2020年人教版九年级上数学课件 24.1.2 垂直于弦的直径（24张ppt）

(共24张PPT)
24.1.2
垂直于弦的直径
葫芦岛第六初级中学
垂径定理及其推论
★垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵
CD是直径，CD⊥AB，
∴
AE=BE，
⌒
⌒
AC
=BC，
⌒
⌒
AD
=BD.
★推导格式
注意
垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如.
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
垂径定理的几个基本图形
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
①过圆心；
②垂直于弦；
③平分弦；
④平分弦所对的优弧；
⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
思考探索
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
D
O
A
B
E
C
举例证明其中一种组合方法.
已知:
求证：
①
CD是直径
②
CD⊥AB，垂足为E
③
AE=BE
④
AC=BC
⑤
AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
证明猜想
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD交AB于点E，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
·
O
A
B
C
D
E
⌒
AC与BC相等吗？
AD与BD相等吗？为什么？
⌒
⌒
⌒
（2）由垂径定理可得AC
=BC，
AD
=BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
证明举例
（1）连结AO，BO，则AO=BO.
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
★垂径定理的推论
⌒
⌒
CD⊥AB,
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD
CD是直径，
AE=BE
★推导格式
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｅ
Ｏ
思考：
“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
·
O
A
B
C
D
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
·
O
A
B
E
解析：连结OA.
∵
OE⊥AB，
∴
AB=2AE=16cm.
16
∴
（cm）.
如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=
cm.
例1
·
O
A
B
E
C
D
解：连结OA.
∵
CE⊥AB于D，
∴
设OC=xcm，则OD=（x-2）cm.
根据勾股定理，得
解得x=5.
即半径OC的长为5cm.
x2=42+(x-2)2，
.
如图，⊙O的弦AB＝8cm
，直径CE⊥AB于D，DC＝
2cm，求半径OC的长.
例2
.
M
C
D
A
B
O
N
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD，
∴AM＝BM，CM＝DM（垂直平分
弦的直径平分弦所对的弧），
∴
AM－CM＝BM－DM，
∴AC＝BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
已知：⊙O中弦AB∥CD，
求证：AC＝BD.
⌒
⌒
例3
总结
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
实际应用
赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
例4
A
B
O
C
D
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为Rm.
经过圆心O作弦AB的垂线OC，垂足为点D，与AB交于点C，连
结OA，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.
由题设可知，AB=37m，CD=7.23m，
即赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
∴
AD=
AB=18.5m，
OD=OC-CD=（R-7.23）m.
⌒
⌒
⌒
⌒
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2,
∴R2=18.52+（R-7.23）2,解得R≈27.3.
练一练：如图a、b,
一弓形弦长为
　cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.
C
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图a
图b
2cm或12cm
在圆中有关弦长a，半径r，
弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
★涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
★弓形中重要数量关系
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为
.
5cm
2.⊙O的直径AB=20cm,
∠BAC=30°，则弦AC=
___
.
10
3
cm
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，
且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为
____
.
14cm或2cm
4.如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.
求证：四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴四边形ADOE为矩形.
又∵AC=AB，
∴
AE=AD，
∴
四边形ADOE为正方形.
∴∠EAD=∠ODA=∠OEA=90°，
5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？
.
A
C
D
B
O
E
注意
解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
解：AC＝BD.理由如下：
过点O作OE⊥AB，垂足为点E，
则AE＝BE，CE＝DE.
∴
AE－CE＝BE－DE，
即
AC＝BD.
如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围
.
3cm≤OP
≤5cm
B
A
O
P
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;
③平分弦（不是直径）;
④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程
基本图形及变式图形
课堂总结