第7章 锐角函数 综合测试卷（含解析）

苏科版九年级数学下册第7章锐角函数综合测试卷
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.sin30°的相反数是 (　　)
A.33 B.-12 C.-32 D.-22
2.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,AC=1,则cosA的值是 (　　)
A.12 B.32 C.33 D.3
3.斜靠在墙上的梯子(长度不变)与地面所成的锐角为∠A,下列叙述正确的是 (　　)
A.cosA的值越大,梯子越陡 B.sinA的值越大,梯子越陡
C.tanA的值越小,梯子越陡 D.陡缓程度与∠A的函数值无关
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BCAC=12,则下列结论中正确的是 (　　)
A.sinA=12 B.sinB=55
C.cosA=55 D.tanB=2
5.在△ABC中,∠A,∠B满足|1-tanA|+(2-2cosB)2=0,则该三角形为 (　　)
A.锐角三角形 B.等边三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
6.如图,在坡度为1∶2的山坡上种树,如果相邻两树之间的水平距离是4米,那么斜坡上相邻两树的坡面距离是 (　　)
A.45 米 B.25 米 C.4 米 D.23 米
7.如图,已知方格中每个小正方形的边长为1,且△ABC的三个顶点均在格点上,则cosA的值为 (　　)
A.33 B.55 C.233 D.255
8.如图,以点O为圆心的两个圆中,大圆的弦AB切小圆于点C,OA交小圆于点D.若OD=2,tan∠OAB=12,则AB的长是 (　　)
A.4 B.23 C.8 D.43
9.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=12,点E是BC的中点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点F处,连接FC,则sin∠ECF= (　　)
A.34 B.43 C.35 D.45
第9题图　　　　　　第10题图
10.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,以点B为圆心、BC为半径所画的弧交AD于点E,连接CE,作BF⊥CE,垂足为点F,则tan∠FBC的值为 (　　)
A.12 B.25 C.310 D.13
二、填空题(每小题3题,共24分)
11.在Rt△ABC中,cosA=12,那么sinA的值是　　　　. ?
12.已知α为锐角,且sin(α-10°)=32,则α等于　　　　.?
13.已知Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=22,AB=6,则BC的长为　　　　.?
14.如图,在△ABC中,∠C=90°.若sinA=32,AC=2,则该三角形的中线BD的长为　　　　.?
15.在等腰三角形ABC中,AB=AC.如果cosC=14,那么tanA=　　　　.?
16.如图,直线AB经过点P(1,2),且与x轴相交于点A,与y轴相交于点B.若sin∠BAO=55,则点B的坐标为　　　　.?
17.在△ABC中,AB=2,AC=3,cos∠ACB=223,则∠ABC的度数为　　　　.?
18.如图,要在宽AB为20米的某大道两边安装路灯,路灯的灯臂CD与灯柱BC之间的夹角为120°,灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直,当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线(即O为AB的中点)时路灯的照明效果最佳.若CD=3 米,为使路灯的照明效果最佳,灯柱BC的高度应设计为　　　　米.(计算结果保留根号)?
三、解答题(共76分)
19.(8分)计算:(1)23tan30°+(3sin60°)-2-2cos45°;
(2)sin245°+cos245°+tan60°tan30°+2019tan45°2cos60°.
20.(9分)如图,在平面直角坐标系xOy内,O为原点,点A的坐标为(10,0),点B在第一象限内,BO=5,sin∠BOA=35.
(1)求点B的坐标;
(2)求tan∠BAO的值.
21.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为边BC上的一点,AB=5,BD=1,tanB=34.
(1)求AD的长;
(2)求sinα的值.
22.(10分)如图,在A处的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻,到达C处时接到命令,立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B.求A,B间的距离.(3≈1.73,2≈1.41,结果保留一位小数)
23.(12分)如图,已知AB是☉O的直径,C是☉O上的点,且OE⊥AC于点E,过点C作☉O的切线,交OE的延长线于点D,交AB的延长线于点F,连接AD.
(1)求证:AD是☉O的切线;
(2)若tanF=12,☉O的半径为1,求线段AD的长.
24.(12分)如图,斜坡AP的坡度为1∶2.4,坡长AP为26米,在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC,在斜坡底部的P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°,在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°.求:
(1)坡顶A到地面PQ的距离;
(2)古塔BC的高度(结果精确到1米).(参考数据:sin76°≈0.97,cos76°≈0.24,tan76°≈4.01)
25.(15分)如图,在正方形ABCD中,点G在边BC上(不与点B,C重合),连接AG,过点D作DE⊥AG于点E,过点B作BF⊥AG于点F,设BGBC=k.
(1)求证:AE=BF;
(2)连接BE,DF,设∠EDF=α,∠EBF=β,求证:tanα=ktanβ;
(3)设线段AG与对角线BD交于点H,△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2,求S2S1的最大值.
参考答案与解析
1.B　【解析】　∵sin30°=12,∴它的相反数为-12.故选B.
2.A
3.B　【解析】　易知在锐角范围内,正弦值、正切值随着锐角的增大而增大,余弦值随着锐角的增大而减小,所以sinA的值越大,梯子越陡.故选B.
4.D　【解析】　已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BCAC=12,设 BC=x,则AC=2x,所以AB=5x.sinA=BCAB=x5x=55,故A选项错误;sinB=ACAB=2x5x=255,故B选项错误;cosA=ACAB=2x5x=255,故C选项错误;tanB=ACBC=2,故D选项正确.故选D.
5.C　【解析】　在△ABC中,∵∠A,∠B满足|1-tanA|+(2-2cosB)2=0,∴1-tanA=0且2-2cosB=0,∴tanA=1,cosB=22,∴∠A=∠B=45°,∴∠C=90°,∴△ABC是等腰直角三角形.故选C.
6.B　【解析】　如图,在Rt△ABC中,BCAC=12,∵AC=4米,∴BC=2米,由勾股定理,得AB=BC2+AC2=25 米.故选B.
7.D　【解析】　如图,过点B作AC边上的高BD,垂足为D,且方格中每个小正方形的长均为1,∴由勾股定理,得AC=32+32=32,AB=32+12=10.由等面积法可得S△ABC=12×2×3=12×32·BD,解得BD=2.在Rt△ABD中,由勾股定理,得AD=AB2-BD2=22,所以cosA=ADAB=2210=255.故选D.
8.C　【解析】　如图,连接OC.∵AB是小圆的切线,∴OC⊥AB,∴∠ACO=90°,AB=2AC.在Rt△AOC中,∵tan∠OAC=12=OCAC,OD=OC=2,∴AC=2OC=4.∴AB=2AC=8. 故选C.
9.D　【解析】　∵点E是BC的中点,BC=12,∴BE=6.∵四边形ABCD为矩形,AB=8,∴∠B=90°,∴AE=AB2+BE2=10.由翻折的性质,得∠AEB=∠AEF,BE=EF=CE,∴∠EFC=∠ECF.∵∠BEA+∠FEA=∠ECF+∠EFC,∴∠AEB=∠ECF.∴sin∠ECF=sin∠AEB=ABAE=45.故选D.
10.D　【解析】　连接BE,已知以点B为圆心、BC为半径所画的弧交AD于点E,得BE=BC=5,∵AB=DC=3,BC=AD=5,∴AE=BE2-AB2=52-32=4,∴DE=AD-AE=5-4=1,∴CE=CD2+DE2=32+12=10.∵BC=BE,BF⊥CE,∴点F是CE的中点,∴CF=12CE=102,∴BF=BC2-CF2=52-(102)2=3102,∴tan∠FBC=CFBF=1023102=13,故选D.
11.32
12.70°　【解析】　∵α为锐角,sin(α-10°)=32,∴α-10°=60°,∴α=70°.
13.2　【解析】　由题意,得tanA=22=BCAC,∴AC=2BC.∵AB=6,AB2=AC2+BC2,∴BC2+(2BC)2=(6)2,∴BC=2.
14.13　【解析】　在△ABC中,∵∠C=90°,sinA=32,∴∠A=60°,∠ABC=30°.又∵AC=2,∴AB=2AC=4,BC=42-22=23.∵D为AC的中点,且AC=2,∴CD=1.∴BD=BC2+CD2=13.
15.157　【解析】　如图,在等腰三角形ABC中,过点A作AE⊥BC于点E,过点B作BD⊥AC于点D.∵cosC=14,∴CDBC=14,CEAC=14.设CD=x,BC=4x,已知AB=AC,∴AE是边BC的垂直平分线,∴CE=2x,∴AC=AB=8x,∴AD=AC-CD=7x.在Rt△ABD中,由勾股定理可知BD=15x,∴tan∠BAC=BDAD=157.
16.(0,52)　【解析】　如图,过点P作PC⊥OA于点C.∵点P(1,2),sin∠BAO=55,∴PC=2,PCAP=55,OC=1,∴AP=25,∴AC=AP2-PC2=(25)2-22=4,∴OA=OC+AC=1+4=5,∴OBOA=PCAC=12,解得OB=52,∴点B的坐标为(0,52).
17.30°或150°　【解析】　如图,过点A作AD⊥BC于点D,在Rt△ACD中,∵AC=3,cos∠ACD=223,∴CD=ACcos∠ACD=3×223=22,由勾股定理得,AD=32-(22)2=1.当点B在AD左侧时,∵AB=2,AD=1,∴∠ABC=30°;当点B在AD右侧时,则∠AB'D=30°,∴∠AB'C=150°.综上,∠ABC的大小为30°或150°.
18.83　【解析】　如图,延长OD,BC交于点P.∵∠ODC=∠B=90°,∠BCD=120°,∴∠P=30°.又∵OB=10米,CD=3 米,∴在Rt△CPD中,DP=DC·tan60°=3米,PC=CDsin30°=23米.∵∠P=∠P,∠PDC=∠B=90°,∴△PDC∽△PBO,∴PDPB=CDOB,∴PB=PD·OBCD=3×103=103(米),∴BC=PB-PC=103-23=83(米).
19.【解析】　(1)23tan30°+(3sin60°)-2-2cos45°
=23×33+(3×32)-2-2×22
=2+49-1
=139.
(2)sin245°+cos245°+tan60°tan30°+2019tan45°2cos60°
=(22)2+(22)2+3×33+2019×12×12
=12+12+1+2019
=2021.
20.【解析】　(1)如图,过点B作BH⊥OA于点H.
∵OB=5,sin∠BOA=35,
∴BH=3,OH=4,
∴点B的坐标为(4,3).
(2)∵OA=10,
∴AH=OA-OH=10-4=6.
在Rt△AHB中,
tan∠BAH=BHAH=36=12.
21.【解析】　(1)在Rt△ABC中,已知∠C=90°,tanB=ACBC=34,可设AC=3x,则BC=4x,
∵AC2+BC2=AB2,∴(3x)2+(4x)2=52,
解得x=-1(舍去)或x=1,
∴AC=3,BC=4.
∵BD=1,∴CD=3,
∴AD=CD2+AC2=32.
(2)如图,过点D作DE⊥AB于点E.已知tanB=34,可设DE=3y,则BE=4y,
∵DE2+BE2=BD2,
∴(3y)2+(4y)2=12,
解得y=-15(舍)或y=15,
∴DE=35,∴sinα=DEAD=210.
22.【解析】　如图,过点C作CD⊥AB,垂足为点D,则∠ACD=60°,∠BCD=45°.
在Rt△BCD中,sin∠BCD=BDBC,cos∠BCD=CDBC,BC=60海里,∠BCD=45°,
∴BD=BC·sin∠BCD=60×22≈42.3(海里),
CD=BC·cos∠BCD=60×22≈42.3(海里).
在Rt△ACD中,tan∠ACD=ADCD,
∴AD=CD·tan∠ACD≈42.3×3≈73.2(海里).
∴AB=AD+BD≈73.2+42.3=115.5(海里).
∴A,B间的距离约为115.5海里.
23.【解析】　(1)连接OC.
∵OC=OA,OE⊥AC,
∴AE=CE,
∴DC=DA,
在△OCD与△OAD中,CD=AD,OC=OA,OD=OD,
∴△OCD≌△OAD,
∴∠OCD=∠OAD,
∵FD切☉O于点C,
∴∠OCD=90°,
∴∠OAD=90°,
∴AD是☉O的切线.
(2)设AD=x,
∵在Rt△OCF中,tanF=OCFC=12,OC=1,
∴FC=2.
在Rt△ADF中,同理可得,AF=2x,∴FO=2x-1,
在Rt△OCF中,FO2=FC2+CO2,
∴(2x-1)2=5,解得x1=5+12,x2=-5+12(舍去),
∴AD=5+12.
24.【解析】　(1)过点A作AH⊥PQ,垂足为点H.
∵斜坡AP的坡度为1∶2.4,∴AHPH=512.
设AH=5km,则PH=12km,
由勾股定理,得AP=13km.
∴13k=26,解得k=2.
∴AH=10m.
答:坡顶A到地面PQ的距离为10m.
(2)延长BC交PQ于点D.
∵BC⊥AC于点C,AC∥PQ,
∴BD⊥PQ,
∴四边形AHDC是矩形,CD=AH=10m,AC=DH.
∵∠BPD=45°,∴PD=BD.
设BC=xm,则x+10=24+DH,∴AC=DH=(x-14)m.
在Rt△ABC中,tan76°=BCAC,即xx-14≈4.01,
解得x≈19.
答:古塔BC的高度约为19米.
25.【解析】　(1)因为四边形ABCD是正方形,
所以AD=AB,∠BAD=90°,
所以∠BAG+∠DAG=90°,
因为DE⊥AG,BF⊥AG,
所以∠AED=∠BFA=90°,
所以∠ADE+∠DAG=90°,
所以∠BAG=∠ADE,
在△BAF和△ADE中,∠BAF=∠ADE,∠AFB=∠DEA,AB=DA,
所以△ADE≌△BAF(AAS),
所以AE=BF.
(2)易知Rt△BFG∽Rt△DEA,所以BFDE=BGDA.
在Rt△DEF和Rt△BEF中,tanα=EFDE,tanβ=EFBF.
所以ktanβ=BGBC·EFBF=BGAD·EFBF=BFDE·EFBF=EFDE=tanα,
所以tanα=ktanβ.
(3)设正方形ABCD的边长为1,则BG=k,
所以△ABG的面积等于12k,△ABD的面积为12.
因为AD∥BC,所以△AHD∽△GHB,
所以BHHD=BGAD=k,所以S1=12(k+1),
所以S2=1-12k-12(k+1)=-k2+k+12(k+1),
所以S2S1=-k2+k+1=-(k-12)2+54≤54,
因为0S2S1有最大值,最大值为54.