(共21张PPT)
§1 对数的概念
激趣诱思
知识点拨
苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为了简化其中的运算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件,恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始、微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就.伽利略也说过:“给我空间、时间及对数,我就可以创造一个宇宙.”对数究竟是什么?它何以有如此大的魅力?它的作用何在?
激趣诱思
知识点拨
一、对数的概念
1.一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以
为底 的对数,记作logaN=b,其中a叫作对数的底数,N叫作真数.?
名师点析“log”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.
a
N
激趣诱思
知识点拨
2.两种特殊的对数:
a=10
常用对数
lg
N
激趣诱思
知识点拨
微点拨
给定底数后,对数运算是指数运算的逆运算.
激趣诱思
知识点拨
微练习
答案:
(1)
B
(2)D
激趣诱思
知识点拨
二、对数的基本性质
1.负数和零没有对数.
2.对于任意的a>0,且a≠1,都有
名师点析1.loga1=0,logaa=1可简述为“1的对数等于0,底的对数等于1”.
2.对数恒等式的特点:(1)指数中含有对数形式;(2)同底,即幂底数和对数的底数相同;(3)其值为对数的真数.
N
激趣诱思
知识点拨
微练习
(2)若log3(log2x)=0,则x= .?
答案:
(1)
D
(2)2
解析:
(2)由已知得log2x=1,故x=2.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
当堂检测
对数式与指数式的互化
例1将下列指数式与对数式互化:
分析利用当a>0,且a≠1时,logaN=b?ab=N进行互化.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟1.logaN=b(a>0,且a≠1)与ab=N(a>0,且a≠1)是等价的,表示a,b,N三者之间的同一种关系.如下表:
2.将指数式化为对数式,只需将幂作为真数,指数作为对数,底数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1将下列指数式与对数式互化:
探究一
探究二
探究三
当堂检测
利用对数式与指数式的关系求值
例2求下列各式中x的值:
(1)4x=5·3x; (2)log7(x+2)=2;
(3)ln
e2=x; (4)logx27=
;
(5)lg
0.01=x.
分析利用指数式与对数式之间的关系求解.
(2)∵log7(x+2)=2,∴x+2=72=49.∴x=47.
(3)∵ln
e2=x,∴ex=e2.∴x=2.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟指数式ax=N与对数式x=logaN(a>0,且a≠1)表示了三个量a,x,N之间的同一种关系,因而已知其中两个时,可以通过对数式与指数式的相互转化求出第三个.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2求下列各式中的x值:
(2)∵log216=x,∴2x=16.∴2x=24.∴x=4.
(3)∵logx27=3,∴x3=27.即x3=33.∴x=3.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
利用对数的基本性质与对数恒等式求值
例3求下列各式中x的值:
(1)ln(log2x)=0; (2)log2(lg
x)=1;
分析利用logaa=1,loga1=0(a>0,且a≠1)及对数恒等式求值.
解:(1)∵ln(log2x)=0,∴log2x=1.∴x=21=2.
(2)∵log2(lg
x)=1,∴lg
x=2.∴x=102=100.
反思感悟1.在对数的运算中,常见的对数的基本性质有:(1)负数和零没有对数;(2)loga1=0(a>0,且a≠1);(3)logaa=1(a>0,且a≠1).
2.对指数中含有对数的式子进行化简、求值时,应充分考虑对数恒等式的应用.对数恒等式
=N(a>0,且a≠1,N>0)的结构特点是:(1)指数中含有对数;(2)它们是同底的;(3)其值为对数的真数.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练3求下列各式中x的值:
(1)ln(lg
x)=1;
(2)log2(log5x)=0;
解:(1)∵ln(lg
x)=1,∴lg
x=e.∴x=10e.
(2)∵log2(log5x)=0,∴log5x=1.∴x=5.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
1.将log5b=2化为指数式是( )
A.5b=2
B.b5=2
C.52=b
D.b2=5
答案:C
答案:C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
3.若对数log(x-1)(4x-5)有意义,则x的取值范围是( )
4.已知a=log23,则2a= .?
答案:C
答案:3
解析:由a=log23,化对数式为指数式可得2a=3.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
5.求下列各式中x的值:
(3)log3(lg
x)=1.(共30张PPT)
2.1 对数的运算性质 2.2 换底公式
激趣诱思
知识点拨
地震是一种常见的自然灾害,它的强度一般用里氏震级来表示.里氏震级是一种以发生地震时产生的水平位移作为判断标准的地震震级标度,共分9个等级,地震越大,震级的数字也越大.震级每增加一级,通过地震释放的能量约增加32倍.里氏震级的计算公式是
震波的最大振幅,单位是μm;Amax是指我们关注的这个地震在距震中100
km处接收到的地震波的最大振幅,单位是μm.
如果知道了相关数据,那么如何计算震级呢?
激趣诱思
知识点拨
一、对数的运算性质
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.对数的运算性质必须在同底数时才能使用,而且必须保证式子中的所有对数都有意义.
2.会用语言准确地叙述运算性质,如loga(MN)=logaM+logaN叙述为“两个正数乘积的对数等于这两个正数同底的对数之和”或“两个正数同底的对数之和等于这两个正数乘积的对数”.
3.熟练掌握对数运算性质的逆向使用:逆向应用对数运算性质,可将几个对数式化为一个对数式,有利于化简求值.例
激趣诱思
知识点拨
微拓展
性质(1)可以推广到真数为有限多个正因数相乘的情形,即loga(N1N2…Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk(k≥2,k∈N+).
微判断
log3[(-4)×(-5)]=log3(-4)+log3(-5).( )
×
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
激趣诱思
知识点拨
微练习
A.0
B.2
C.4
D.6
答案:A
解析:原式=2lg
5+2lg
2-2=2(lg
5+lg
2)-2=0.
激趣诱思
知识点拨
二、换底公式
一般地,若a>0,b>0,c>0,且a≠1,c≠1,则logab=
.这个结论称为对数的换底公式.
名师点析1.换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义.
2.换底公式的意义就在于把对数式的底数改变,把不同底问题转化为同底问题进行化简、计算和证明.换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底,要由具体已知的条件来确定,一般换成以10为底的常用对数.
激趣诱思
知识点拨
微拓展
几个常用推论:
a≠1,b>0,m≠0,n∈R);
(3)logab·logba=1(a>0,b>0,且a≠1,b≠1);
(4)logab·logbc·logcd=logad(a>0,b>0,c>0,且a≠1,b≠1,c≠1,d>0).
激趣诱思
知识点拨
微练习
(多选题)下列等式正确的是( )
答案:
ABC
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
对数运算性质的应用
例1计算下列各式的值:
分析利用对数的运算性质进行计算.
(2)原式=2lg
5+2lg
2+lg
5×(1+lg
2)+(lg
2)2
=2(lg
5+lg
2)+lg
5+lg
2(lg
5+lg
2)
=2+lg
5+lg
2=2+1=3.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟对于底数相同的对数式的化简、求值常用的方法
(1)“收”,将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数;
(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).
对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯.lg
2+lg
5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练1计算:
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
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换底公式的应用
例2计算下列各式的值:
分析用换底公式将对数化为同底的对数后再化简求值.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟1.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决对数的求值问题.
2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练2计算:(1)log23·log36·log68;
(2)(log23+log43)(log32+log274).
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
有附加条件的对数求值问题
(2)设ax=by=cz=k(k>0).
∵a,b,c是不等于1的正数,
∴lg
ax=lg
k,lg
by=lg
k,lg
cz=lg
k.
∴x=logak,y=logbk,z=logck.
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
反思感悟条件求值问题的求解方法
带有附加条件的代数式求值问题,需要对已知条件和所求式子进行化简转化,原则上是化为同底的对数,以便利用对数的运算性质.要整体把握对数式的结构特征,灵活运用指数式与对数式互化进行解题.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解对数方程
例4解下列方程:
(1)lg
x2-lg(x+2)=0;
(2)lg
x-lg
3=2lg
5-lg(x-10).
探究一
探究二
探究三
探究四
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解得x=15或x=-5.
经检验x=15是原方程的根.
探究一
探究二
探究三
探究四
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反思感悟对数方程的类型与解法
(1)logaf(x)=b(f(x)>0,a>0,且a≠1)型,解法为将对数式转化为指数式f(x)=ab,解出x,注意检验.
(2)logf(x)n=b(f(x)>0,且f(x)≠1,n>0)型,解法为将对数式化为指数式[f(x)]b=n,解出x,注意检验.
(3)形如logaf(x)=logaφ(x)(f(x)>0,且φ(x)>0),解法为转化为f(x)=φ(x)求解,注意检验.
(4)形如f(logax)=0(a>0,且a≠1,x>0),解法为换元,令t=logax,转化为关于t的方程f(t)=0,得t=p,再解方程logax=p,得到x=ap,注意检验.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练3解下列方程:
(1)log3(x2-10)=1+log3x;
(2)lg
x+2log(10x)x=2.
原方程可化为log3(x2-10)=log33x.
所以x2-10=3x,解得x=-2或x=5.
检验知,方程的解为x=5.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
一题多解
典例已知log189=a,18b=5,试用a,b表示log3645.
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
技巧点拨与对数相关的带有附加条件的代数式求值问题.需要对已知条件和所求式子进行化简转化,原则是化为同底的对数,以便利用对数的运算性质.要整体把握对数式的结构特征,灵活运用指数式与对数式的互化.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1.log248-log23=( )
A.log244
B.2
C.4
D.-2
2.log52·log425等于( )
答案:C
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
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4.已知3a=2,用a表示log34-log36= .?
答案:D
答案:a-1
解析:∵3a=2,∴a=log32.
∴log34-log36=log322-log3(2×3)
=2log32-log32-log33=a-1.
探究一
探究二
探究三
探究四
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答案:-log26 36
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
=log78-log79+log79-log78=0.
(2)原式=lg
2(lg
2+lg
500)+3lg
5
=lg
2·lg
1
000+3lg
5=3lg
2+3lg
5
=3(lg
2+lg
5)=3lg
10=3.(共40张PPT)
§3 对数函数
第1课时 对数函数的概念、图象与性质
激趣诱思
知识点拨
某种细胞进行分裂,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……,则1个这样的细胞分裂x次后得到细胞个数y如何表示?反之,如果知道一个细胞经过x次分裂后得到了1
024个细胞,该如何求解x的值呢?
激趣诱思
知识点拨
一、对数函数
1.对数函数的概念
(1)一般地,函数
叫作对数函数,其中a称为 ,由定义可知,对数函数具有以下基本性质:①定义域是 ;②图象过定点 .?
(2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.两者的定义域与值域正好互换.
2.两种特殊的对数函数
以 为底的对数函数为常用对数函数,记作y=lg
x;以 为底的对数函数为自然对数函数,记作y=ln
x.?
y=logax(a>0,且a≠1)
底数
(0,+∞)
(0,1)
10
无理数e
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.判断一个函数是不是对数函数的依据:
(1)形如y=logax;
(2)底数a满足a>0,且a≠1;
(3)真数为x,而不是x的函数.
2.根据指数式与对数式的关系知,y=logax可化为ay=x,
由指数函数的性质,可知在对数函数中,有a>0,且a≠1,x>0,y∈R.
3.同底的指数函数与对数函数互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)下列函数是对数函数的是( )
A.y=logax+2(a>0,且a≠1,x>0)
激趣诱思
知识点拨
微拓展
1.若函数y=f(x)图象上有一点(a,b),则点(b,a)必在其反函数图象上;反之亦然.
2.单调函数的反函数与原函数有相同的单调性.
3.若一个奇函数存在反函数,则这个反函数也是奇函数.
激趣诱思
知识点拨
二、对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图象和性质
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.对数函数的图象都在y轴的右侧,y轴可以看成对数函数图象的渐近线,x的取值越接近于0,图象越接近y轴.
2.对数函数函数值的符号常受到底数和真数的范围的制约,注意对底数a的分类讨论.
3.两个底数都大于1的对数函数,图象在第一象限内越接近x轴,底数越大;两个底数都大于0小于1的对数函数,图象在第四象限内越接近x轴,底数越小.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)(多选题)若函数y=logax的图象如图所示,则a的值不可能是( )
A.0.5 B.2
C.e
D.π
(2)下列函数中,在区间(0,+∞)上不单调递增的是( )
A.y=5x
B.y=lg
x+2
C.y=x2+1
(3)函数f(x)=loga(x-2)的图象必经过定点 .?
激趣诱思
知识点拨
答案:(1)BCD (2)D (3)(3,0)
解析:(1)∵函数y=logax在(0,+∞)上单调递减,∴0
(3)由对数函数的性质可知,当x-2=1,即x=3时,y=0,即函数图象恒过定点(3,0).
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
对数函数的概念
例1(1)已知函数f(x)=(m2-3m+3)·logmx是对数函数,则m= .?
①求f(x)的解析式;
②解方程f(x)=2.
分析(1)根据对数函数的形式定义确定参数m所满足的条件求解即可;(2)根据已知设出函数解析式,代入点的坐标求出对数函数的底数,然后利用指对互化解方程.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
(1)
答案:
2
解析:由对数函数的定义可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因为m>0,且m≠1,所以m=2.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
反思感悟1.对数函数是一个形式定义:
2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数解析式时只须一个条件即可.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
变式训练1(1)若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a= .?
(2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n= .?
解得a=4.
(2)设对数函数为f(x)=logax(a>0,且a≠1).
则由题意可得f(8)=-3,即loga8=-3,
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
指数函数与对数函数关系的应用
例2(2020四川宜宾高一检测)已知函数f(x)=log2x,若函数g(x)是f(x)的反函数,则f(g(2))=( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:B
解析:∵g(x)是f(x)的反函数,∴g(x)=2x.
∴g(2)=22=4,∴f(g(2))=f(4)=log24=2.
反思感悟涉及指数函数和对数函数互为反函数的问题,一定注意前提是“同底数”,且它们的图象关于直线y=x对称;反之,两个函数图象关于直线y=x对称,则这两个函数互为反函数.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
变式训练2已知函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,当x>0时,函数f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于直线y=x对称,则g(-1)+g(-2)=( )
A.-7
B.-9
C.-11
D.-13
答案:C
解析:由题意知f(x)=2x,
所以当x>0时,g(x)=2x+x2.
又∵g(x)为奇函数,∴g(-1)=-g(1)=-3,g(-2)=-g(2)=-(22+22)=-8.
∴g(-1)+g(-2)=-11.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
与对数函数有关的定义域、值域问题
例3(1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为( )
A.(-∞,0)∪(1,+∞)
B.(-∞,0]∪[1,+∞)
C.(0,1)
D.[0,1]
(2)已知函数f(x)=2lo
x的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域是 .?
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
解析:
(1)由题意得x2-x>0,
解得x>1或x<0,
故函数的定义域是(-∞,0)∪(1,+∞).故选A.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
反思感悟定义域问题注意事项
(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法,如分式分母不为零,偶次根式被开方式大于或等于零等.
(2)遵循对数函数自身的要求:一是真数大于零;二是底数大于零且不等于1;三是按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
对数函数的图象
例4函数y=log2x,y=log5x,y=lg
x的图象如图所示.
(1)指出三个函数分别对应于哪个图象,并说明理由;
(3)从(2)的图中你发现了什么?
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
解:(1)①对应函数y=lg
x,②对应函数y=log5x,③对应函数y=log2x.这是因为当底数全大于1时,在x=1的右侧,底数越大的函数图象越靠近x轴.
(2)在题图中的平面直角坐标系中分别画出
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
反思感悟对数函数图象的变化规律:
1.对于几个底数都大于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越接近x轴;对于几个底数都大于0且小于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越远离x轴.以上规律可总结成x>1时“底大图低”.实际上,作出直线y=1,它与各图象交点的横坐标即各函数的底数,如图所示.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
变式训练3作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.
解:先画出函数y=lg
x的图象(如图①).
再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图②).
最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图③).
由图易知函数的定义域为在区间(1,+∞),值域为[0,+∞),函数在区间(1,2]上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
利用对数函数的性质比较大小
例5比较下列各组中两个值的大小:
(1)log31.9,log32;
(2)log23,log0.32;
(3)logaπ,loga3.141(a>0,且a≠1).
分析(1)构造函数f(x)=log3x,利用其单调性比较大小;
(2)分别比较两个对数与0的大小;
(3)分类讨论底数a的取值范围,再利用单调性比较大小.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
解:(1)(单调性法)因为f(x)=log3x在(0,+∞)上是增函数,且1.9<2,所以f(1.9)(2)(中间量法)因为log23>log21=0,log0.32log0.32.
(3)(分类讨论法)当a>1时,函数y=logax在定义域内是增函数,则有logaπ>loga3.141;
当0综上所述,当a>1时,logaπ>loga3.141;
当0探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
反思感悟比较两个对数式大小的常用方法
(1)底数相同真数不同时,用对数函数的单调性进行比较;
(2)底数不同真数相同时,用对数函数的图象与底数的关系来比较,也可用换底公式转化为底数相同的函数;
(3)底数和真数都不同,则寻求中间值作媒介进行比较;
(4)对于有多个数值的大小比较,则应先根据每个数的结构特征,以及它们与“0”和“1”的大小情况进行分组,再比较各组内的数值的大小即可.
对于含有参数的两个对数值的大小比较,要注意对底数是否大于1进行分类讨论,不过对于这一类的大小比较问题,并不是底数为参数时,就一定要讨论,而应遵循的原则是尽量回避或推迟讨论.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
变式训练4比较下列各组中两个值的大小:
(1)ln
0.3,ln
2;
(2)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1);
(3)log30.2,log40.2;
(4)log3π,logπ3.
解:(1)因为函数y=ln
x在定义域内是增函数,且0.3<2,
所以ln
0.32.
(2)当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,又3.1<5.2,所以loga3.1当0loga5.2.
故当a>1时,loga3.1当0loga5.2.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
(3)(方法一)因为0>log0.23>log0.24,
(方法二)画出y=log3x与y=log4x的图象,如图所示,
由图可知log40.2>log30.2.
(4)因为函数y=log3x在定义域内是增函数,且π>3,
所以log3π>log33=1.
同理,1=logππ>logπ3,所以log3π>logπ3.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
互为反函数的两个函数图象间的关系
我们知道,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.它们的图象有什么关系呢?下面,请你运用所学的数学知识和计算工具,探索几个问题,亲自发现其中的奥秘吧!
(1)在同一直角坐标系中,画出指数函数y=2x及其反函数y=log2x的图象.你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗?
(2)取y=2x图象上的几个点,如P1
,P2(0,1),P3(1,2),P1,P2,P3关于直线y=x的对称点的坐标是什么?它们在y=log2x的图象上吗?为什么?
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
(3)如果点P0(x0,y0)在函数y=2x的图象上,那么P0关于直线y=x的对称点在函数y=log2x的图象上吗?为什么?
(4)根据上述探究过程,你可以得到什么结论?
(5)上述结论对于指数函数y=ax(a>0,且a≠1)及其反函数y=logax(a>0,且a≠1)也成立吗?为什么?
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
答案:(1)y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称.
(2)点P1,P2,P3关于直线y=x的对称点的坐标分别为
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
(4)y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
A.[-1,3)
B.(-1,3)
C.(-1,3]
D.[-1,3]
A.[-1,0]
B.[0,1]
C.[1,+∞)
D.(-∞,-1]
答案:C
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
A.yB.xC.1D.1答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
4.若函数f(x)=-5loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是 .?
5.若a=log0.20.3,b=log26,c=log0.24,则a,b,c的大小关系为 .?
答案:
(2,2)
解析:令x-1=1,得x=2.∵f(2)=2,
∴f(x)的图象恒过定点(2,2).
答案:b>a>c
解析:因为f(x)=log0.2x在定义域内为减函数,且0.2<0.3<1<4,所以log0.20.2>log0.20.3>log0.21>log0.24,
即1>a>0>c.
同理log26>log22=1,所以b>a>c.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
6.已知函数f(x)=log3x.
(1)作出这个函数的图象;
(2)若f(a)解:(1)作出函数y=log3x的图象如图所示.
(2)由图象知,函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增.当0第2课时 习题课 对数函数图象与
性质的应用
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
解对数不等式
例1(1)满足不等式log2(2x-1)探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
又函数y=log2x在(0,+∞)上是单调递增,
所以2x-1<-x+5,解得x<2.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟对数不等式的三种考查类型及求解方法
(1)形如logax>logab的不等式,借助函数y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数的形式,再借助函数y=logax的单调性求解.
(3)形如logax>logbx的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
对数型复合函数的单调性问题
(2)若函数f(x)=lg(x2+ax-a-1)在区间[2,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟对数型复合函数的单调性的求解方法及注意问题
(1)对数型复合函数一般可分为两类:一类是外层函数为对数函数,即y=logaf(x);另一类是内层函数为对数函数,即y=f(logax).
①对于y=logaf(x)型的函数的单调性,有以下结论:函数y=logaf(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同,在0②研究y=f(logax)型复合函数的单调性,一般用换元法,即令t=logax,则只需研究t=logax及y=f(t)的单调性即可.
(2)研究对数型复合函数的单调性,一定要注意先研究函数的定义域,也就是要坚持“定义域优先”的原则.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
对数型复合函数的奇偶性问题
例3已知f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x)(a>0,且a≠1).
(1)求函数y=f(x)-g(x)的定义域;
(2)判断函数y=f(x)-g(x)的奇偶性.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟对数型复合函数奇偶性的判断方法
对数函数是非奇非偶函数,但与某些函数复合后,就具有奇偶性了,如y=log2|x|就是偶函数.证明这类函数具有奇偶性的方法是利用函数奇偶性的定义,并结合对数的运算性质.
为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数解析式进行化简或
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:1
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
与对数函数有关的值域与最值问题
例4求下列函数的值域:
(1)y=log2(x2+4);
解:(1)y=log2(x2+4)的定义域为R.
∵x2+4≥4,∴log2(x2+4)≥log24=2.
∴y=log2(x2+4)的值域为[2,+∞).
(2)设u=8-2x-x2=-(x+1)2+9≤9,
又u>0,∴0探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟与对数函数有关的值域与最值问题的处理方法
(1)求解最值问题,一定要注意转化思想的应用,求与对数函数有关的二次函数的最大值、最小值问题,一般要转化为求二次函数的最值问题,求二次函数的最值时常用配方法,配方时注意自变量的取值范围.
(2)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数值域的步骤:①分解成两个函数y=logau,u=f(x);②求f(x)的定义域;③求u的取值范围;④利用单调性求解y=logau
(a>0,且a≠1)的值域.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练4已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及y取最大值时x的值.
解:∵f(x)=2+log3x,∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2
=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3.∵函数f(x)的定义域为[1,9],
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
与对数函数有关的图象变换问题
答案:(-∞,-2)
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:③
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
A.(3,5]
B.[-3,5]
C.[-5,3)
D.[-5,-3]
答案:C
解析:要使函数有意义,则3-log2(3-x)≥0,
即log2(3-x)≤3,∴0<3-x≤8,∴-5≤x<3.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:D
解析:令t=x2-4>0,可得x>2或x<-2.
故函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:
(-2,0)
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
4.已知log0.72x答案:
(1,+∞)
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测(共30张PPT)
§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
§5 信息技术支持的函数研究
激趣诱思
知识点拨
一家世界500强公司曾经出过这样的一道面试题:
现在有一套房子,价格200万元,假设房价每年上涨10%,某人每年固定能一共攒下40万元,如果他想买这套房子,在不贷款,收入不增加的前提下,这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子?
A.5年
B.7年
C.8年
D.9年
E.永远买不起
房子每年的价格满足什么函数关系?这个人每年的收入之和满足什么函数关系?你能给出这道题的答案吗?
激趣诱思
知识点拨
指数函数、幂函数、对数函数增长速度的比较
1.幂函数与对数函数增长速度的比较
幂函数y=xc(x>0,c>0)比对数函数y=logbx(b>1)增长快,而且快很多.当b>1,c>0时,即使b很接近于1,c很接近于0,都有y=xc比y=logbx增长快.
2.指数函数与幂函数增长速度的比较
当x的值充分大时,指数函数y=ax(a>1)比幂函数y=xc(x>0,c>0)增长快,而且快很多.当a>1,c>0时,即使a很接近于1,c很大,都有y=ax比y=xc增长快.
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.对数函数y=logbx(b>1)在区间(0,+∞)上,随着x的增长,增长的越来越慢,图象渐渐地接近与x轴平行,尽管在x的一定变化范围内,logbx可能会大于xc,但是由于logbx的增长慢于xc的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时就会有logbx2.对于指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xc(x>0,c>0),在区间(0,+∞)上,无论c比a大多少,尽管在x的一定变化范围内,ax会小于xc,但由于ax的增长快于xc的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有ax>xc.
3.当底数a>1时,由于指数函数y=ax的值增长非常快,人们称这种现象为“指数爆炸”.
激趣诱思
知识点拨
微探究
(1)画出一次函数y=2x,对数函数y=lg
x和指数函数y=2x的图象,并比较它们的增长差异;
(2)试着概括一次函数y=kx(k>0),对数函数y=logbx(b>1)和指数函数y=ax(a>1)的增长差异;
(3)讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.
激趣诱思
知识点拨
答案:(1)
①y=2x的图象在(0,+∞)上匀速上升;
②y=2x的图象在(0,+∞)上上升越来越快;
③y=log10x的图象在(0,+∞)上上升越来越慢.
(2)①y=kx(k>0)的图象在(0,+∞)上匀速上升;
②y=logbx(b>1)的图象在(0,+∞)上增长越来越慢;
③y=ax(a>1)的图象在(0,+∞)上增长越来越快.
(3)直线上升→匀速上升,对数增长→缓慢增长,指数爆炸→增长越来越快.
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)y=ax(a>1),y=xn(x>0,n>1)和y=logax(a>1)都是增函数,且它们的增长速度是一样的.( )
(2)指数函数一定比对数函数增长的快.( )
答案:
(1)× (2)
×
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
函数增长快慢的比较
例1已知函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图,
设两个函数的图象相交于点A(x1,y1)和B(x2,y2),且x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应哪一个函数;
(2)若x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},指出a,b的值,并说明理由.
分析(1)由指数函数和幂函数不同的增长速度可判断曲线所对应的函数;(2)通过计算比较函数值的大小关系,求出a,b的值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知:C1对应函数g(x)=x3,C2对应函数f(x)=2x.
(2)依题意知x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值.当xx3,即f(x)>g(x);
当x1当x>x2时,f(x)>g(x).
因为f(1)=2,g(1)=1,f(2)=22=4,g(2)=23=8,
所以x1∈[1,2],即a=1.
又因为f(8)=28=256,g(8)=83=512,
f(8)g(9)=93=729,f(9)f(10)=210=1
024,g(10)=103=1
000,f(10)>g(10),所以x2∈[9,10],即b=9.综上可知,a=1,b=9.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟比较函数增长快慢的方法:(1)利用指数函数、幂函数、对数函数的不同的增长特点比较函数增长的快慢;(2)借助函数图象,通过图象特点以及变化趋势来比较函数的增长快慢;(3)通过计算相同区间上函数值的增量的大小来比较函数增长的快慢.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1(1)下列所给函数,增长最快的是( )
A.y=5x
B.y=x5
C.y=log5x
D.y=5x
(2)以下是三个函数y1,y2,y3随x变化的函数值列表:
其中符合指数函数变化的函数是 .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:
(1)
D
(2)y1
解析:(1)在一次函数、幂函数、对数函数和指数函数中,增长最快的是指数函数y=5x,故选D.
(2)通过观察、猜想、归纳,函数y1符合指数函数的变化.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
根据函数的不同增长特点比较大小
例2比较下列各组数的大小:
分析先观察各组数值的特点,再考虑构造适当的函数,利用函数的性质或图象进行求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)令函数y1=x2,y2=log2x,y3=2x.在同一坐标系内作出上述三个函数的图象如图,然后作直线x=0.3,此直线必与上述三个函数图象相交.由图象知log20.3<0.32<20.3.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟1.比较函数值大小的关键在于构造恰当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同而底数相同,则考虑指数函数;若底数不同,指数也不同,则需引入中间量.
2.将涉及的函数图象在同一直角坐标系中画出来,通过图象位置之间的关系比较大小.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
A.aB.aC.bD.b答案:B
解析:由已知结合对数函数图象和指数函数图象得到a<0,01,因此选B.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
函数不同增长特点在实际问题中的应用
例3某公司为了实现1
000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型符合该公司要求?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:借助计算器或计算机作出函数y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x在第一象限的图象如图所示:
观察图象发现,在区间[10,1
000]上,模型y=0.25x,y=1.002x
的图象都有一部分在y=5的上方,这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励才符合公司要求,下面通过计算确认上述判断.
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元.
对于模型y=0.25x,它在区间[10,1
000]上是单调递增的,
当x∈(20,1
000]时,y>5,因此该模型不符合要求.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
对于模型y=1.002x,利用计算器,可知1.002806≈5.005,由于y=1.002x在(-∞,+∞)上是增函数,故当x∈(806,1
000]时,y>5,因此,也不符合要求.
对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1
000]上是增加的,且当x=1
000时,y=log71
000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
再计算按模型y=log7x+1奖励时,奖金是否超过利润x的25%,即当x∈[10,1
000]时,利用计算器或计算机作f(x)=log7x+1-0.25x的图象(图略),由图象可知f(x)在[10,1
000]上是减少的,因此
f(x)7<0,即log7x+1<0.25x.所以当x∈[10,1
000]时,y<0.25x.这说明,按模型y=log7x+1进行奖励,奖金不超过利润的25%.综上所述,模型y=log7x+1符合公司要求.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟1.在实际问题中,选择函数模型时,首先要明确各种不同函数在增长快慢上的差异,其次要根据问题的实际需要,辅之以必要的数据计算,从而选择最恰当的函数模型.
2.从这个例题可以看到,底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多,而后者又比底数大于1的对数函数模型增长速度要快,从而我们可以体会到对数增长、直线上升、指数爆炸等不同函数类型增长的含义.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练3某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升,中间几次连续下降的趋势.现有三种函数模型:①f(x)=pqx,②f(x)=logax+q,③f(x)=(x-1)(x-q)2+p(其中p,q为正常数,且q>2).若要较准确反映数学成绩与考试次序关系,应选 作为模拟函数（填序号）;若f(1)=4,f(3)=6,则所选函数f(x)的解析式为
.?
答案:③ f(x)=(x-1)(x-4)2+4
解析:由于指数函数增长迅速,而对数型函数增长缓慢,因此满足先上升后下降再上升的是f(x)=(x-1)(x-q)2+p,∵f(1)=4,f(3)=6,且q>2,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
指数爆炸与生活哲学
指数函数的爆炸式增长源自指数运算的性质.对指数运算不熟悉的人,在估计指数运算的值时,可能会出现比较大的误差.例如,你能猜出以下各指数运算的值都大概是多少吗?
1.01365≈?
1.02365≈?
0.99365≈?
1.01219×0.98146≈?
0.9550≈?
有意思的是,如图所示,有人还用上述这些指数运算的值形象地解释了一些生活哲学,你觉得有道理吗?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.01365≈37.78
0.99365≈0.03
积跬步以至千里
积怠惰以至深渊 1.02365≈1
377.41
1.01365≈37.78
多百分之一的努力
得千份收获
1.01219×0.98146≈0.46
三天打鱼两天晒网
终将一无所获
0.9550≈0.08
如果每次失败的概率是95%
连续失败50次的概率不到8%
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是( )
A.y=100x
B.y=log100x
C.y=x100
D.y=100x
答案:D
解析:由于指数型函数的增长是爆炸式增长,则当x越来越大时,函数y=100x的增长速度最快.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.若x∈(0,1),则下列结论正确的是( )
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.为了治理沙尘暴,A市政府大力加强环境保护,其周边草场绿色植被面积每年都比上一年增长10.4%,那么经过x年绿色植被的面积为y,则y=f(x)的图象大致为( )
答案:D
解析:由已知条件可得函数关系y=f(x)=a(1+10.4%)x,a为草场绿色植被的初始面积,故选D.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.若a>1,n>0,则当x足够大时,ax,xn,logax中最大的是 .?
答案:ax
解析:由指数函数、幂函数和对数函数增长快慢的差别易知,当x足够大时,ax>xn>logax.
探究一
探究二
探究三
素养形成
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5.已知y随x的变化关系如下表:
则函数y随x呈 型增长趋势.?
答案:指数
解析:根据表格中给出的数据作出函数的大致图象(图略),由图象可知,y随x呈指数型函数的增长趋势.(共17张PPT)
章末整合
专题一 对数的运算?
例1求下列各式的值:
(2)原式=2lg
5+2lg
2+lg
5(1+lg
2)+(lg
2)2
=2(lg
2+lg
5)+lg
5+lg
2(lg
5+lg
2)=2+lg
5+lg
2=3.
方法技巧对数运算的常用技巧
(1)“折”,将积(商)的对数拆成对数的和(差);
(2)“收”,将同底的对数的和(差)收成积(商)的对数;
(3)“1”的代换:1=lg
2+lg
5,1=logaa;
(4)充分利用整式的乘法公式与因式分解.
变式训练1设a,b,c均为正数,且满足a2+b2=c2.
专题二 对数换底公式的应用?
例2(1)计算:
方法技巧利用对数的换底公式化简、求值的思路
(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化为同底数的对数式,将一般对数转化为自然对数或常用对数来运算,要注意换底公式的正用、逆用.
(2)用已知对数式的值表示底数不同的对数值时,要先利用换底公式统一底数,再利用对数运算性质转化.
(3)当一个题目中同时出现对数式和指数式时,一般需要统一成一种表达形式.
变式训练2(1)已知log89=a,log25=b,用a,b表示lg
3;
专题三 对数函数的图象及应用?
方法技巧与对数型函数有关的方程或不等式问题的处理方法
此类问题常常结合对数型函数的图象来解决,即数形结合法.应用时要准确地画出图象,把方程的根、不等式的解等问题转化为函数图象之间的关系问题.
a,b,c,d是互不相等的正数,且满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd的取值范围为( )
A.(18,28)
B.(18,25)
C.(20,25)
D.(21,24)
答案:D
解析:作出y=f(x)的图象,如图,不妨设a=-c2+10c=-(c-5)2+25,所以abcd∈(21,24).
专题四 对数函数性质的综合应用?
例4已知函数f(x)=loga(ax-
)(a>0,且a≠1为常数).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若a=2,试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性;
(3)若函数y=f(x)是增函数,求a的取值范围.
方法技巧解与对数型复合函数有关的性质问题,要注意函数定义域,联系已知函数与对数函数的关系,以对数函数的性质为依托,结合单调性、奇偶性的定义和性质求解.
(2)当x∈[-a,a](其中a∈(0,1),且a为常数)时,f(x)是否存在最小值?如果存在,求出最小值;如果不存在,请说明理由.