(共42张PPT)
2.1 函数概念
激趣诱思
知识点拨
一个人的体重(千克)与身高(厘米)有一定的关系,民间有一个粗略的公式,根据身高算出正常的体重:男性标准体重(千克)=身高(厘米)-100,女性标准体重(千克)=身高(厘米)-102.下表给出的是我国成年女子标准体重的参照数据.
请算算你体重正常吗?如果你算出来的数据与标准体重差距较大,就说明你太胖或者太瘦了!
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
一、函数
1.变量观点的定义
如果在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于变量x的 ,变量y都有 和它对应,那么y就是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.?
2.集合语言的定义
每一个值
唯一确定的值
非空数集
每一个
唯一确定
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.A,B都是非空数集,因此定义域(或值域)为空集的函数不存在.
2.函数定义中强调“三性”,任意性、存在性、唯一性.即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x,在集合B中都有(存在性)唯一(唯一性)确定的元素y与之对应.这“三性”只要有一个不满足,便不能构成函数.
3.符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示,不能认为“y等于f与x的乘积”,应理解为:x是自变量,f是对应关系(可以是解析式、图象、表格,也可以是文字描述).
4.函数符号f(x)表示的对应关系与字母f无关,也可以用g,F,H等表示;同样,自变量x也可以用t,m,n等表示.
5.f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x的函数,表示的是变量,f(a)是f(x)的一个特殊值.
激趣诱思
知识点拨
微思考
函数的这两种定义方法有什么异同点?
提示:(1)不同点:初中定义是从变量变化的角度来刻画两个变量之间的对应关系,强调变量的依赖关系,生动直观,是客观的、动态的;
高中定义是从集合间的对应关系的角度来刻画两个非空数集间的对应关系,强调具体的对应关系,细致入微,是微观的、静态的.
(2)相同点:两种定义满足的条件是相同的,即“变量x的每一个值”以及“A中的任意数x”都有唯一的“y值”及“数y”分别与之对应.
激趣诱思
知识点拨
微练习
判断下列从集合A到集合B的对应关系f是否是定义在集合A上的一个函数?
解:(1)不是.对A中元素0,在f作用下,B中没有元素与之对应.
(2)是.符合函数定义.
(3)不是.对A中元素4,B中有2个元素与之对应.
激趣诱思
知识点拨
二、同一个函数
由函数定义知,由于函数的值域由函数的定义域和对应关系来确定,这样确定一个函数就只需两个要素:定义域和对应关系.因此,定义域和对应关系为“y是x的函数”的两个基本条件,缺一不可.只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.
激趣诱思
知识点拨
名师点析自变量和因变量用什么字母表示与函数无关,不影响两个函数的关系.两个函数的关系是通过检验两个函数的定义域和对应关系是否相同来确定的.只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一个函数,这就是说:
(1)定义域不同,两个函数也就不同;
(2)对应关系不同,两个函数也是不同的.
激趣诱思
知识点拨
微思考
如果两个函数的定义域和值域分别相同,这两个函数一定是同一个函数吗?
提示:不一定是同一函数.因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.如函数y=2x和函数y=-3x+1,它们的定义域和值域都是R,但显然不是同一个函数.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
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当堂检测
函数的定义
例1下列对应是实数集R到R上的一个函数的是 .(填序号)?
①④
反思感悟结合函数的定义,对集合A中任意一个x,判断在集合B中是否有唯一确定的y值与之对应.只能“一对一”或“多对一”,不能“一对多”.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
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变式训练1集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函数的是( )
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
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求函数的定义域
例2求下列函数的定义域:
分析观察函数解析式的特点→列不等式(组)→求自变量的取值范围
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
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反思感悟求函数的定义域时,常有以下几种情况:
(1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;
(2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合;
(3)如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合;
(4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集).
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
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探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
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求抽象函数、复合函数的定义域
例3(1)若函数f(x)的定义域为(-1,2),则函数f(2x+1)的定义域为 .?
(2)若函数f(2x+1)的定义域为(-1,2),则函数f(x)的定义域为 .?
(3)若函数f(2x+1)的定义域为(-1,2),则函数f(x-1)的定义域为 .?
分析(1)f(x)的定义域为(-1,2),即x的取值范围为(-1,2),f(2x+1)中x的取值范围(定义域)可由2x+1∈(-1,2)求得.
(2)f(2x+1)的定义域为(-1,2),即x的取值范围为(-1,2),由此求得2x+1的取值范围即为f(x)的定义域.
(3)先由f(2x+1)的定义域求得f(x)的定义域,再由f(x)的定义域求f(x-1)的定义域.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
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(2)由-1
∴f(x)的定义域为(-1,5).
(3)由(2)知f(x)的定义域为(-1,5),由-1∴f(x-1)的定义域为(0,6).
探究一
探究二
探究三
探究四
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反思感悟
求复合函数或抽象函数的定义域应明确以下几点:
(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围所组成的集合.
(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围.
(3)
f(t),f(φ(x)),f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下的范围相同.
(4)已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,其实质是已知φ(x)的取值范围为A,求出x的取值范围.
(5)已知f(φ(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,其实质是已知f(φ(x))中的x的取值范围为B,求出φ(x)的取值范围(值域),此取值范围就是f(x)的定义域.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
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探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
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函数的求值问题
例4已知函数f(x)=x2+x-1.
(2)若f(x)=5,求x.
分析(1)将给出的自变量的值或代数式代入解析式→化简整理
(2)已知函数值为5→建立关于x的方程,求解
解:(1)f(2)=22+2-1=5.
f(a+1)=(a+1)2+(a+1)-1=a2+3a+1.
(2)∵f(x)=x2+x-1=5,∴x2+x-6=0,
解得x=2或x=-3.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟
函数求值问题的解法
1.已知函数的解析式求函数值,将自变量的值代入解析式即可求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时,将代数式作为一个整体代入化简求解.
2.已知函数解析式及某一函数值,求与函数值对应的自变量的值(或解析式中的参数值),只需将函数值代入解析式,建立关于自变量(或参数)的方程求解即可,注意函数的定义域对自变量取值的限制.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
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探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
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同一个函数
例5试判断以下各组函数是否表示同一个函数:
(2)y=x0与y=1(x≠0);
(3)y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z).
分析判断两个函数f(x)和g(x)是不是同一个函数的方法是:先求函数f(x)和g(x)的定义域,如果定义域不同,那么它们不是同一个函数;如果定义域相同,再化简函数的表达式,如果化简后的函数表达式相同,那么它们是同一个函数,否则它们不是.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
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(2)因为y=x0要求x≠0,且当x≠0时,y=x0=1,故y=x0与y=1(x≠0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一个函数.
(3)y=2x+1(x∈Z)与y=2x-1(x∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一个函数.
探究一
探究二
探究三
探究四
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反思感悟判断两个函数是否表示同一个函数的两个步骤
探究一
探究二
探究三
探究四
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变式训练5下列各组函数:
④f(x)=x+1,g(x)=x+x0;
⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x≤5).
其中表示同一个函数的是 .(填序号)?
探究一
探究二
探究三
探究四
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答案:⑤
解析:①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;
②f(x)与g(x)的对应关系不同,不是同一个函数;
③f(x)=|x+3|,与g(x)的对应关系不同,不是同一个函数;
④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;
⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系都相同,是同一个函数.
探究一
探究二
探究三
探究四
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函数值域的求解方法
典例1求下列函数的值域:
分析根据函数解析式,选用适当的方法求值域.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
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当堂检测
解:(1)当x=1时,y=3;当x=2时,y=5;当x=3时,y=7;当x=4时,y=9.
所以函数y=2x+1,x∈{1,2,3,4}的值域为{3,5,7,9}.
(2)因为1-x2≤1,所以函数y=1-x2的值域为(-∞,1].
探究一
探究二
探究三
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名师点评
本题(3)中方法一分离常数的目的是减少“变量”,变换后x仅出现在分母上,这样x对函数的影响就一目了然了.
探究一
探究二
探究三
探究四
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典例2求下列函数的值域:
(1)y=x2-4x+6;
(2)y=x2-4x+6,x∈[1,5];
分析(1)(2)是二次函数在定义域内求值域的问题,(1)可采用配方法;(2)可结合二次函数的图象求值域;(3)可采用换元法去掉根号,但要注意换元过程中新元的取值范围.
探究一
探究二
探究三
探究四
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解:(1)(配方法)通过配方得y=(x-2)2+2≥2.
故函数的值域为[2,+∞).
(2)(图象法)因为x∈[1,5],函数y=x2-4x+6的图象如图所示,结合图象可得函数的值域为[2,11].
探究一
探究二
探究三
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探究一
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探究一
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可得关于x的方程(y-2)x2+(y-2)x+y-5=0.
当y=2时,方程无解;
当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)(y-5)≥0,得2答案:(2,6]
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反思感悟
求函数值域的常用方法
3.判别式法:将函数视为关于自变量的二次方程,利用判别式求函数值的范围,常用于一些分式函数、无理函数等.使用此法要特别注意自变量的取值范围.
4.换元法:通过对函数的解析式进行适当换元,可将复杂的函数转化为简单的函数,从而求得函数的值域.
探究一
探究二
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6.反表示法:根据函数解析式反解出x,根据x的取值范围转化为关于y的不等式求解.
一般来说,“分离常数法”的目的是将“分式函数”变为“反比例函数”类,“换元法”的目的是将函数变为“二次函数”类,即将函数变为熟悉的简单函数类型来求值域.除了上述常用的方法,还有图象法等.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式,要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累,在求解时应注意选择恰当的解法.总之,求函数的值域的关键是要重视对应关系的作用,还要特别注意定义域对值域的制约.
探究一
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A.(-∞,+∞)
B.(-∞,-1]
C.(-1,+∞)
D.[-1,0)∪(0,+∞)
答案:D
解析:要使函数有意义,则
解得f(x)的定义域为
[-1,0)∪(0,+∞).故选D.
探究一
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2.(多选题)下列四组中的f(x)与g(x)不是同一个函数的是( )
答案:ACD
解析:对于选项A,C,函数的定义域不同;对于选项D,两个函数的对应关系不同.
探究一
探究二
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当堂检测
3.(1)函数y=2x+1,x∈(-1,1]的值域是 .(用区间表示)?
(2)函数y=x2+x+2,x∈R的值域是 .(用区间表示)?
4.已知函数f(x)的定义域是[-1,4],则函数f(2x+1)的定义域为 .?
解析:已知f(x)的定义域是[-1,4],
即-1≤x≤4.
故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4,
探究一
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(1)求f(x)的定义域;
(2)求f(-1),f(2)的值;
(3)当a≠-1时,求f(a+1)的值.
解:(1)要使函数f(x)有意义,必须使x≠0,
故f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).(共41张PPT)
2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
激趣诱思
知识点拨
利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值,据此可以描绘出心电图,如图所示.医生在看心电图时,会根据图形的整体形态来给出诊断结果(如根据两个峰值的间距来得出心率等).
如果用t表示测量的时间,v表示测量的指标值,可以得出v是t的函数吗?如果是,这个函数用数学符号可以怎样表示?
激趣诱思
知识点拨
一、函数的表示法
常用的函数的表示方法有三种:
,具体如下.?
列表法、图象法和解析法
激趣诱思
知识点拨
名师点评
由列表法和图象法的概念可知,函数也可以说就是一张表或一张图,根据这张表或这张图,由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.
激趣诱思
知识点拨
微练习
观察下表:
则f(f(-1)-g(3))=( )
A.-4
B.-3
C.3
D.5
答案:D
解析:由题表知,f(-1)=-1,g(3)=-4,所以f(f(-1)-g(3))=f(3)=5.
激趣诱思
知识点拨
二、函数的图象
1.定义
一般地,将函数y=f(x),x∈A中的自变量x和对应的函数值y,分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标,则满足条件的点(x,y)组成的集合F称为函数的图象,即F={(x,y)|y=f(x),x∈A}.这就是说,如果F是函数y=f(x)的图象,则图象上任意一点的坐标(x,y)都满足函数关系y=f(x);反之,满足函数关系y=f(x)的点(x,y)都在函数图象F上.
激趣诱思
知识点拨
(3)利用常见函数图象作出所求函数的图象
已学过的常见函数图象有:①常值函数的图象,如f(x)=1的图象为一条平行于x轴的直线;②一次函数的图象,如f(x)=-3x+1的图象是一条经过第一、二、四象限的直线;③二次函数的图象,如f(x)=2x2-x+1的图象是一条开口向上的抛物线;④对于反比例函数f(x)=
(k≠0,且k为常数),当k>0时,其图象是在第一、三象限内,以原点为对称中心的双曲线,当k<0时,其图象是在第二、四象限内,以原点为对称中心的双曲线.
2.函数图象的作法
(1)函数图象的特征
函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.
(2)描点法作函数图象的三个步骤(注意函数的定义域)
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
名师点析
1.从理论上来说,要作出一个函数的图象,只需描出所有点即可.但是,很多函数的图象都由无穷多个点组成,描出所有点并不现实.因此,实际作图时,经常先描出函数图象上一些有代表性的点,然后根据有关性质作出函数图象,这称为描点作图法.
2.图象在x轴上的投影所表示的区间为定义域,在y轴上的投影所表示的区间为值域.
激趣诱思
知识点拨
微思考
如何检验一个图形是不是一个函数的图象?写出你的检验法则.
提示:检验法则:过图形上任意一点作与x轴垂直的直线,若所有直线与图形都只有一个交点,则此图形是函数的图象,否则这个图形不是函数的图象.
激趣诱思
知识点拨
微练习
如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中点A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(f(0)))=( )
A.2
B.4
C.0
D.3
答案:C
解析:结合图象可得f(0)=4,f(4)=2,f(2)=0,
则f(f(f(0)))=f(f(4))=f(2)=0.
探究一
探究二
探究三
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列表法表示函数
例1已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:
则f(g(1))= ;当g(f(x))=2时,x= .?
分析这是用列表法表示的函数求值问题,在解答时,找准变量对应的值即可.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟列表法是表示函数的重要方法,这如同我们在画函数图象时所列的表,它的优点是变量对应的函数值在表中可直接找到,不需要计算.
答案: 1 1
解析:由g(x)的对应表,知g(1)=3,
∴f(g(1))=f(3).
由f(x)的对应表,知f(3)=1,∴f(g(1))=f(3)=1.
由g(x)的对应表,知当x=2时,g(2)=2.
又g(f(x))=2,∴f(x)=2.
又由f(x)的对应表,知当x=1时,f(1)=2.∴x=1.
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延伸探究在本例已知条件下,g(f(1))= ;当f(g(x))=2时,x= .?
答案:2 3
解析:∵f(1)=2,∴g(f(1))=g(2)=2.
∵f(g(x))=2,∴g(x)=1,∴x=3.
探究一
探究二
探究三
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求函数的解析式
例2(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x).
(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式.
(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).
分析(1)(方法一)令x+1=t,将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2可得f(t),即可得f(x);(方法二)由于f(x+1)中x+1的地位与f(x)中x的地位相同,因此还可以将f(x+1)=x2-3x+2变形为f(x+1)=(x+1)2-5(x+1)+6.
(2)设出f(x)=ax2+bx+c(a≠0),再根据条件列出方程组求出a,b,c的值.(3)将f(x)+2f(-x)=3x-2中的x用-x代替,解关于f(x)与f(-x)的方程组即可.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
解:(1)(方法一)令x+1=t,则x=t-1.
将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2,
得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,
∴f(x)=x2-5x+6.
(方法二)∵f(x+1)=x2-3x+2=x2+2x+1-5x-5+6=(x+1)2-5(x+1)+6,
∴f(x)=x2-5x+6.
(2)设所求的二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
∵f(0)=1,∴c=1,则f(x)=ax2+bx+1.
∵f(x+1)-f(x)=2x对任意的x∈R都成立,
∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
探究一
探究二
探究三
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(3)∵对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,
∴将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得
探究一
探究二
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反思感悟求函数解析式的四种常用方法
1.直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接将g(x)代入.
2.待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解方程(或方程组)求出待定系数,进而求出函数解析式.
3.换元法(有时可用“配凑法”):已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x))中求出f(t),从而求出f(x).
4.消元法:在已知式子中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个变量有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,由两个式子建立方程组,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式.
探究一
探究二
探究三
素养形成
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变式训练1(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=2x-1,求f(x)的解析式.
解:(1)∵f(x)为一次函数,
∴可设f(x)=ax+b(a≠0).
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
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函数的图象及应用
例3作出下列函数的图象,并求其值域:
(1)y=1-x(x∈Z);
(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).
分析看函数的类型→看函数的定义域→描点、连线、成图.
探究一
探究二
探究三
素养形成
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解:(1)因为x∈Z,所以函数图象为一条直线上的孤立点(如图①),由图象知,y∈Z.
(2)因为x∈[0,3),所以函数图象是抛物线的一段(如图②),由图象知,y∈[-5,3).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟1.作函数图象最基本的方法是描点法:主要有三个步骤——列表、描点、连线.作图象时一般先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,最后列表画出图象.
2.函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意特殊点.如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数的顶点等,还要分清这些特殊点是实心点还是空心点.
如本题(1)中图象是由一些散点构成的,这里不能将其用平滑曲线连起来;(2)中描出两个端点及顶点,依据二次函数的图象特征作出函数图象,注意3不在定义域内,从而点(3,3)处用空心点.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2作出下列函数的图象,并写出其值域.
解:(1)当x=0时,y=1;当x=1时,y=3;当x=2时,y=5.
函数图象过点(0,1),(1,3),(2,5).
图象如图所示.
由图可知,函数的值域为[0,5].
由图可知,函数的值域为(0,1].
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
图象变换法
1.平移变换
函数y=f(x)的图象与y=f(x+a)及y=f(x)+a(a≠0)的图象有怎样的关系呢?我们先来看一个例子.
分别作出函数y=x2,y=(x+1)2,y=x2-1的图象,观察它们之间有怎样的关系.
在同一平面直角坐标系中,它们的图象如图所示.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
观察图象可知,y=(x+1)2的图象可由函数y=x2的图象向左平移1个单位长度得到;函数y=x2-1的图象可由函数y=x2的图象向下平移1个单位长度得到.
由此得到如下规律:
(1)把函数y=f(x)的图象沿x轴向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度,就得到函数y=f(x+a)的图象;
(2)把函数y=f(x)的图象沿y轴向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位长度,就得到函数y=f(x)+a的图象.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.对称变换
函数y=f(x)的图象与y=f(-x),y=-f(x)及y=-f(-x)的图象又有怎样的关系呢?我们来看一个例子:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
由此可得如下规律:
(1)函数y=f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于y轴对称;
(2)函数y=-f(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称;
(3)函数y=-f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于原点对称.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.翻折变换
函数y=f(x)的图象与函数y=|f(x)|及y=f(|x|)的图象又有怎样的关系呢?我们再来看一个例子:
分别作出函数y=|x2-2x-3|及y=x2-2|x|-3的图象,观察它们与函数y=x2-2x-3的图象之间有怎样的关系.
事实上,y=|x2-2x-3|
在不同的平面直角坐标系中,分别作出函数y=|x2-2x-3|与y=x2-2|x|-3的图象,如图①②中的实线所示.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
通过观察两个图象可知,函数y=|x2-2x-3|的图象可由函数y=x2-2x-3的图象经过下列变换得到:保持函数y=x2-2x-3的图象在x轴上及其上方的部分不变,将x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方.函数y=x2-2|x|-3的图象可由函数y=x2-2x-3的图象经过下列变换得到:保持函数y=x2-2x-3的图象在y轴上及其右侧的部分不变,将y轴原左侧的图象换成y轴右侧的图象沿y轴翻折而成的图象,则这两部分就构成了y=x2-2|x|-3的图象.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
由此可得如下规律:
(1)将函数y=f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,下方的部分不再保留,x轴上及其上方的图象不变,即可得到函数y=|f(x)|的图象;
(2)先作x≥0时y=f(x)的图象
然后将函数
y=f(x)(x>0)的图象沿y轴翻折到y轴左侧,函数y=f(x)(x≥0)的图象不变,即可得到函数y=f(|x|)的图象.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
典例1已知函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(1-x)的图象为( )
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
图象.即将函数y=f(x)的图象先作关于y轴的对称变换得到函数y=f(-x)的图象,再将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到y=f(1-x)的图象.
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
典例2作出函数f(x)=|x2-4x-5|在区间[-2,6]上的图象.
解:先作出二次函数y=x2-4x-5的图象,再把图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,保留x轴上及其上方的部分,并保留在区间[-2,6]上的部分,如图所示.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1),则该一次函数的解析式为( )
A.f(x)=-x
B.f(x)=x-1
C.f(x)=x+1
D.f(x)=-x+1
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.某天早上,小明骑车上学,出发时感到时间较紧,然后加速前进,后来发现时间还比较充裕,于是放慢了速度,与以上事件吻合得最好的图象是( )
答案:C
解析:因为选项A,D第一段都是匀速前进,不合题意,故排除选项A,D,首先加速前进,然后放慢速度,说明图象上升的速度先快后慢,故选C.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.已知函数f(x),g(x)对应值如下表:
则g(f(g(-1)))的值为( )
A.1
B.0
C.-1
D.无法确定
答案:C
解析:g(-1)=1,
则f(g(-1))=f(1)=0,
则g(f(g(-1)))=g(0)=-1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.若一个长方体的高为80
cm,长比宽多10
cm,则这个长方体的体积y(单位:cm3)与长方体的宽x(单位:cm)之间的函数解析式是 .?
答案:y=80x(x+10),x∈(0,+∞)
解析:由题意可知,长方体的长为(x+10)cm,从而长方体的体积y=80x(x+10),x>0.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2).
(1)画出f(x)的图象;
(2)根据图象写出f(x)的值域.
解:(1)f(x)的图象如图所示.
(2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是
[-1,3],故f(x)的值域是[-1,3].(共31张PPT)
第2课时 分段函数
激趣诱思
知识点拨
根据我国地理学家的估算,我国的水资源总量约为27
000亿m3,而可利用的水资源不足总量的1%,现我国属于水资源贫困的国家,为了加强公民的节水意识,某城市制定每户月用水收费(含用水费和污水处理费)标准:
如果小明家上个月用水量为8.9
m3,这个月用水量为12
m3,他家两个月分别应该交多少水费?每月用水量x(m3)与应交水费y(元)之间的关系是否可以用函数解析式表示出来?这个解析式有什么特点?
激趣诱思
知识点拨
分段函数
1.分段函数的定义
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应关系,则称其为分段函数.
2.分段函数的图象
分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成.在同一平面直角坐标系中,根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象,要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点,各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
1.分段函数是一个函数,而不是几个函数.
2.求分段函数的函数值的关键是分段归类,即自变量的取值属于哪个区间,就只能用那个区间上的解析式来进行计算.
3.写分段函数的定义域时,区间端点应不重不漏.分段函数的定义域是各段自变量取值区间的并集.
4.分段函数值域的求法是分别求出各段上的因变量的取值集合后取并集;分段函数的最大(小)值的求法是先求出每段函数的最大(小)值,然后比较各段的最大(小)值,其中最大(小)的为分段函数的最大(小)值.
激趣诱思
知识点拨
微练习
答案:A
激趣诱思
知识点拨
微拓展
几种常见的分段函数如下.
取整函数:如f(x)=[x]([x]表示不大于x的最大整数).
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
分段函数的求值
(2)若f(x)=2,求x的值.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟1.求分段函数的函数值的步骤
(1)先确定所求值对应的自变量属于哪一段区间.
(2)再代入该段对应的解析式进行求值,直到求出值为止.当出现f(f(x))的形式时,应从内到外依次求值.
2.已知函数值求自变量的值的步骤
(1)先确定所求自变量的值可能存在的区间及其对应的函数解析式.
(2)再将函数值代入不同的解析式中.
(3)通过解方程求出自变量的值.
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究在本例已知条件下,若f(x)>0,求x的取值范围.
∴-2∴x的取值范围是(-2,0)∪(0,+∞).
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
分段函数的图象
例2画出下列函数的图象,并写出它们的值域:
(2)y=|x+1|+|x-3|.
分析先化简函数解析式,再画函数图象,在画分段函数的图象时,要注意对应关系与自变量取值范围的对应性.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟1.因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分.
2.对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数来画图象.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:C
解析:因为f(0)=0-1=-1,所以函数图象过点(0,-1),排除A、B;
当x<0时,y=x2,则函数图象是开口向上的抛物线在y轴左侧的部分.因此只有选项C中的图象符合.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
根据分段函数图象求解析式
例3已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,则函数的解析式为 .?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
∴左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2(x≤1).
同理,当x≥3时,对应的函数解析式为y=x-2(x≥3).
再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1∵点(1,1)在抛物线上,∴a+2=1,∴a=-1.
∴当1探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练2已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为 .?
解析:∵f(x)的图象由两条线段组成,∴由一次函数解析式求法可得
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
分段函数在实际中的应用
例4某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在下图中的两条线段上,该股票在30天内(包括30天)的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式;
(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式;
(3)在(2)的结论下,用y(万元)表示该股票日交易额,写出y关于t的函数关系式,并求出这30天中第几日交易额最大,最大值为多少?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为
Q=40-t,0探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
y所以,第15日交易额最大,最大值为125万元.
反思感悟
分段函数的意义是不同范围内的自变量x与y的对应关系不同,从而需分段来表达它.解决实际问题时要结合实际意义写出分段函数的解析式,再根据需要选择合适的解析式解决问题.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练3某市郊带空调公共汽车的票价按下列规则制定:
(1)乘坐汽车5千米以内,票价2元;
(2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米按5千米计算).
每相邻两个站点之间的距离为1千米,如果某空调公共汽车运行路线中设20个汽车站；(包括起点站和终点站),求票价y(元)关于路程x(千米)的函数解析式,并画出图象.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:设票价为y元,里程为x千米,根据题意,
如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站(包括起点站和终点站),那么汽车行驶的里程约为19千米,所以自变量x的取值范围是{x∈N+|x≤19}.
由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:
根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图所示.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
分段函数的理解与应用
典例如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7
cm,腰长为2
cm,当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l把梯形分成两部分,令BF=x
cm,试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式,并画出大致图象.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:过点A,D分别作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别是G,H.
因为四边形ABCD是等腰梯形,
底角为45°,AB=2
cm,
所以BG=AG=DH=HC=2
cm.
又BC=7
cm,所以AD=GH=3
cm.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
函数图象如图所示.
反思感悟求实际问题的函数解析式,其关键是充分利用条件建立关于变量的等式,除此之外还需要考虑问题的实际意义,对于分段函数图象,作图时,要注意端点的取舍,遵循定义域优先的原则.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
A.0
B.π
C.π2
D.9
答案:B
解析:f(f(-3))=f(0)=π.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3.某客运公司确定客运票价的方法是:如果路程不超过100千米,票价是每千米0.5元,如果超过100千米,超过部分按每千米0.4元定价,则客运票价y(元)与路程x(千米)之间的函数关系式是 .?
答案:1
解析:当a≥0时,由a+1=2,得a=1>0,
所以a=1符合题意;
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(1)画出函数的图象;
(2)求f(1),f(-1),f[f(-1)]的值.
解:(1)图象如图所示.(共34张PPT)
§3 函数的单调性和最值
第1课时 函数的单调性
激趣诱思
知识点拨
我们知道,“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色,因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题.德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究,并给出了类似右图所示的记忆规律.
如果我们以x表示时间间隔(单位:h),y表示记忆保持量,则不难看出,图中y是x的函数,记这个函数为y=f(x).
这个函数反映出记忆具有什么规律?你能从中得到什么启发?
激趣诱思
知识点拨
一、增函数、减函数的定义
激趣诱思
知识点拨
名师点析x1,x2的三个特征:
(1)同区间性,即x1,x2∈I;
(2)任意性,即不可用区间I上的两个特殊值代替x1,x2;
(3)有序性,即需要区分大小,通常规定x1激趣诱思
知识点拨
微练习
若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(1)A.为增函数
B.为减函数
C.先增后减
D.单调性不能确定
答案:D
解析:由于函数单调性的定义突出了x1,x2的任意性,所以仅凭区间内几个有限的函数值的关系,是不能作为判断单调性的依据的,也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可.因此本题选D.
激趣诱思
知识点拨
微提炼
单调性的等价结论
激趣诱思
知识点拨
二、单调性、单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.此时,区间I为函数y=f(x)的单调区间.
名师点析自变量的大小与函数值的大小关系:
(1)若f(x)在区间I上单调递增,则x1x2?f(x1)>f(x2).
(2)若f(x)在区间I上单调递减,则x1f(x2),x1>x2?f(x1)即可以利用单调递增、单调递减的定义实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化.
激趣诱思
知识点拨
微练习
根据下图写出在每一单调区间上,函数是单调递增还是单调递减.
解:函数在[-1,0]上是单调递减,在[0,2]上是单调递增,在[2,4]上是单调递减,在[4,5]上是单调递增.
激趣诱思
知识点拨
微思考
提示:不能.不连续的单调区间必须分开写,中间用“,”或“和”连接,不能用符号“∪”连接.如y=
在区间(-∞,0)和(0,+∞)单调递减.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
判断函数的单调性
1.利用图象判断函数的单调性
例1根据函数图像直观判断下列函数的单调性:
(1)y=|x2+2x-3|;(2)y=-x2+2|x|+1.
分析本题中所给出的两个函数解析式中均含有绝对值,可以采取去绝对值的方法,将函数转化为分段函数再画出函数的图象,也可以通过图象变换得到函数图象.通过图象观察判断函数的单调性.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.作出f(x)的图象,保
留其在x轴上及x轴上方部分,将位于x轴下方的部
分翻折到x轴上方,得到y=|x2+2x-3|的图象,如图所
示.由图象可得原函数在区间[-3,-1]和[1,+∞)上单
调递增,原函数在区间(-∞,-3]和[-1,1]上单调递减.
函数图象如图所示,原函数在区间(-∞,-1]和[0,1]上单调递增,在区间[-1,0]和[1,+∞)上单调递减.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟图象法判断函数单调性的注意点
图象法判断函数的单调性主要用于常见函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)的单调性判断,或应用于能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数的图象,从而进行单调性的判断.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象判断函数的单调性.
由图象可知,函数在区间(-∞,1],[2,+∞)上单调递增;在区间[1,2]上单调递减.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.利用单调函数的运算性质判断函数的单调性
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟利用单调函数的运算性质判断函数单调性的思路
当函数解析式通过变换、转化之后,是由几个基本函数的解析式构成的,则可分析这几个基本函数的单调性,看是否符合单调函数运算性质的规律,若符合,可直接得出结论,否则,不能用这种方法判断函数的单调性.此外,研究函数的单调性时,一定要坚持“定义域优先”的原则.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用定义证明函数的单调性
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
特别提醒作差变形的常用技巧:
(1)因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后通常进行因式分解.
(2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.
(3)配方.当所得的差式是含有x1,x2的二次三项式时,可以考虑配方,便于判断符号.
(4)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
函数单调性的应用
分析要比较两个函数值的大小,需先比较自变量的大小.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:
(0,3]
解析:因为函数f(x)在R上是单调递增,所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,故a>0.设y=ax-1,x∈(-∞,1),因为a>0,所以y探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟1.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性比较函数值大小时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间内.
2.利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的限制条件,以防出错.
3.由分段函数单调性求参数范围时,一般从两个方面思考:一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性,由此列出相关式子;另一方面是考虑端点处的衔接情况,由此列出另一相关式子,求解即可.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练4已知函数g(x)的定义域是[-2,2],且在[-2,2]上单调递增,g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.
解:∵g(x)在区间[-2,2]上单调递增,且g(t)>g(1-3t),
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
复合函数单调性的判断
对于复合函数f(g(x)),设t=g(x)在区间[a,b]上是单调函数,且y=f(t)在区间[g(a),g(b)]或区间[g(b),g(a)]上也是单调函数,那么f(g(x))在区间[a,b]上的单调性如何呢?下面我们来探讨一下.
(1)若t=g(x)在区间[a,b]上单调递增,且y=f(t)也单调递增:
任取x1,x2∈[a,b],x1(2)若t=g(x)在区间[a,b]上单调递增,y=f(t)单调递减:
任取x1,x2∈[a,b],x1f(g(x2)),则根据减函数的定义知f(g(x))在区间[a,b]上单调递减.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
类似地,我们不难发现:当t=g(x)在区间[a,b]上单调递减,且y=f(t)单调递增时,则f(g(x))在区间[a,b]上单调递减;当t=g(x)在区间[a,b]上单调递减,且y=f(t)
单调递减时,则f(g(x))在区间[a,b]上单调递增.
根据上面的探讨,y=f(g(x))在区间[a,b]上的单调性如下表所示,简记为“同增异减”.
若一个函数是由多个基本函数复合而成的,则此复合函数的单调性由基本函数中减函数的个数决定.若减函数有偶数个,则这个复合函数为增函数;若减函数有奇数个,则这个复合函数为减函数.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
典例已知函数f(x)在定义域[0,+∞)上单调递减,则f(1-x2)的单调递减区间为 .?
解析:∵f(x)的定义域为[0,+∞),
∴1-x2≥0,即x2≤1,解得-1≤x≤1.
令u=1-x2(u≥0),则f(1-x2)=f(u).
当x∈[0,1]时,u=1-x2单调递减,则f(1-x2)单调递增;当x∈[-1,0]时,u=1-x2单调递增,则f(1-x2)单调递减.故f(1-x2)的单调递减区间为
[-1,0].
答案:[-1,0]
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟对于复合函数y=f(g(x)),把函数y=f(g(x))通过中间变量t分解为两个函数:外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x),内层函数的值域是外层函数定义域的子集.要先确定复合函数的定义域.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.若函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则k的取值范围是( )
答案:D
解析:当2k+1<0,即k<-
时,函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数.
2.函数y=f(x),x∈[-4,4]的图象如图所示,则函数y=f(x)的所有单调递减区间为( )
A.[-4,-2]
B.[1,4]
C.[-4,-2]和[1,4]
D.[-4,-2]∪[1,4]
答案:C
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
3.若函数f(x)=x2+3ax+5在区间(-∞,5)上单调递减,则实数a的取值范围是( )
答案:A
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
4.已知函数f(x)在区间[-1,1]上单调递增,且f(x-2)探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测(共31张PPT)
第2课时 函数的最值
激趣诱思
知识点拨
某超市销售一种饮料,每瓶进价为9元,经市场调查表明,当售价在10元到14元之间(包含10元,14元)浮动时,每瓶饮料售价每增加0.5元,日均销售量减少40瓶;当售价为每瓶12元时,日均销售量为400瓶.那么当销售价格定为每瓶多少元时,所得日均毛利润最大?最大日均毛利润是多少元?同学们,你能帮助超市完成定价吗?
激趣诱思
知识点拨
函数的最值
1.定义
f(x)≤M
f(x)≥M
最高
最低
激趣诱思
知识点拨
微思考
若函数y=f(x)是定义在区间[a,b]上的增(或减)函数,这个函数有最值吗?如果是区间(a,b)呢?
提示:若y=f(x)是定义在区间[a,b]上是增函数,则其最小值为f(a),最大值为f(b);若为减函数,最大值为f(a),最小值为f(b).若为区间(a,b),则没有最值,但可以说值域为(f(a),f(b))(或f(b),f(a)).
激趣诱思
知识点拨
2.函数的最大值和最小值统称为最值.
名师点析函数的最值和值域的联系与区别
1.联系:函数的最值和值域反映的都是函数的基本性质,针对的是整个定义域.
2.区别:
(1)函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在;
(2)若函数的最值存在,则最值一定是值域中的元素;
(3)若函数的值域是开区间(两端点都取不到),则函数无最值;若函数的值域是闭区间,则闭区间的端点值就是函数的最值.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则该函数的最小值、最大值分别是( )
A.f(-2),0 B.0,2
C.f(-2),2
D.f(2),2
答案:C
解析:由题图可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用函数的图象求最值
例1已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.
分析去绝对值→分段函数→作图→识图→结论
由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为
(-∞,2].
探究一
探究二
探究三
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反思感悟
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
(1)画出f(x)的图象;
(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.
解:(1)函数f(x)的图象如图所示.
(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
利用函数的单调性求最值
(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;
(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.
分析(1)证明单调性的流程:取值→作差→变形→判断符号→结论;
(2)借助最值与单调性的关系,写出最值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
∵x10,1∴f(x1)>f(x2),即f(x)在区间[1,2]上单调递减.
(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+
=4;f(x)的最大值为f(1),f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值为4,最大值为5.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
反思感悟函数的最值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(或单调递减),则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).
(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(或单调递减),在区间(b,c]上单调递减(或单调递增),则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.
(3)若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的线,则函数f(x)在区间[a,b]上一定有最值.
(4)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
延伸探究本例已知条件不变,判断f(x)在区间[1,3]上的单调性,并求f(x)在区间[1,3]上的最值.
解:任取x1,x2∈[1,3],且x1f(x)在区间[1,2]上单调递减;
当20,40,
∴f(x1)探究一
探究二
探究三
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当堂检测
与最值有关的应用问题
例3某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3
000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租金为3
600元时,能租出多少辆?
(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
分析读题→提取信息→建模→解模→解决实际问题
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
所以当x=4
050,即每辆车的租金为4
050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是307
050元.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟1.本题建立的是二次函数模型,应利用配方法求函数的最值.
2.解函数应用题的一般程序是:
(1)审题.弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系.
(2)建模.将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型.
(3)求模.求解数学模型,得到数学结论.
(4)还原.将用数学方法得到的还原为实际问题的结论.
(5)反思回顾.对于数学模型得到的数学解,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
变式训练2某公司生产一种电子仪器的固定成本为20
000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函
(1)将利润表示为月产量的函数f(x);
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
当x>400时,f(x)=60
000-100x单调递减,
f(x)<60
000-100×400<25
000.
∴当x=300时,f(x)max=25
000.即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25
000元.
探究一
探究二
探究三
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利用数形结合思想与分类讨论思想求二次函数的最值
典例求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值.
【审题视角】可变对称轴x=a→与定区间[0,2]的
相对位置关系→结合单调性与图象求解
解:y=(x-a)2-1-a2.
当a<0时,函数在[0,2]上单调递增,如图①.
故函数在x=0处取得最小值-1,
在x=2处取得最大值3-4a.
当0≤a≤1时,结合函数图象(如图②)知,
函数在x=a处取得最小值-a2-1,
在x=2处取得最大值3-4a.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
当1函数在x=a处取得最小值-a2-1,
在x=0处取得最大值-1.
当a>2时,函数在区间[0,2]上单调递减,如图④.
函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a.
综上,当a<0时,函数在区间[0,2]上的最小值为-1,最大值为3-4a;
当0≤a≤1时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;
当1当a>2时,函数在区间[0,2]上的最小值为3-4a,最大值为-1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛1.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的图象,再根据函数的单调性进行研究.特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上的最值可作如下讨论:
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
变式训练函数f(x)=x2-2x+2(其中x∈[t,t+1],t∈R)的最小值为g(t),求g(t)的表达式.
解:由函数f(x)=x2-2x+2知其图象的开口向上,对称轴为x=1.下面分三种情况讨论:
当t+1≤1,即t≤0时,如图①所示,此时函数f(x)在[t,t+1]上单调递减,
②所示,此时,函数f(x)在[t,1]上单调递减,在(1,t+1]上单调递增,
∴g(t)=f(1)=1.当t≥1时,如图③所示,此时,函数f(x)在[t,t+1]上单调递增.∴g(t)=f(t)=t2-2t+2.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
答案:A
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
2.函数y=|x+1|+2的最小值是( )
A.0
B.-1
C.2
D.3
答案:C
解析:y=|x+1|+2的图象如图所示.
由图可知函数的最小值为2.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
3.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为( )
A.[0,3]
B.[-1,0]
C.[-1,+∞)
D.[-1,3]
答案:D
解析:∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],∴当x=1时,函数y取得最小值为-1;当x=3时,函数取得最大值为3.故函数的值域为[-1,3],故选D.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
答案:11
解析:当x∈[1,2]时,f(x)为增函数,其最大值为f(2)=10;当x∈[-4,1]时,f(x)为减函数,其最大值为f(-4)=11.故函数f(x)的最大值为11.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
5.把长为12
cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正方形,求这两个正方形面积之和的最小值.(共37张PPT)
4.1 函数的奇偶性
激趣诱思
知识点拨
中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹,用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.在中国,剪纸具有广泛的群众基础,是各种民俗活动的重要组成部分.其传承延续的视觉形象和造型样式,蕴涵了丰富的历史文化信息,表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣,具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值.
折叠剪纸是最常见的一种制作表现方法,它折法简明,制作简便,尤其适于表现结构对称的形体和对称的图式,这种对称给人一种美的享受.
我们学习过的函数图象中,也有很多这样的对称现
象,请你想一想哪些函数的图象是对称的,都有哪些
对称方式?
激趣诱思
知识点拨
一、奇、偶函数的定义
注:当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称f(x)具有奇偶性.
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.判断函数的奇偶性要“二看”
(1)一看定义域.定义域A要关于原点对称,即对任意x∈A,-x∈A,定义域不关于原点对称时,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
如f(x)=x2,x∈R是偶函数,但f(x)=x2,x∈[-1,2]既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)二看等式.当f(x)的定义域关于原点对称时,要看f(x)与f(-x)的关系:
①f(-x)=f(x)?f(x)是偶函数;
②f(-x)=-f(x)?f(x)是奇函数;
③f(-x)≠±f(x)?f(x)既不是奇函数,也不是偶函数;
④f(-x)=±f(x)?f(x)既是奇函数又是偶函数.这样的函数只有一类,即f(x)=0,x∈D,且D关于原点对称.
激趣诱思
知识点拨
2.奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性
设非零函数f(x),g(x)的定义域分别是F,G,若F=G,则有下列结论:
注意:上述表格中不考虑f(x)±g(x)=0;f[g(x)]中,需x∈G,g(x)∈F.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若f(x)的定义域关于原点对称,则f(x)是偶函数.( )
(2)若f(x)是偶函数,则它的定义域关于原点对称.( )
(3)若f(-2)=f(2),则f(x)(x∈R)是偶函数.( )
(4)若f(x)(x∈R)是偶函数,则f(-2)=f(2).( )
(5)若f(2)≠f(-2),则f(x)(x∈R)不是偶函数.( )
(6)既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R).( )
激趣诱思
知识点拨
答案:
(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)×
解析:只有f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)=f(x)时,f(x)才是偶函数,故(1)错误;
f(x)的定义域关于原点对称是f(x)为偶函数的必要条件,故(2)正确;
对任意x∈R,满足f(-x)=f(x),f(x)才是偶函数,仅凭两个特殊的函数值相等不足以判断函数的奇偶性,故(3)错误而(4)正确;
为了说明f(x)不是偶函数,举一个反例即可,故(5)正确;
f(x)=0,定义域为[-1,1],该函数既是奇函数又是偶函数,故(6)错误.
激趣诱思
知识点拨
微思考
已知函数f(x)是奇函数,定义域为D,若0∈D,f(0)是否为定值?
提示:∵f(x)为奇函数,∴对任意x∈D,f(-x)=-f(x),∴f(-0)=-f(0),即f(0)=0,为定值.
激趣诱思
知识点拨
二、函数奇偶性与单调性的关系
1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.
2.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取得最值时的自变量的值互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上取得的最值互为相反数,取得最值时的自变量的值也互为相反数.
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.奇偶性与单调性都是函数的重要性质,单调性是函数的“局部”性质,是研究函数值在某一区间内的变化趋势;而奇偶性是函数的“整体”性质,是研究函数图象在整个定义域上的对称性.
2.研究函数的奇偶性与单调性对了解函数非常重要,如果一个函数是奇函数或是偶函数,根据它的图象关于坐标原点对称或关于y轴对称的性质,只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分,由函数在其中一部分上的图象和性质,即可推断出它在整个定义域内的图象和性质.而研究该函数其中一部分图象的情况,就得研究其函数值的变化,这就是单调性,只有把这两种性质结合在一起才能更好地了解函数的特征.
激趣诱思
知识点拨
微练习
若奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,则它在[2,6]上是( )
A.增函数且最小值是-1
B.增函数且最大值是-1
C.减函数且最大值是-1
D.减函数且最小值是-1
答案:C
解析:∵奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,∴函数f(x)在[2,6]上是减函数且最大值是-1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
判断函数的奇偶性
例1判断下列函数的奇偶性:
分析利用奇函数、偶函数的定义判断函数的奇偶性时,先求出函数的定义域,看其是否关于原点对称,如果定义域关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.为了判断f(-x)与f(x)的关系,既可以从f(-x)开始化简整理,也可以考虑f(-x)+f(x)或f(-x)-f(x)是否等于0.当f(x)不等于0时也可考虑
与1或-1的关系,还可以考虑使用图象法.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)既不是奇函数又不是偶函数.
(2)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),∴f(x)是奇函数.
函数的定义域为{-1,1},关于原点对称.
又f(1)=f(-1)=0,故f(x)既是奇函数又是偶函数.
(4)函数的定义域关于原点对称.
(方法一)当x>0时,-x<0,
f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x).
当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)是奇函数.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
图象关于原点对称,∴f(x)是奇函数.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟1.根据奇偶性可将函数分为奇函数,偶函数,既是奇函数也是偶函数,既不是奇函数又不是偶函数.
2.判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法:
(2)图象法:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练判断下列函数的奇偶性:
(2)f(x)=|x+2|+|x-2|;
(3)f(x)=0.
(2)f(x)的定义域是R,又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)是偶函数.
(3)因为f(x)的定义域为R,又f(-x)=0=f(x),且f(-x)=0=-f(x),所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用函数的奇偶性求解析式
例2已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1.
(1)求f(-1);
(2)求f(x)的解析式.
分析(1)根据奇函数的性质,将f(-1)转化为f(1)求解;(2)先设出所求区间上的自变量,利用奇函数、偶函数的定义域关于原点对称的特点,把它转化到已知解析式的区间上,代入已知的解析式,再次利用函数的奇偶性求解.注意不要忽略x=0时f(x)的解析式.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)因为函数f(x)为奇函数,
所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.
(2)当x<0时,-x>0,则
f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),
所以f(x)=2x2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟1.这类问题常见的情形是:
已知当x∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x∈(-b,-a)时f(x)的解析式.
若f(x)为奇函数,则当x∈(-b,-a)时,
f(x)=-f(-x)=-φ(-x);
若f(x)为偶函数,则当x∈(-b,-a)时,
f(x)=f(-x)=φ(-x).
2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究若将本例中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.
解:当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式为
探究一
探究二
探究三
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函数奇偶性与单调性的综合应用
1.比较函数值的大小
例3已知偶函数f(x)的定义域为R,当f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( )
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)D.f(π)答案:A
解析:∵f(x)在R上是偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).∵2<3<π,且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,
∴f(2)f(π),∴f(-2)探究一
探究二
探究三
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当堂检测
反思感悟应用函数的单调性与奇偶性判断函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究(1)若将本例中的“增函数”改为“减函数”,其他条件不变,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系如何?
(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,比较这三个函数值的大小.
解:(1)因为当x∈[0,+∞)时,f(x)是减函数,所以有f(2)>f(3)>f(π).又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),
从而有f(-2)>f(-3)>f(π).
(2)因为函数为定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上单调递增,所以函数在R上是增函数,
因为-3<-2<π,所以f(-3)探究一
探究二
探究三
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2.解函数不等式
例4已知定义在区间[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递增,若f(1-m)解:因为f(x)在区间[-2,2]上为奇函数,且在区间[0,2]上单调递减,所以f(x)在[-2,2]上单调递减.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟解有关奇函数f(x)的不等式f(a)+f(b)<0,先将f(a)+f(b)<0变形为f(a)<-f(b)=f(-b),再利用f(x)的单调性去掉“f”,化为关于a,b的不等式.另外,要特别注意函数的定义域.
由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我们要利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)=f(-|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号f,使不等式得解.
探究一
探究二
探究三
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延伸探究若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,把区间“[0,2]”改为“[-2,0]”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
解:因为函数为[-2,2]上的偶函数,又函数在[-2,0]上单调递减,所以函数在[0,2]上单调递增,
不等式可化为f(|1-m|)探究一
探究二
探究三
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利用定义法、赋值法解决抽象函数奇偶性问题
典例1若定义在R上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且当x>0时,f(x)<0,则( )
A.f(x)是奇函数,且在R上是增函数
B.f(x)是奇函数,且在R上是减函数
C.f(x)是奇函数,且在R上不是单调函数
D.无法确定f(x)的单调性和奇偶性
探究一
探究二
探究三
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解析:令x1=x2=0,则f(0)=2f(0),所以f(0)=0.
令x1=x,x2=-x,
则f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0,
所以f(-x)=-f(x),故函数y=f(x)是奇函数.
设x10,所以f(x2-x1)<0,
故f(x2)所以函数y=f(x)在R上是减函数.故选B.
答案:B
探究一
探究二
探究三
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典例2已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)·f(x2),
求证:函数f(x)为偶函数.
证明:令x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x).①
令x2=0,x1=x,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x).②
由①②得f(x)+f(-x)=f(x)+f(x),即f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数.
反思感悟1.判断抽象函数的奇偶性,应利用函数奇偶性的定义,找准方向,巧妙赋值,合理、灵活变形,找出f(-x)与f(x)的关系,从而判断或证明抽象函数的奇偶性.
2.有时需要在整体上研究f(-x)+f(x)的和的情况.
比如:上面典例1中利用f(-x)+f(x)=0可得出y=f(x)是奇函数.
探究一
探究二
探究三
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变式训练定义在R上的函数y=f(x)满足:对任意α,β∈R,总有f(α+β)-[f(α)+f(β)]=2
019,则下列说法正确的是( )
A.f(x)-1是奇函数
B.f(x)+1是奇函数
C.f(x)-2
019是奇函数
D.f(x)+2
019是奇函数
答案:D
解析:令α=β=0,则f(0)-[f(0)+f(0)]=2
019,
即f(0)=-2
019.
令β=-α,则f(0)-[f(α)+f(-α)]=2
019,
即f(α)+f(-α)=-4
038,
则f(-α)+2
019=-2
019-f(α)=-[2
019+f(α)],
即f(x)+2
019是奇函数,故选D.
探究一
探究二
探究三
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A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
答案:D
解析:由题意知函数的定义域是(-∞,-4)∪(-4,+∞),不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数又不是偶函数.
探究一
探究二
探究三
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2.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=( )
A.-1
B.-3
C.1
D.3
答案:B
解析:当x≤0时,f(x)=2x2-x,f(-1)=2×(-1)2-(-1)=3.因为f(x)是定义在R上的奇函数,
故f(1)=-f(-1)=-3,故选B.
探究一
探究二
探究三
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答案:D
3.函数f(x)的定义域为R,且对任意x∈R,有f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,则( )
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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6.已知奇函数f(x)在R上是减函数,且f(3a-10)+f(4-2a)<0,求a的取值范围.
解:∵f(3a-10)+f(4-2a)<0,
∴f(3a-10)<-f(4-2a).
∵f(x)为奇函数,
∴-f(4-2a)=f(2a-4).
∴f(3a-10)又f(x)在R上是减函数,∴3a-10>2a-4.
∴a>6.故a的取值范围为(6,+∞).(共33张PPT)
4.2 简单幂函数的图象和性质
激趣诱思
知识点拨
幂函数在生活、建筑、军事等多个领域都有着重要的应用.那么幂函数如何定义?它的图象和性质是怎样的呢?
激趣诱思
知识点拨
一、幂函数的定义
一般地,形如 (α为常数)的函数,即 是自变量、
是常数的函数称为幂函数.?
名师点析1.幂的指数是一个常数,它可以取任意实数;
2.幂值前面的系数是1,否则不是幂函数,如函数y=5
就不是幂函数.
3.幂函数的定义域是使xα有意义的所有x的集合,因α的不同,定义域也不同.
y=xα
底数
指数
激趣诱思
知识点拨
微练习
在函数①y=
,②y=3x2,③y=x2+2x中,幂函数的序号为 .（填序号）
答案:①
解析:函数y=
=x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=xα(α∈R)的形式,所以它不是幂函数.
激趣诱思
知识点拨
二、幂函数的图象和性质
1.常见的五种幂函数的图象
可以发现任一幂函数在第一象限内必有图象,在第四象限内无图象.
激趣诱思
知识点拨
2.幂函数的性质
[0,+∞)
[0,+∞)
[0,+∞)
奇函数
偶函数
既不是奇
函数,也不
是偶函数
奇函数
增函数
单调递增
单调递减
增函数
单调递减
(1,1)
单调递减
激趣诱思
知识点拨
名师点析幂函数y=xα的上述性质可归纳如下:
(1)当α>0时,图象都通过点(0,0),(1,1);在第一象限内,函数单调递增.
(2)当α<0时,图象都通过点(1,1);在第一象限内,函数单调递减,图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限接近.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限.( )
(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1).( )
答案:
(1)× (2)×
激趣诱思
知识点拨
微练习
(2)已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,
),则函数f(x)为( )
A.奇函数且在(0,+∞)上单调递增
B.偶函数且在(0,+∞)上单调递减
C.既不是奇函数,又不是偶函数且在(0,+∞)上单调递增
D.既不是奇函数,又不是偶函数且在(0,+∞)上单调递减
激趣诱思
知识点拨
答案:
(1)
C
(2)
C
探究一
探究二
探究三
探究四
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幂函数的概念
例1函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递增,试确定m的值.
分析由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x>0时单调递增,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性确定m的值.
解:根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,
解得m=3或m=-2.
当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增;
当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上单调递减,不符合要求.故m=3.
探究一
探究二
探究三
探究四
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反思感悟判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.
探究一
探究二
探究三
探究四
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变式训练1如果幂函数y=(m2-3m+3)
的图象不过原点,求实数m的取值.
解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;
当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;
当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.
综上所述,m=1或m=2.
探究一
探究二
探究三
探究四
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幂函数的图象
例2已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为( )
A.cB.aC.bD.c分析利用幂函数在第一象限内的图象特征和性质,结合所给图象分析并判断a,b,c的大小关系.
答案:A
解析:由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0探究一
探究二
探究三
探究四
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反思感悟1.本题也可采用特殊值法,如取x=2,结合图象可知2a>2b>2c,又函数y=2x在R上是增函数,于是a>b>c.
2.对于函数y=xα(α为常数)而言,其图象有以下特点:
(1)恒过点(1,1).
(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).
(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=
,y=x3)来判断.
(4)当α>0时,幂函数在区间(0,+∞)上都是增函数;当α<0时,幂函数在区间(0,+∞)上都是减函数.
探究一
探究二
探究三
探究四
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变式训练2如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是( )
A.nB.mC.n>m>0
D.m>n>0
答案:A
解析:画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,n探究一
探究二
探究三
探究四
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利用幂函数的单调性比较大小
例3比较下列各组中两个数的大小:
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究一
探究二
探究三
探究四
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反思感悟1.比较幂大小的三种常用方法
2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题
比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.
探究一
探究二
探究三
探究四
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A.bB.aC.bD.c答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
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幂函数图象的应用
图象上,问当x为何值时,有:(1)f(x)>g(x),(2)f(x)=g(x),(3)f(x)分析先利用幂函数的定义求出f(x),g(x)的解析式,再利用图象判断.
探究一
探究二
探究三
探究四
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在同一直角坐标系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示:
(1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);
(2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);
(3)当-1探究一
探究二
探究三
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变式训练4已知(0.71.3)m<(1.30.7)m,求m的取值范围.
解:根据幂函数y=x1.3的图象,知当0又根据幂函数y=x0.7的图象,知
当x>1时,y>1,∴1.30.7>1.
于是有0.71.3<1.30.7.
对于幂函数y=xm,由(0.71.3)m<(1.30.7)m知,
当x>0时,随着x的增大,函数值y也增大,所以m>0.
探究一
探究二
探究三
探究四
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幂函数的“凸”性
(1)上凸函数、下凸函数的定义
探究一
探究二
探究三
探究四
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(2)幂函数的凸性
①幂函数y=xα,x∈(0,+∞),在α>1时,函数是下凸函数;
②幂函数y=xα,x∈(0,+∞),在0<α<1时,函数是上凸函数;
③幂函数y=xα,x∈(0,+∞),在α<0时,函数是下凸函数.
这个定义从几何形式上看就是:在函数f(x)的图象上取任意两点,如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的上方,那么这个函数就是上凸函数;如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方,那么这个函数就是下凸函数.根据函数图象判断,一般开口向下的二次函数是上凸函数,开口向上的二次函数是下凸函数.
探究一
探究二
探究三
探究四
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典例如图,fi(x)(i=1,2,3,4)是定义在区间[0,1]上的四个函数,其中满足性质:“对[0,1]中任意的x1和x2,任意λ∈[0,1],
f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)恒成立”的只有( )
A.f1(x)
B.f2(x)
C.f3(x)
D.f4(x)
探究一
探究二
探究三
探究四
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再结合函数f(x)图象的凹凸性,可排除B,C,D三个选项,正确答案为A.
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
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1.幂函数y=kxα过点(4,2),则k-α的值为( )
答案:B
解析:幂函数y=kxα过点(4,2),
探究一
探究二
探究三
探究四
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A.C2,C1,C3,C4
B.C4,C1,C3,C2
C.C3,C2,C1,C4
D.C1,C4,C2,C3
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
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3.幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在区间(0,+∞)上是单调递减,且对定义域中的任意x,有f(-x)=f(x),则m等于( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:B
解析:幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上单调递减,则3m-5<0,即
又m∈N,故m=0或m=1.
∵f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.
当m=0时,f(x)=x-5是奇函数;
当m=1时,f(x)=x-2是偶函数,符合题意.
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究一
探究二
探究三
探究四
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5.比较下列各组中两个值的大小:(共21张PPT)
章末整合
专题一 几种特殊函数模型的应用?
1.二次函数
例1已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a>0)在区间[2,3]上的值域为[2,5].
(1)求a,b的值;
(2)若关于x的函数g(x)=f(x)-(m+1)x在区间[2,4]上为单调函数,求实数m的取值范围.
解:(1)∵f(x)=a(x-1)2+2+b-a,且a>0,
∴函数f(x)的图象开口向上且对称轴为直线x=1.
∴函数f(x)在[2,3]上单调递增.
方法技巧解决二次函数在某区间上的单调性、值域、最值问题,关键是对函数图象的对称轴与给定区间的相对位置关系进行讨论,一般分为对称轴在区间的左侧、内部、右侧三种情况求解.
变式训练1已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2ax+a+2,其中a∈R.
(1)当a=1时,f(-1)= ;?
(2)若f(x)的值域为R,则a的取值范围是 .?
答案:
(1)-2 (2)(-∞,-2]∪[2,+∞)
解析:
(1)已知a=1,∴当x>0时,f(x)=x2-2x+3.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-1)=-f(1)=-(1-2+3)=-2.
(2)由f(x)是定义在R上的奇函数,可得f(0)=0.
又当x>0时,f(x)图象的对称轴为直线x=a,
∴若f(x)的值域为R,
∴a≥2或a≤-2,
即a的取值范围为(-∞,-2]∪[2,+∞).
2.分段函数
取值范围是 .?
点拨解决有关分段函数的不等式问题的一般方法是根据自变量所在范围,及与之对应的函数,化成不含“f”的不等式求解,此时一般需分多种情况进行讨论.若给定的分段函数具有一定的单调性,则可利用单调性去掉符号“f”,运用这种方法求解往往比较简便.
变式训练2已知函数
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
解:(1)设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
∵f(x)是奇函数,即f(-x)=-f(x),
∴当x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,∴m=2.
3.“双曲”函数
例3画出函数y=
的图象,写出函数的单调区间,并求出函数在[-1,2]上的值域.
分析用“分离常数法”将原函数转化成反比例函数类型.
4.“对勾”函数
例4(2019海南中学高一阶段检测)已知函数f(x)=x+
,且f(1)=3.
(1)直接写出m的值及该函数的定义域、值域和奇偶性;
(2)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论.
(3)图象如图所示.这个函数的图象形如两个对勾,因此,我们称它为“对勾”函数.
专题二 利用函数单调性求函数的最值?
(1)判断f(x)在[1,2]和[2,3]上的单调性;
(2)根据f(x)的单调性写出f(x)的最值.
∴f(x1)>f(x2),
即f(x)在[1,2]上是减函数.
当2≤x1∴f(x1)即f(x)在[2,3]上是增函数.
方法技巧
利用定义证明函数的单调性,作差变形要“彻底”,也就是说,要转化为几个因式相乘的形式,且每个因式都能够利用题设条件判断其符号.在证明单调性时,其一般流程为取值、作差、变形、判断符号、结论,最后再借助最值与单调性的关系,写出最值.
变式训练3已知函数f(x)=x2-2x+3在[0,a](a>0)上最大值为3,最小值为2,求实数a的取值范围.
解:f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2.
(1)当0最小值为f(a)=a2-2a+3=(a-1)2+2>2.所以0(2)当a≥1时,函数f(x)=(x-1)2+2在[0,1]上单调递减,在[1,a]上递增,故最小值为f(1)=2.
又因为f(0)=3,所以f(0)≥f(a).
此时,函数f(x)=x2-2x+3在[0,a]上的最大值为3,最小值为2.
综上所述,a的取值范围是1≤a≤2.
专题三 函数性质的综合应用?
例6(1)定义在R上的函数f(x)在(-∞,2)上单调递增,且f(x+2)为偶函数,则( )
A.f(-1)B.f(0)>f(3)
C.f(-1)=f(3)
D.f(0)=f(3)
(2)设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)的图象关于直线x=
对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= .?
答案:
(1)
A
(2)0
解析:
(1)因为f(x+2)为偶函数,所以其图象关于y轴对称,由于f(x+2)的图象可由f(x)的图象向左平移2个单位长度得到,故f(x)的图象关于直线x=2对称.
因为函数f(x)在(-∞,2)上是增函数,所以f(x)在(2,+∞)上单调递增,所以f(-1)=f(5)(2)由f(x)是R上的奇函数,得f(0)=0.
∵f(x)的图象关于直线x=
对称,
于是f(x)=f(1-x),
∴f(1)=f(0)=0,f(2)=f(-1)=-f(1)=0,f(3)=f(-2)=-f(2)=0,f(4)=f(-3)
=-f(3)=0,f(5)=f(-4)=-f(4)=0,从而f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0.
方法技巧偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.这一结论可以推广:①f(a+x)=f(a-x)?f(x)=f(2a-x)?f(x)的图象关于直线x=a对称;②f(a-x)=-f(a+x)?f(x)的图象关于点(a,0)对称.
变式训练4已知函数y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当x∈(0,+∞)时单调递增,若f(1)=0,求不等式f
<0的解集.
解:∵f(x)是奇函数,且f(1)=0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴f(-1)=-f(1)=0,且f(x)在(-∞,0)上单调递增.