第6章 图形的相似 综合测试卷（含解析）

苏科版九年级数学下册第6章图形的相似
综合测试卷
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列四组图形中,不是相似图形的是 (　　)
　　　　　　　　　A　　　　　B　　　　　　　　　C　　　　　　　D
2.如果2x=3y(x,y均不为0),那么下列各式中正确的是 (　　)
A.xy=23 B.xx-y=3 C.x+yy=53 D.xx+y=25
3.如图,已知点D,F在△ABC的边AB上,点E在边AC上,且DE∥BC,要使得EF∥CD,还需添加一个条件,这个条件可以是 (　　)
A.EFCD=ADAB B.AEAC=ADAB C.AFAD=ADAB D.AFAD=ADDB
4.已知线段x,a=4,b=9,x是a,b的比例中项,则x等于 (　　)
A.36 B.6 C.-6 D.6或-6
5.如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分,则BDAD的值为 (　　)
A.1 B.22 C.2-1 D.2+1
6.如图,在4×4的正方形网格中,小正方形的边长均为1,△ABC的顶点都在格点上,则下列三角形与△ABC相似的是 (　　)
　　　　　　A　　　　　　　　B　　　　　　　　C　　　　　　　　D
7.如图,在△ABC中,AB=AC=1,∠A=36°,BD平分∠ABC,则BC的长为 (　　)
A.12 B.5-12 C.1+52 D.-1+52

第7题图　　　 第8题图　　　
8.如图,正方形OABC和正方形DEFG是位似图形,点B的坐标为(-1,1),点F的坐标为(4,2),且位似中心在这两个图形的同侧,则位似中心的坐标为 (　　)
A.(-4,0) B.(4,0) C.(0,4) D.(0,-4)
9.如图,AB是半圆O的直径,D,E是半圆上任意两点,连接AD,DE,AE与BD相交于点C,要使△ADC与△ABD相似,可以添加一个条件.下列添加的条件中错误的是 (　　)
A.∠ACD=∠DAB B.AD=DE C.AD2=BD·CD D.AD·AB=AC·BD
10.如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,将纸片折叠,折痕的一个端点F在边AD上,另一个端点G在边BC上.若顶点B的对应点E落在长方形内部,点E到AD的距离为1,BG=5,则AF的长为 (　　)
A.114 B.311 C.113 D.411
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.在比例尺为1∶38000的扬州旅游地图上,某条道路的长为6cm,则这条道路的实际长度为　　　　km.?
12.如图是测量河宽的示意图,AE与BC相交于点D,∠B=∠C=90°,测得BD=120m,DC=60m,EC=50m,则河宽
AB=　　　　m.?

第12题图　　　　　　 第13题图　　　　　　
13.如图,已知点C是线段AB的黄金分割点,且BC>AC.若S1表示以BC为边的正方形的面积,S2表示长为AB、宽为AC的矩形的面积,则S1与S2的大小关系为　　　　.?
14.如图,点G是△ABC的重心,AG的延长线交BC于点D,GE∥AB交BC于点E,GF∥AC交BC于点F.若△GEF的周长是2,则△ABC的周长为　　　　.?
15.如图,在斜坡顶部有一铁塔(AB),B是CD的中点,CD是水平的.在阳光的照射下,塔影DE留在斜坡面上.在同一时刻,小明站在点E处,其影子EF在直线DE上,小华站在点G处,影子GH在直线CD上,小明和小华的影子长分别为2m和1m.已知CD=12m,DE=18m,小明和小华的身高均为1.6m,那么塔高AB为　　　　　.?
第15题图　　　第16题图　　　　
16.如图,在正方形网格中,点A,B,C,D都在格点上,点E是AC上的一点,已知AD=1,若以点A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则AE的长度为　　　　.?
17.如图,点A,B分别在反比例函数y=1x(x>0),y=kx(x>0)的图像上,且∠AOB=90°,∠B=30°,则k的值为　　　　.?
18.如图,已知矩形ABCD,AB=2,BC=6,点E从点D出发,沿DA方向以每秒1个单位长度的速度向点A运动,点F从点B出发,沿射线AB以每秒3个单位长度的速度运动,当点E运动到点A时,E,F两点停止运动.连接BD,过点E作EH⊥BD,垂足为H,连接EF,交BD于点G,交BC于点M,连接CF,EC.给出下列结论:①△CDE∽△CBF;②∠DBC=∠EFC;③DEAB=HGEH;④GH的值为定值105.上述结论中正确的是　　　　.?
三、解答题(共76分)
19.(8分)在如图所示的方格中,△O1A1B1与△OAB是以点P为位似中心的位似图形.
(1)在图中标出位似中心P的位置,并写出点P的坐标及△O1A1B1与△OAB的相似比;
(2)以原点O为位似中心,在y轴的右侧画出△OAB的另一个位似三角形OA2B2,使它与△OAB的相似比为2∶1,并写出点B的对应点B2的坐标.
20.(9分)如图,在△ABC中,AB=2,BC=4,D为BC边上一点,BD=1.
(1)求证:△ABD∽△CBA;
(2)若DE∥AB交AC于点E,请再写出另一个与△ABD相似的三角形,并写出DE的长.
21.(10分)如图,在?ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE=12CD.
(1)求证:△ABF∽△CEB;
(2)若△DEF的面积为2,求四边形BCDF的面积.
22.(10分)某兴趣小组开展课外活动,A,B两地相距12m,小明从点A出发沿AB方向匀速前进,2s后到达点D,此时他(CD)在某一灯光下的影长为AD,继续按原速行走2s到达点F,此时他(EF)在同一灯光下的影子仍落在其身后,并测得这个影长为1.2m,然后他将速度提高到原来的1.5倍,再行走2s到达点H,此时他(GH)在同一灯光下的影长为BH(点C,E,G在一条直线上).
(1)请在图中画出光源O点的位置,并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM(不写画法);
(2)求小明原来的速度.
23.(12分)如图,点B,D,E在一条直线上,BE与AC相交于点F,ABAD=BCDE=ACAE.
(1)求证:∠BAD=∠CAE;
(2)若∠BAD=21°,求∠EBC的度数;
(3)连接EC,求证:△ABD∽△ACE.
24.(12分)如图,AC,BD是以AB为直径的半圆的两条切线,AD与半圆交于点E,连接CE,过点E作EF⊥CE,交AB于点F.
(1)若AE的度数为140°,求∠D的度数;
(2)求证:△ACE∽△BFE.
25.(15分)如图,已知抛物线经过原点O,顶点为A(1,1),且与直线y=x-2交于B,C两点.
(1)求抛物线的函数表达式及点C的坐标;
(2)求证:△ABC是直角三角形;
(3)若点N为x轴上的一个动点,过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M,则是否存在以O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案与解析
1.D
2.B
3.C　【解析】　∵DE∥BC,∴AEAC=ADAB,∴当AFAD=ADAB时,AEAC=AFAD.∵∠A=∠A,∴△AEF∽△ACD,∴∠AEF=∠ACD,∴EF∥CD,故C选项符合题意;而A,B,D选项不能得出EF∥CD.故选C.
4.B　【解析】　∵a=4,b=9,线段x是a,b的比例中项,∴ax=xb,∴x2=ab=4×9=36,∴x=6或x=-6(舍去).故选B.
5.C　【解析】　∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∴△ADE∽△ABC,∴S△ADES△ABC=(ADAB)2.∵S△ADE=S四边形BCED,∴ADAB=22,∴BDAD=AB-ADAD=2-1.故选C.
6.B　【解析】　根据勾股定理,得AB=22+22=22,BC=12+12=2,AC=12+32=10,所以△ABC的三边之比为2∶22∶10=1∶2∶5,A项中的三角形的三边长分别为2,12+32=10,32+32=32,三边之比为2∶10∶32=2∶5∶3,故A选项不符合题意;B项中的三角形的三边长分别为2,4,22+42=25,三边之比为2∶4∶25=1∶2∶5,故B选项符合题意;C项中的三角形的三边长分别为2,3,22+32=13,三边之比为2∶3∶13,故C选项不符合题意;D项中的三角形的三边长分别为12+22=5,22+32=13,4,三边之比为5∶13∶4,故D选项不符合题意.故选B.
7.B　【解析】　∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=12×(180°-36°)=72°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=12×72°=36°,∴∠A=∠ABD,∴AD=BD,而∠BDC=∠A+∠ABD=72°,∴∠BDC=∠C,∴BD=BC,∴AD=BD=BC.∵∠A=∠CBD,∠ACB=∠BCD,∴△ACB∽△BCD,∴BCCD=ACBC.设BC=x,则x1-x=1x,整理得x2+x-1=0,解得x1=-1+52,x2=-1-52(舍去).故选B.
8.A　【解析】　如图,连接BG并延长交x轴于点M,点M即位似中心.∵点B的坐标为(-1,1),点F的坐标为(4,2),∴AB=1,GD=EF=DE=2,AD=1+2=3.∵正方形OABC和正方形DEFG是位似图形,∴AB∥GD,∴MAMD=ABDG,∴MAMA+3=12,∴MA=3,∴OM=MA+OA=4,∴M(-4,0).故选A.
9.D　【解析】　因为∠ADC=∠BDA,∠ACD=∠DAB,所以△DAC∽△DBA,所以A选项添加的条件正确;由AD=DE得∠DAC=∠E,由同弧所对的圆周角相等,得∠B=∠E,所以∠DAC=∠B,且∠ADC=∠BDA,所以△DAC∽△DBA,所以B选项添加的条件正确;由AD2=DB·CD,得ADDB=DCDA,且∠ADC=∠BDA,所以△DAC∽△DBA,所以C选项添加的条件正确;由AD·AB=AC·BD,得ADBD=ACAB,但无法确定∠ABD=∠DAC,即不能确定点D为弧AE的中点,所以不能判定△DAC∽△DBA,所以D选项添加的条件错误.故选D.
10.C　【解析】　如图,设EH与AD相交于点K,过点E作MN∥CD,分别交AD,BC于点M,N.∵点E到AD的距离为1,∴EM=1,EN=4-1=3.在Rt△ENG中,GN=EG2-EN2=52-32=4,∵∠GEN+∠KEM=180°-∠GEH=180°-90°=90°,∠GEN+∠NGE=180°-90°=90°,∴∠NGE=∠KEM,又∵∠ENG=∠KME=90°,∴△GEN∽△EKM,∴EKEG=KMEN=EMGN,即 EK5=KM3=14,∴EK=54,KM=34,∴KH=EH-EK=4-54=114,∵∠FKH=∠EKM,∠H=∠EMK=90°,∴△FKH∽△EKM,∴FHEM=KHKM,即 FH1=11434,解得FH=113,∴AF=FH=113.故选C.
11.2.28　【解析】　根据题意,得6×38000=228000(cm),228000cm=2.28km.
12.100　【解析】　∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°,∴△ABD∽△ECD,∴ABEC=BDCD,即AB50=12060,∴AB=100m.
13.S1=S2　【解析】　∵C是线段AB的黄金分割点,且BC>AC,∴BC2=AC·AB,∵S1表示以BC为边的正方形的面积,S2表示长为AB、宽为AC的矩形的面积,∴S1=BC2,S2=AC·AB,∴S1=S2.
14.6　【解析】　∵点G是△ABC的重心,∴AGGD=2,∴GDDA=13,∵GE∥AB,∴△DGE∽△DAB,∴GEAB=DEDB=DGDA=13,∴AB=3GE,DB=3DE,同理可得AC=3GF,DC=3DF,∴△ABC的周长为AB+AC+BC=3GE+3GF+3EF=3(GE+GF+EF)=3×2=6.
15.24m　【解析】　如图,过点D作MD⊥CD,交AE于点M,过点M作MN⊥AB,垂足为N,∴MN=BD=12CD=6m.由题意得DMDE=1.62,∴DM=14.4m,易知△ANM∽△QGH,∴ANMN=1.61,∴AN=9.6m.∴AB=14.4+9.6=24(m).
16.22或24　【解析】　∵AD=1,∴AB=3,AC=62+62=62.∵∠A=∠A,∴若△ADE∽△ABC,则ADAB=AEAC,即13=AE62,解得AE=22;若△ADE∽△ACB,则ADAC=AEAB,即162=AE3,解得AE=24.故当AE=22或24时,以点A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似.
17.-3　【解析】　如图,分别过A,B两点作y轴的垂线,交y轴于C,D两点,可得∠ACO=∠BDO=90°,∴∠AOC+∠OAC=90°,∵OA⊥OB,∴∠AOC+∠BOD=90°,∴∠OAC=∠BOD,∴△AOC∽△OBD.∵点A,B分别在反比例函数y=1x(x>0),y=kx(x>0)的图像上,∴S△AOC=12,S△OBD=|k2|,∴S△AOC∶S△OBD=1∶|k|,∴(OAOB)2=1∶|k|.在Rt△AOB中,∠B=30°,∴OAOB=33,∴1∶|k|=1∶3,∴|k|=3.∵y=kx(x>0)的图像在第四象限,∴k=-3.
18.①②④　【解析】　如图,过点C作CN⊥BD于点N,连接AC.设运动时间为t秒,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AB=DC,∠CDA=∠DCB=∠DAB=∠ABC=90°,∵DCBC=26=13,DEBF=t3t=13,∴DCBC=DEBF,又∵∠CDE=∠FBC=90°,∴△CDE∽△CBF,故①正确.∵△CDE∽△CBF,∴∠DCE=∠BCF,∵∠DCE+∠BCE=90°,∴∠BCE+∠BCF=90°,∴∠ECF=90°.∵△CDE∽△CBF,∴ECCF=DCBC,∴ECDC=CFBC,∵∠DCB=∠ECF,∴△DCB∽△ECF,∴∠DBC=∠EFC,故②正确.∵△DCB∽△ECF,∴∠CDB=∠CEF,∵∠CDB+∠DCN=90°,∠DCN+∠NCB=90°,∴∠CDB=∠NCB=∠CEF.∵CN⊥BD,EH⊥DB,∴CN∥EH,∴∠NCE=∠CEH,∴∠ECB=∠HEG.∵AD∥BC,∴∠DEC=∠ECB,∴∠DEC=∠HEG,∵∠EDC=∠EHG=90°,∴△EDC∽△EHG,∴EDEH=DCHG,∵AB=DC,∴EDEH=ABHG,故③错误.∵AD=BC=6,AB=2,∴BD=AD2+AB2=210,∵∠EDH=∠ADB,∠EHD=∠DAB,∴△DEH∽△DBA,∴EDBD=EHBA,∴t210=EH2,∴EH=1010t.∵EDEH=DCHG,∴t1010t=2HG,∴HG=105,故④正确.综上所述,①②④正确.
19.【解析】　(1)如图,点P为所求,点P的坐标为(-5,-1),
PA1∶PA=6∶3=2∶1,所以△O1A1B1与△OAB的相似比为2∶1.
(2)如图,△OA2B2为所求,点B2的坐标为(2,6).
20.【解析】　(1)∵AB=2,BC=4,BD=1,∴ABCB=BDBA=12,
又∵∠ABD=∠CBA,∴△ABD∽△CBA.
(2)∵DE∥AB,∴△CDE∽△CBA.
∴△ABD∽△CDE,CDCB=DEAB,∴DE=32.
21.【解析】　(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,AB∥CD,
∴∠ABF=∠CEB,∴△ABF∽△CEB.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴△DEF∽△CEB.
∵DE=12CD,∴DE=13CE,∴S△DEFS△CEB=(DECE)2=19,
∵S△DEF=2,∴S△CEB=18,
∴S四边形BCDF=S△CEB-S△DEF=16.
22.【解析】　(1)如图所示.
(2)设小明原来的速度为xm/s,则CE=2xm,
AM=AF-MF=(4x-1.2)m,EG=2×1.5x=3x(m),
BM=AB-AM=12-(4x-1.2)=(13.2-4x)(m).
∵点C,E,G在一条直线上,∴CG∥AB,
∴△OCE∽△OAM,△OEG∽△OMB,
∴CEAM=OEOM,EGBM=OEOM,
∴CEAM=EGBM,即2x4x-1.2=3x13.2-4x,
∴x=1.5,
∴小明原来的速度为1.5m/s.
23.【解析】　(1)∵ABAD=BCDE=ACAE,∴△ABC∽△ADE,
∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAF=∠DAE-∠DAF,
∴∠BAD=∠CAE.
(2)∵△ABC∽△ADE,∴∠ABC=∠ADE.
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD,
∴∠EBC=∠BAD=21°.
(3)由(1)得∠BAD=∠CAE,
又∵ABAD=ACAE,∴△ABD∽△ACE.
24.【解析】　(1)∵AE的度数为140°,AB为直径,
∴BE的度数为40°,∴∠BAD=20°.
∵BD为半圆的切线,
∴∠ABD=90°,∴∠D=70°,
(2)∵AB为半圆的直径,
∴∠AEB=90°,∴∠AEF+∠BEF=90°,∠ABE+∠BAE=90°.
∵EF⊥CE,
∴∠CEF=90°,∴∠AEF+∠AEC=90°,∴∠AEC=∠BEF.
∵AC为半圆的切线,
∴∠CAB=90°,∴∠CAE+∠BAE=90°.
∴∠CAE=∠ABE,∴△ACE∽△BFE.
25.【解析】　(1)∵顶点A的坐标为(1,1),
∴设抛物线的函数表达式为y=a(x-1)2+1,
又∵抛物线过原点,
∴0=a(0-1)2+1,解得a=-1,
∴抛物线的函数表达式为y=-(x-1)2+1,
即y=-x2+2x,
联立抛物线和直线的函数表达式可得
y=-x2+2x,y=x-2,解得x=2,y=0或x=-1,y=-3,
∴B(2,0),C(-1,-3).
(2)如图,分别过A,C两点作x轴的垂线,交x轴于D,E两点,
则AD=OD=BD=1,BE=OB+OE=2+1=3,EC=3,
∴∠ABO=∠CBO=45°,即∠ABC=90°,
∴△ABC是直角三角形.
(3)存在.点N的坐标为(53,0)或(73,0)或(-1,0)或(5,0).
假设存在满足条件的点N,设N(x,0),则M(x,-x2+2x),
∴ON=|x|,MN=|-x2+2x|.
在Rt△ABD和Rt△CEB中,易得AB=2,BC=32,
∵MN⊥x轴于点N,
∴∠ABC=∠MNO=90°,
∴当△ABC和△MNO相似时,有MNAB=ONBC或MNBC=ONAB.
①当MNAB=ONBC时,则有|-x2+2x|2=|x|32,即|x|·|-x+2|=13|x|,
∵当x=0时,M,O,N不能构成三角形,
∴x≠0,
∴|-x+2|=13,即-x+2=±13,解得x=53或x=73,
此时点N的坐标为(53,0)或(73,0);
②当MNBC=ONAB时,则有|-x2+2x|32=|x|2,即|x||-x+2|=3|x|,
∴|-x+2|=3,即-x+2=±3,解得x=5或x=-1,
此时点N的坐标为(-1,0)或(5,0).
综上可知,存在满足条件的点N,其坐标为(53,0)或(73,0)或(-1,0)或(5,0).
　　本题考查待定系数法求函数表达式、二次函数的图像、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等.在(1)中注意顶点式的运用,在(3)中利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键,注意相似三角形点的对应.本题考查的知识点较多,综合性较强,难度适中.