2020年秋人教版八年级数学上册随课练——12.3 角的平分线的性质拓展练习（Word版 含答案）

12.3
角的平分线的性质拓展练习
一、选择题
1．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于m，点Q是OB边上的一个动点，则PQ与m的大小关系是（　　）
A．PQ＜m
B．PQ＞m
C．PQ≤m
D．PQ≥m
2．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP=4，若点Q是射线OB上一点，OQ=3，则△ODQ的面积是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．如图所示，点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是(　　)
A．AD＋BC＝AB
B．与∠CBO互余的角有两个
C．∠AOB＝90°
D．点O是CD的中点
4．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（
）
A．PD＝PE
B．OD＝OE
C．∠DPO＝∠EPO
D．PD＝OP
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝6，BC＝8，则S△ABD：S△ACD为（　　）
A．5：3
B．5：4
C．4：3
D．3：5
6．如图，在△ABC中，∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点D．则下列结论正确的是（　　）
A．AD平分BC
B．AD平分∠CAB
C．AD平分∠CDB
D．AD⊥BC
7．已知：如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB=40°，∠BCF的度数为（　　）
A．40°
B．50°
C．55°
D．60°
8．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC等于（　　）
A．110°
B．115°
C．125°
D．130°
9．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是15，AB=9，BC=6，则DE的长为（　　）
A．1
B．3
C．2
D．4
10．如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS.下列结论：①点P在∠A的角平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中，正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE=PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB=90°-∠O，其中正确的有（　　）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
二、填空题
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝5，DC＝2，则△ABD的面积为　
　．
13．如图，△ABC的周长为12，，的平分线相交于点O，于点D，且，则________．
14．如图，若BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝　
　．
15．如图所示，已知△ABC的周长是10，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=1，则△ABC的面积是
三、解答题
16．如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．
（1）求BP、CQ、AR的长．
（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．
17．如图，点P是∠MON中一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠PAB＝∠PBA．求证：OP平分∠MON．
18．已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．
19．如图1，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝30°，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP．
（1）线段AE与DB的数量关系为　
；请直接写出∠APD＝　
；
（2）将△BCE绕点C旋转到如图2所示的位置，其他条件不变，探究线段AE与DB的数量关系，并说明理由；求出此时∠APD的度数；
（3）在（2）的条件下求证：∠APC＝∠BPC．
20．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，若点P从点A出发以每秒1cm的速度向点C运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求出此时t的值；
（2）若点P使得PB+PC=AC时，求出此时t的值．
21．已知AB∥CD，点E为平面内一点，BE⊥CE于E,
(1)如图1，请直接写出∠ABE和∠DCE之间的数量关系；
(2)如图2，过点E作EF⊥CD，垂足为F，求证：∠CEF=∠ABE；
(3)如图3，在(2)的条件下，作EG平分∠CEF交DF于点G，作ED平分∠BEF交CD于D，连接BD，若∠DBE+∠ABD=180°，且∠BDE=3∠GEF，求∠BEG的度数．
答案
1．
D
2．
D
3．
B
4．
D
5．
A
6．
B
7．
B
8．
A
9．
C
10．
D
11．
C
12．
5
13．
12
14．
150°
15．
5
16．
解：连接AO，OB，OC，
∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分线交于点O，
∴OR=OQ，OR=OP，
∴由勾股定理得：AR2=OA2﹣OR2，AQ2=AO2﹣OQ2，
∴AR=AQ，
同理BR=BP，CQ=CP，
即O在∠ACB角平分线上，
设BP=BR=x，CP=CQ=y，AQ=AR=z，AB=7，BC=8，AC=9，
则，
x=3，y=5，z=4，
∴BP=3，CQ=5，AR=4．
（2）过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，
∵O在∠A的平分线，
∴OM=ON，∠ANO=∠AMO=90°，
∵∠A=60°，
∴∠NOM=120°，
∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上，
∴∠EBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=60°，
∴∠FON=∠EOM，
在△FON和△EOM中，
∠ONF=∠OME，ON=OM，∠FON=∠EOM，
∴△FON≌△EOM，
∴OE=OF．
17．
证明：∵∠PAB＝∠PBA，
∴PA＝PB，
∵PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，
∴OP平分∠MON．
18．
作PD⊥BC于点D，
∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，
∴PM=PD，
同理，PN=PD，
∴PM=PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PA平分∠MAN．
19．
（1）解：如图1中，
∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
又∵CA＝CD，CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴AE＝BD，∴CAE＝∠CDB，
∵∠AMC＝∠DMP，
∴∠APD＝∠ACD＝30°，
故答案为AE＝BD，30°
（2）如图2中，结论：AE＝BD，∠APD＝30°．
理由：∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
又∵CA＝CD，CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴AE＝BD，∴CAE＝∠CDB，
∵∠AMP＝∠DMC，
∴∠APD＝∠ACD＝30°．
（3）如图2﹣1中，分别过C作CH⊥AE，垂足为H，过点C作CG⊥BD，垂足为G，
∵△ACE≌△DCB．
∴AE＝BD，
∵S△ACE＝S△DCB
∴CH＝CG，
∴∠DPC＝∠EPC
∵∠APD＝∠BPE，
∴∠APC＝∠BPC．
20．
（1）5；（2）6.25
21．
解：（1）结论：∠DCE=90°+∠ABE．
理由：如图1中，从BE交DC的延长线于H．
∵AB∥CH，
∴∠ABE=∠H，
∵BE⊥CE，
∴∠CEH=90°，
∴∠DCE=∠H+∠CEH=90°+∠H，
∴∠DCE=90°+∠ABE．
（2）如图2中，作EM∥CD，
∵EM∥CD，CD∥AB，
∴AB∥CD∥EM，
∴∠BEM=∠ABE，∠F+∠FEM=180°，
∵EF⊥CD，
∴∠F=90°，
∴∠FEM=90°，
∴∠CEF与∠CEM互余，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC=90°，
∴∠BEM与∠CEM互余，
∴∠CEF=∠BEM，
∴∠CEF=∠ABE．
（3）如图3中，设∠GEF=α，∠EDF=β．
∴∠BDE=3∠GEF=3α，
∵EG平分∠CEF，
∴∠CEF=2∠FEG=2α，
∴∠ABE=∠CEF=2α，
∵AB∥CD∥EM，
∴∠MED=∠EDF=β，∠KBD=∠BDF=3α+β，∠ABD+∠BDF=180°，
∴∠BED=∠BEM+∠MED=2α+β，
∵ED平分∠BEF，
∴∠BED=∠FED=2α+β，
∴∠DEC=β，
∵∠BEC=90°，
∴2α+2β=90°，
∵∠DBE+∠ABD=180°，∠ABD+∠BDF=180°，
∴∠DBE=∠BDF=∠BDE+∠EDF=3α+β，
∵∠ABK=180°，
∴∠ABE+∠B=DBE+∠KBD=180°，
即2α+（3α+β）+（3α+β）=180°，
∴6α+（2α+2β）=180°，
∴α=15°，
∴∠BEG=∠BEC+∠CEG=90°+15°=105°．