5.7 解三角形 同步学案

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正余弦定理的应用学案
一．学习目标
解三角形，换言之就是正余弦定理在三角形基础上的应用。
正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角形问题是高考每年必考的热点问题之一；命题的重点主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形状等；二是以实际生活为背景，考查解三角形问题；三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命题的重点和热点。
二．基础知识
1.正弦定理：
在一个三角形中，各边与它所对的角的正弦成正比；
即（R表示外接圆的半径）；
2.余弦定理：
在一个三角形中，三边与某个角存在如下等量关系；
等价变形：
3.三角形中三个角自带关系：
；
①，
②，
③
④
4.三角形的面积公式
5.正余弦定理结论延伸
与正弦定理有关的结论：
①，，（化边为角）
②（其次项可代换<两边的组成多项式的各个式子同时含有边或角>）
③，，（化角为边）
④
与余弦定理有关的结论：
在中，如果为锐角，则；如果为直角，则；如果为钝角，则
在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑采用正弦定理；如果以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到。
用正弦定理求角时，要注意根据大边对大角的原理，确定角的大小，防止出现增根或漏解。
三．典例分析与性质总结
题型1：三角形的形状判断
例1：在中，如果，判断三角形的形状。
[方法技巧]
1．应用余弦定理判断三角形形状的方法
在中，是最大的边，若，则是锐角三角形（如果对于的大小不明确，只能得到某个角是锐角）；若，则是直角三角形；若，则是钝角三角形．
2．判断三角形形状的常用技巧
若已知条件中既有边又有角，则
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状；此时要注意应用
这个结论。
3．三角形中常见的结论
①
②在三角形中大边对大角，反之亦然．
③任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
④三角形内的诱导公式：
；；
，
⑤在中，
⑥在中，成等差数列的充要条件是.
⑦为正三角形的充要条件是成等差数列且成等比数列．
[易错提醒]
在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解。
题型2：三角形的面积
三角形的面积是与解三角形息息相关的内容，经常出现在高考题中，难度不大．解题的前提条件是熟练掌握三角形面积公式，具体的题型及解题策略为：
(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有关元素之后，直接求三角形的面积，或求出两边之积及夹角正弦，再求解．
(2)把面积作为已知条件之一，与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量．面积公式中涉及面积、两边及两边夹角正弦四个量，结合已知条件列方程求解．
例2：设的内角的对边分别为；且；
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积．
[方法技巧]
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
题型3：航向测距问题
画出示意图，寻找未知角与已知角之间的桥梁。
例3：如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度CD＝________.
题型4：方程思想的运用
在运用正弦定理或余弦定理解题时，通常可以利用边之间的比例关系，将其整体代入正余弦定理，利用整体代换或方程的思想解题。
例4：在中，内角的对边分别为；已知，，则
的值为________．
例5：在中，内角所对的边分别为；已知，；
（1）求的值；
（2）求的值.
例6：在中，内角所对的边分别为；已知，若，
，的平分线交于点，求的长．
总结：通过此题可以提炼分析得到三角形内角平分线的解题思路，如下所示：
故而可化简得，其中
题型5：解三角形与其他知识的结合
在解三角形的过程中，已知一边及其对角，求解三角形的周长与面积的最值；这也是在正余弦定理运用过程中必须要求掌握的思路。
例7：在中，内角所对的边分别为，已知
.
（1）求角的大小；
（2）若,求的取值范围。
【总结】
解三角形问题与三角函数性质、向量、不等式、立体几何、数列等知识结合交汇，是近年来高考的新题型，对于这种问题要细心读题，弄清问题实质，一般都以其他知识为载体，主体还是利用正弦、余弦定理解三角形，所以将问题转化为解三角形是关键。
四．变式演练与提高
1.若的三个内角满足，则(　　)
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
2.的内角的对边分别为，已知
(1)求角的大小；
(2)若，，求的值．
3.在中，内角所对的边分别为；已知是的中线，若，，，求的长。
4.在中，内角所对的边分别为，且成等比数列，则的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
5.设的内角的对边分别为，且满足，.
①求的面积；
②求的最小值.
6.如图，在平面四边形中，，，
(1)求的值；
(2)若，，求的长．
五．反思总结
（一）三角形中的有关公式：
(1)内角和定理：三角形内角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.
(2)正弦定理：(R为三角形外接圆的半径)，注意：
①与正弦定理有关的结论：
①，，（化边为角）
②
③，，（化角为边）
④
②
已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解：
(3)余弦定理：；等，常用余弦定理鉴定三角形形状.
(4)面积公式：
等等；
(5)三角形中的射影公式：；
特别提醒：
①求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：，
，；
②求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。
（二）常见三角形的基本类型及解法：
①已知两角和一边（如：）由及，可先求出角及，再求出.
解法：、、；
②已知两边和夹角（如：）由，先求出，再求出角
解法：；可求解；
③已知三边（如：）由余弦定理可求出角
解法：可求解；可求解；
④已知两边和其中一边对角（如：）由正弦定理可求出另一边的对角，由，可求出角，再由可求出，而通过求角时，可能有
一解或两解或无解的情况．
解法：由求（可能会出现两个解）；；
六．课后作业
1.在中，若，则的形状是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
2.设的内角的对边分别为；若，，则等于(　　)
A.
B.
C.
D.
3.设锐角的内角的对边分别为；若，则的
值是________．
4.设的内角的对边分别为；若，，，则________.
5.设的内角的对边分别为；若，，则的
面积是(　　)
6.在中，内角所对的边分别为；已知，则
________．
7.在中，内角所对的边分别为；已知，，
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积．
8.设的内角的对边分别为；已知
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
七．参考答案
例1：解析：
由题意知（正弦定理），
∴；而，因此
∴
所以有或
因此的形状为等腰三角形或直角三角形。
例2：解析：
(1)根据正弦定理，由，
得，即
所以，因为，所以，
所以，因为，所以
(2)因为，，由(1)得，所以，
解得，所以；所以．
例3：解析：
在中，，所以；
又因为，
由正弦定理得，代入整理得，
在中，
例4：解析：
由得，即，代入，整理得，故
例5：解析：
在解三角形的过程中，透过其次式的解决过程中，可知，；
故而由余弦定理可知，；
例6：解析：
由题设条件可推知，；
即
代入相应的数值分析可得．
总结：通过此题可以提炼分析得到三角形内角平分线的解题思路，如下所示：
故而可化简得，其中
例7：解析：
（1）由已知得,
即有.
因为,所以,又,所以,
又,所以.
（2）由余弦定理,有.
因为,,有.
又,于是有,即有。
四．变式演练与提高
1.解析：
【答案】　C　
由于，结合正弦定理可知，；
不妨令，由于
∴为钝角，故是钝角三角形．
2.解析：
(1)由正弦定理可得，由余弦定理得，
因为，所以
(2)由(1)可知，
因为，为的内角，所以，
故
由正弦定理；得.
（解三角形的过程中避免出现三个角的情况，将其中一个角用另外两个角表示出来，然后进行相应的化简与约分操作）
3.解析：
在两个三角形分别应用余弦定理，需要转化的是存在互补的角。
而；因此可知
总结：三角形的中线长度满足如下的式子：
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题。
有公共边两三角形的解题思想——在两个三角形中分别应用正弦定理及余弦定理进行换元求解。
4.解析：
∵成等比数列，∴；
,当且仅当时取等号；
所以的最小值为，故选D。
5.解析：
①因为，所以，
又∵，因此；
②∵，∴
，当且仅当时，等号成立，取得最小值。
6.解析：
(1)在△中，由余弦定理，得
故由题设知，
(2)设，则
因为，
所以，
于是
在中，由正弦定理得，，
故。
六．课后作业
1.解析：
【答案】　C　∵，由正弦定理可得，
∴，得为钝角，故选C.
2.解析：
【答案】　D
由题意得，
，∴.
3.解析：
∵，∴，
∴
∴
4.解析：
∵，，∴，
∴；由正弦定理得，
∴.
5.解析：
，即.①
∵，由余弦定理得，②
由①和②得，∴
6.解析：
因为，由正弦定理可得；
即；所以，所以。
7.解析：
(1)由题意得
即；所以
由，得，又，
得；即，所以.
(2)由，，，得.
由，得，从而，
故，
所以的面积为
8.解析：
(1)由三角形射影定理得
①
又②
由①②得；所以
(2)的面积
由余弦定理得，即
，所以
当且仅当时，等号成立。
此时
因此面积的最大值为
思路点拨：解本题的思路是先用正弦定理化边为角，求出，再用基本不等式求面积的最值，注意等号成立的条件．
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