2+x-2=2 或 x2+x-2=-1
∴x2+x-4=0 或 x2+x-1=0
∴2x2-x-1=0 或 x2+x+1=0
等腰三角形边长分别为a,b,2，且a,b是关于x的方程,x2-6x+n-1=0的两根，求n的值。【宝典A P9页第21题】
【提示】依题意，可知：①a=b；②a≠b，a或b=2。进行分类讨论后，再查看是否满足三角形的三边关系。
【答案】①当n=10时，a=b=3,等腰三角形三边长为3,3,2。②当n=9时，方程的解为a=2,b=4,三角形三边长为2,2,4，它们不能构成三角形，所以n=9(舍去)。
∴ n=10
一般地,要在实数范围内分解二次三项式ax2+bx+c(a≠o),只要用公式法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠o)的两个根x1,x2,然后直接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以了。
即：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
6.二次三项式ax2+bx+c的因式分解
(3)2x2+8x-1
已知a-b=8,ab+c2+16=0,则a+b+c=
解方程：（x-2015）（x-2016）=2017×2018
0
分解因式：
x2+5x-1
2、直接开平方和因式分解法经常用到“整体思想”
1、解一元二次方程时，如果方程能直接开平方，
就采用①直接开平方, 其次考虑②因式分解，因为这种方法最快捷；再次考虑③求根公式法，这种方法是万能的，能求所有的一元二次方程，尤其当二次项系数不是1时（当然大前提是有解）。最后考虑用④配方法，因为它较复杂，但这种方法常用于证明一个式子大于零或恒小于零（当一次项的系数为偶数时，用配方法往往比较简便）。
课堂小结