(共29张PPT)
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
激趣诱思
知识点拨
请观察右图,这是气象局测得某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象),由于图象中有一段被墨水污染了,现在有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度,你能帮助他吗?
激趣诱思
知识点拨
一、函数的零点
1.代数定义:使得f(x0)=0的 称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.?
2.几何定义:f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的 .?
数x0
横坐标
名师点析1.函数的零点是一个实数,而不是一个点.例如,函数f(x)=x+1的零点是-1,而不是(-1,0).
2.并不是所有的函数都有零点,如f(x)=1,f(x)=x2+1就没有零点.
3.若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内.
4.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的解,也就是函数y1=f(x)与y2=g(x)的图象交点的横坐标.
激趣诱思
知识点拨
微练习
函数f(x)=x2-1的零点是( )
A.(±1,0) B.(1,0)
C.0
D.±1
答案:D
解析:解方程f(x)=x2-1=0,得x=±1,因此函数f(x)=x2-1的零点是±1.
激趣诱思
知识点拨
二、零点存在定理
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点.即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
1.定理要求具备两个条件:(1)函数在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线;(2)f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可.
2.利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在,而不能确定零点的个数.
3.若函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上是一条连续的曲线,则由f(a)·f(b)<0可以推出函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点,但是由函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点不一定能推出f(a)·f(b)<0.如f(x)=x2在(-1,1)内存在零点,但f(-1)·f(1)>0.
4.如果单调函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有唯一的零点,即存在唯一的x0∈(a,b),使得f(x0)=0,这个x0也就是方程f(x)=0的解.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
函数y=f(x)的图象是在闭区间[a,b]上的一条连续不断的曲线.若f(a)·f(b)>0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点.( )
微练习2
函数f(x)=x3+2x+1的零点一定位于下列哪个区间上( )
A.[-2,-1] B.[-1,0]
C.[0,1]
D.[1,2]
答案:×
答案:B
解析:因为f(-2)=-11<0,f(-1)=-2<0,f(0)=1>0,f(1)=4>0,f(2)=13>0,
所以f(-1)·f(0)<0.所以f(x)的零点在区间[-1,0]上.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
求函数的零点
例1判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点.
(1)f(x)=-8x2+7x+1;
(2)f(x)=1+log3x;
(3)f(x)=4x-16.
分析可通过解方程f(x)=0求得函数的零点.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的解,也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴交点的横坐标即函数的零点.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)的零点.
解:由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的解.
所以函数y=logn(mx+1)的解析式为y=log2(-2x+1).
令log2(-2x+1)=0,得x=0.
所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
函数零点个数的判断
例2判断下列函数零点的个数:
(1)f(x)=(x2-4)log2x;
(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1.
又因为函数定义域为(0,+∞),所以x=-2不是函数的零点,故函数有2和1两个零点.
画出函数g(x)和h(x)的图象如图所示.由图象可知,两个函数图象只有一个交点,故函数只有一个零点.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(3)(方法一)∵f(0)=1+0-2=-1<0,
f(2)=4+lg
3-2=2+lg
3>0,
∴f(x)=0在(0,2)上必定存在实根.
又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)上为增函数,故f(x)有且只有一个零点.
(方法二)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象,如图所示.
由图象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的图象有且只有一个公共点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟判断函数零点个数的常用方法
1.解方程f(x)=0,方程f(x)=0解的个数就是函数f(x)零点的个数.
2.直接作出函数f(x)的图象,图象与x轴交点的个数就是函数f(x)零点的个数.
3.f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐标系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,则两个图象交点的个数就是函数y=f(x)零点的个数.
4.若证明一个函数的零点唯一,也可先由零点存在定理判断出函数有零点,再证明该函数在定义域内单调.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2(1)若abc≠0,且b2=ac,则函数f(x)=ax2+bx+c的零点的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.1或2
答案:A
解析:∵b2=ac,
∴方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac=b2-4b2=-3b2.
∵abc≠0,∴b≠0.因此Δ<0.
故函数f(x)=ax2+bx+c的零点个数为0.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)判断函数f(x)=x-3+ln
x的零点个数.
解:(方法一)令f(x)=x-3+ln
x=0,则ln
x=3-x.
在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=ln
x与y=-x+3的图象,如图所示.由图可知函数y=ln
x与y=-x+3的图象只有一个公共点,即函数f(x)=x-3+ln
x只有一个零点.
(方法二)因为f(3)=ln
3>0,
所以f(3)·f(2)<0,
说明函数f(x)=x-3+ln
x在区间(2,3)内有零点.
又f(x)=x-3+ln
x在区间(0,+∞)上是增函数,所以原函数只有一个零点.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
已知零点个数求参数的取值范围
A.(1,2]
B.[1,+∞)
C.[1,2)
D.[1,2]
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
例4已知a是实数,函数f(x)=2|x-1|+x-a,若函数y=f(x)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是 .?
分析把函数f(x)的两个零点问题转化为函数y=2|x-1|+x与y=a的图象有且仅有两个交点的问题,画出两个函数的图象,然后利用数形结合思想求出参数a的范围.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:
(1,+∞)
解析:函数f(x)=2|x-1|+x-a有且仅有两个零点,即函数y=2|x-1|+x与y=a的图象有且仅有两个交点.
分别作出函数y=2|x-1|+x与y=a的图象,如图所示.
由图易知,当a>1时,两函数的图象有且仅有两个不同的交点,故实数a的取值范围是(1,+∞).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟已知函数有零点(方程有根)求参数的方法
1.直接法:根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围.
2.数列结合法:先对f(x)的解析式变形,将f(x)=0转化为h(x)=g(x)(h(x),g(x)的图象易画出),在同一平面直角坐标系中画出函数h(x),g(x)的图象,然后利用数形结合思想求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练3(2020福建厦门双十中学高一检测)已知函数f(x)=3ax-1-2a在区间(-1,1)上存在零点,则( )
答案:C
解析:∵f(x)=3ax-1-2a在(-1,1)上单调,且存在零点,
∴f(-1)·f(1)<0,即(-3a-1-2a)·(3a-1-2a)=(-5a-1)·(a-1)<0,
∴a>1
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
二次函数的零点综合问题
典例
已知二次函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5.
(1)当函数f(x)有两个不同零点时,求k的取值范围;
(2)若-1和-3是函数的两个零点,求k的值;
(3)若函数的两个不同零点是α,β,求α2+β2关于k的关系式h(k).
分析本题考查对二次函数零点的理解及零点的性质.本题中的函数f(x)是二次函数,因此其零点的判断和零点的性质问题可以转化为二次方程解的判断或解的性质.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
规范解答(1)令f(x)=0,得x2-(k-2)x+k2+3k+5=0.
由Δ=(k-2)2-4(k2+3k+5)=-3k2-16k-16>0,
知3k2+16k+16<0,即(3k+4)(k+4)<0,
(2)∵-1和-3是函数f(x)的两个零点,
∴-1和-3是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(3)∵α,β是函数f(x)的两个不同零点,
∴α,β是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个实数根,
∴α+β=k-2,αβ=k2+3k+5.
∴α2+β2=(α+β)2-2αβ=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6.
规律总结1.若二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个解是x1,x2,
2.本题中如果忽视Δ,将会影响α2+β2的范围而导致出错.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.如下图四个函数图象,在区间(-∞,0)内存在零点的函数是( )
答案:B
解析:只有选项B中的函数图象与x轴的负半轴有交点.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.函数f(x)=log5(x-1)的零点是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
3.若x0是方程ln
x+x=4的解,则x0所在的区间是( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
答案:C
解析:令log5(x-1)=0,解得x=2,所以函数f(x)=log5(x-1)的零点是2,故选C.
答案:C
解析:设f(x)=ln
x+x-4,则f(1)=-3<0,
f(2)=ln
2-2<0,f(3)=ln
3-1>0,
f(4)=ln
4>0,则x0∈(2,3).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.已知函数y=ax2-x-1只有一个零点,则实数a的值为 .?
解析:当a=0时,函数为y=-x-1,显然该函数的图象与x轴只有一个公共点,即函数只有一个零点.
当a≠0时,函数y=ax2-x-1为二次函数.
∵函数y=ax2-x-1只有一个零点,
∴方程ax2-x-1=0有两个相等的实数解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.判断下列函数在给定区间上是否存在零点,如果存在,求出零点的个数.
(1)f(x)=x2-3x-18,x∈[-4,7];
解:(1)令x2-3x-18=0,解得x=-3或x=6.
又-3∈[-4,7],6∈[-4,7],
∴f(x)=x2-3x-18在[-4,7]上有两个零点.(共27张PPT)
1.2 利用二分法求方程的近似解
激趣诱思
知识点拨
某电视台财经频道精心打造了一档大型体验式购物节目.这个节目根植于百姓生活,运用“看商品,猜价格”的游戏形式,将各类商品和大规模的互动体验结合起来,充分激发了观众的参与热情.每位选手只要在规定时间内猜出的某商品价格在主持人展示的区间内,就可以把它拿走.当选手说出一个价格不在规定区间内时,主持人会提示“高了”或“低了”.
如果选手想用尽可能少的次数猜对价格,应该采用什么样的猜价方法呢?
激趣诱思
知识点拨
二分法
1.定义:对于一般的函数y=f(x),x∈[a,b].若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线,
,则每次取区间的 ,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.?
2.用二分法求方程f(x)=0近似解的一般步骤
(1)确定初始区间[a,b],使 .?
(2)取区间中点x1= .?
(3)计算f(x1),以决定取区间 或 :?
①若f(x1)=0,则x1就是 ;?
②若f(a)·f(x1)<0,则方程的根在区间(a,x1)上,令 ;?
③若f(x1)·f(b)<0,则方程的根在区间(x1,b)上,令 .?
f(a)·f(b)<0
中点
f(a)·f(b)<0
(a,x1)
(x1,b)
方程的根
b=x1
a=x1
激趣诱思
知识点拨
(4)逐步缩小区间的“长度”,判断是否达到精确度要求.
名师点析1.
用二分法求方程的近似解,实质上就是通过“取中点”的方法,运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间,进而得到一个近似解.
2.二分法求方程近似解仅对对应函数的变号零点(曲线通过零点,且在零点两侧附近函数值异号)适用,对函数的不变号零点(曲线通过零点,且在零点两侧附近函数值同号)不适用,如函数f(x)=(x-1)2,它的零点就不能用二分法求解.
激趣诱思
知识点拨
微技巧二分法的步骤的记忆口诀
定区间,找中点,中值计算两边看;
同号去,异号算,零点落在异号间;
周而复始怎么办?精确度上来判断.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
下列函数图象与x轴均有公共点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
答案:B
激趣诱思
知识点拨
微练习2
若函数f(x)=x-3+log3x的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下:
f(2)≈-0.369
1 f(2.5)≈0.334
0
f(2.25)≈-0.011
9
f(2.375)≈0.162
4
f(2.312
5)≈0.075
6
f(2.281
25)≈0.031
9
则方程x-3+log3x=0的一个近似解(精确度0.1)为( )
A.2.1
B.2.2
C.2.3
D.2.4
答案:C
解析:由参考数据可知f(2.25)·f(2.312
5)<0,
且|2.312
5-2.25|=0.062
5<0.1,所以当精确度为0.1时,可以将x=2.3作为函数f(x)=log3x+x-3零点的近似值,也即为方程x-3+log3x=0的近似解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
二分法定义的理解
例1(1)用二分法求函数f(x)=x3+5的零点时,可以取的初始区间为( )
A.[-2,1]
B.[-1,0]
C.[0,1]
D.[1,2]
(2)下列图象表示的函数中,能使用二分法求零点的是( )
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟1.在二分法中,初始区间的选择不唯一,一般应在两个整数间,初始区间不同时,二分的次数可能不同.
2.如果函数f(x)的某个零点x0的左右两侧附近的函数值是同号的,那么这样的零点就不能用二分法求解.
答案:
(1)
A (2)C
解析:(1)由于f(-2)=(-2)3+5=-3<0,f(1)=13+5=6>0,f(-2)·f(1)<0,因此可以将[-2,1]作为初始区间,故选A.
(2)能用二分法求函数零点的函数,在零点的左右两侧的函数值符号相反,由图象可得,A,B,D不能满足此条件,故选C.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1(1)下列函数中不能用二分法求零点的是( )
A.f(x)=2x+3
B.f(x)=ln
x+2x-6
C.f(x)=x2-2x+1
D.f(x)=2x-1
(2)用二分法求函数y=f(x)在区间(2,4)上的唯一零点近似值时,已知f(2)·f(4)<0,取区间(2,4)的中点x1=
=3,计算得f(4)·f(3)<0,则函数零点所在的区间是( )
A.(2,4)
B.(2,3)
C.(3,4)
D.无法确定
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:
(1)
C (2)B
解析:(1)因为f(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以在零点的左右两侧附近函数值同号,所以不能用二分法求其零点,故选C.
(2)由f(2)·f(4)<0,f(4)·f(3)
>0知f(2)·f(3)
<0.
故函数零点所在的区间是(2,3).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
用二分法求方程的近似解
例2求方程lg
x-2-x+1=0的近似解(精确度为0.1).
分析先确定f(x)=lg
x-2-x+1的零点所在的大致区间,再用二分法求解.
解:令f(x)=lg
x-2-x+1,函数f(x)的定义域为(0,+∞).
因为函数f(x)在(0,+∞)上是增函数(证明略),所以f(x)至多有一个零点.
又因为f(1)=0.5>0,f(0.1)≈-0.933<0,所以方程在[0.1,1]内有唯一实数解.
使用二分法求解,如下表
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
至此,得到区间[0.493
75,0.55],其区间长度为0.55-0.493
75=0.056
25<0.1,由于要求的精度为0.1,则这一区间内的任一数都可作为方程的近似解,不妨取0.5作为方程的近似解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟利用二分法求方程近似解的注意事项
(1)要选好计算的初始区间,这个区间既要包含函数的零点,又要使其长度尽量小.
(2)在求解过程中,可借助表格或数轴清楚地显示出逐步缩小的零点所在区间及其长度.
(3)根据给定的精确度,及时检验所取区间长度是否达到要求,及时终止计算.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
以下用二分法求其零点的近似值.
由于f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取区间[1,2]为计算的初始区间.用二分法逐步计算,列表如下:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
由于区间(1.257
812
5,1.265
625)的长度为
1.265
625-1.257
812
5=0.007
812
5<0.01,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
二分法思想的实际应用
例3在一个风雨交加的夜里,某水库闸房(设为A)到某指挥部(设为B)的电话线路在某一处发生了故障.这是一条10
km长的线路,想要尽快地查出故障所在.如果沿着线路一小段一小段地查找,困难很多,每查一小段需要很长时间.
(1)维修线路的工人师傅随身带着话机,他应怎样工作,才能每查一次,就把待查的线路长度缩减一半?
(2)要把故障可能发生的范围缩小到50
m~100
m,最多要查多少次?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)如图所示,他首先从中点C查,用随身带的话机向两端测试时,假设发现AC段正常,可断定故障在BC段,再到BC段中点D查,这次若发现BD段正常,可断定故障在CD段,再到CD段中点E来查,依次类推即可.
(2)每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,因此最多查7次就够了.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟二分法在实际生活中经常用到.如在平时的线路故障、气管故障等检查中,可以利用二分法较快地得到结果.还可用于实验设计、资料查询等方面.用二分法解决实际问题时应考虑的两个问题:一是转化成函数的零点问题;二是逐步缩小考察范围,逼近问题的解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练3某电视台有一档娱乐节目,主持人给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会,如果猜中,就把物品奖给选手.某次猜一种品牌的手机,手机价格在500~1
000元之间,选手开始报价:1
000元,主持人说:高了.选手紧接着报价900元,高了;700元,低了;880元,高了;850元,低了;851元,恭喜你,猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分,实际上,游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想,你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗?
解:取价格区间[500,1
000]的中点750,如果主持人说低了,就再取区间[750,1
000]的中点875;否则取另一个区间[500,750]的中点;若遇到小数,则取整数,照这种方案,游戏过程猜价如下:750,875,812,843,859,851,经过6次可以猜中价格.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
二分法在搜索中的应用
日常生活中,我们经常要利用计算机、网络来搜索信息.你知道吗?二分法在搜索的过程中扮演着非常重要的角色.
下图中的15个数是按从小到大排列的.
258111216232729355153697577
如果随机给出一个不大于100的自然数x,要让计算机查找x是否在上面这列数中,设计怎样的查找方法,才能保证不管给出的是什么数,都能在指定的步骤内查到结果呢?
如果让计算机将x逐一与图中的数去比较,那么在有些情况下,只要比较1次就可以了(例如x=1),但在有些情况下,却要比较15次才能完成任务(例如x=80).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
如果我们用二分法的思想来查找,情况就不一样了:每一次都让x与序列中正中间的数进行大小比较,通过这种方式缩小其可能的位置范围.例如,x=13时的查找过程可用下图表示.
由此不难看出,不管给出的是什么数,最多4次就能完成任务.
计算机中的很多搜索程序都是用类似方法编写的,而且二分法在故障排除、实验设计方面都有应用,感兴趣的同学去查阅有关书籍和网站吧!
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.已知函数f(x)的图象如图,其中零点的个数及可以用二分法求其零点的个数分别为( )
A.4,4
B.3,4
C.5,4
D.4,3
答案:D
解析:由题图知函数f(x)与x轴有4个公共点,因此零点个数为4,从左往右数第4个公共点横坐标的左右两侧的函数值同号,因此不能用二分法求该零点,而其余3个均可使用二分法来求.故选D.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.用二分法求函数f(x)=-x3-3x+5的近似零点时的初始区间是( )
A.(-3,1)
B.(1,2)
C.(-2,-1)
D.(-3,-2)
答案:B
解析:本题考查对用二分法求函数零点近似值的理解及初始区间的选择.∵f(1)=1,f(2)=-9,f(-1)=9,f(-2)=19,f(-3)=41,
∴f(1)·f(2)<0.又函数f(x)=-x3-3x+5的定义域为R,
故f(x)的一个零点所在的初始区间为(1,2).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.用二分法求方程f(x)=0在区间(0,1)内的近似解时,经计算,f(0.425)<0,f(0.532)>0,f(0.605)<0,即得到方程的一个近似解为 .(精确度为0.1)?
4.用二分法求函数f(x)=ln
x-2+x在区间[1,2]上零点的近似值,先取区间中点c=
,则下一个含零点的区间是 .?
答案:0.6(答案不唯一)
解析:∵0.605-0.532=0.073<0.1,
∴(0.532,0.605)内的值都可以作为方程精确度为0.1的一个近似解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.求方程x2=2x+1的一个近似解(精确度为0.1).
解:设f(x)=x2-2x-1,因为f(2)=-1<0,f(3)=2>0,所以可以确定区间[2,3]作为计算的初始区间.用二分法逐步计算,列表如下:
因为|2.375-2.437
5|=0.062
5<0.1.
所以方程x2=2x+1的一个近似解可取2.4.(共46张PPT)
2.1 实际问题的函数刻画
2.2 用函数模型解决实际问题
激趣诱思
知识点拨
假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案回报如下:
方案一:每天回报40元;
方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;
方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.
(1)请你分析比较三种方案每天回报的增长情况,各方案每天回报的变化情况可用什么函数模型来反映?
(2)你会选择哪种投资方案?
激趣诱思
知识点拨
一、实际问题的函数刻画
1.在现实世界中,事物之间存在着广泛的联系,当面对的实际问题中存在几个变量,并且它们之间具有依赖关系时,我们往往用函数对其进行刻画.函数刻画的方法可以使用图象,但常见的还是使用解析式.
2.函数模型是应用最广泛的数学模型之一.许多实际问题一旦被认定是函数关系,就可以通过研究函数的 ,使问题得到解决.?
性质
激趣诱思
知识点拨
通过一些数据寻求事物规律,往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点,观察这些点的 ,看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象,选定函数形式后,将一些数据代入这个函数的一般表达式,求出具体的 ,再做必要的检验,基本符合实际,就可以确定这个函数基本反映了事物规律,这种方法称为数据拟合.在自然科学和社会科学中,很多规律、定律都是先通过 ,得到 ,再通过数据 得到的.?
整体特征
函数解析式
实验
数据
拟合
激趣诱思
知识点拨
微练习
某地为了改善生态环境,政府决定绿化荒山,计划第一年先植树0.5万公顷,以后每年比上年增加1万公顷,每年植树的公顷数y(单位:万公顷)是时间x(单位:年)的函数,这个函数的图象是下图中的( )
激趣诱思
知识点拨
答案:A
解析:由题意知该一次函数的图象必过(1,0.5)和(2,1.5)两点,故排除B,C,D.
激趣诱思
知识点拨
二、数学建模
1.定义:用数学思想、 、 解决实际问题的过程叫作数学建模.?
2.过程:如下图所示
方法
知识
激趣诱思
知识点拨
名师点析常见的函数模型及其特点:(1)一次函数模型:y=kx+b(k≠0),其增长特点是直线式上升(k>0)或下降(k<0),其特例是y=kx(k≠0).(2)二次函数模型:y=ax2+bx+c(a≠0),其增长特点是函数值先减小后增大(a>0)或先增大后减小(a<0).(3)反比例函数模型:y=
(k≠0)型,其增长特点是当x>0时,y随x的增大而减小(k>0)或y随x的增大而增大(k<0).(4)指数型函数模型:y=a·bx+c(b>0,且b≠1,a≠0),其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(底数b>1,a>0),常形象地称为指数爆炸.(5)对数型函数模型:y=mlogax+n
(a>0,a≠1,m≠0),其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢(底数a>1,m>0).(6)幂函数模型:y=a·xn+b(a≠0),其增长特点是y随x的增大而增大(n>0,a>0,x>0).
激趣诱思
知识点拨
微练习
某同学在一次数学实验中,获得了如下一组数据:
则x,y的函数关系最接近(其中a,b为待定系数)函数( )
A.y=a+bx
B.y=bx
C.y=ax2+b
激趣诱思
知识点拨
答案:B
解析:画出散点图(如图所示):
由散点图可知,此函数图象不是直线,排除A;此函数图象是上升的,是增函数,排除C,D,故选B.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
建立二次函数模型解决实际问题
例1设某市现有从事第二产业人员100万人,平均每人每年创造产值a万元(a为正常数),现在决定从中分流x万人去加强第三产业,分流后,继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x%(0(1)若要保证第二产业的产值不减少,求x的取值范围;
(2)在(1)的条件下,问应分流出多少万人,才能使该市第二、第三产业的总产值每年增加最多?
分析求解(1)时应明确第二产业的产值不减少的条件是分流之后剩余人员创造的产值应不小于没有分流时创造的产值100a,求解(2)时应根据题意求出分流后第二、三产业的总产值每年增加量f(x)关于x的函数关系式,并求其最值.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
∵x∈(0,50]时,f(x)单调递增,∴当x=50时,f(x)max=60a.
即应分流出50万人,才能使该市第二、三产业的总产值每年增加最多.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟求解本题时,应注意以下两点:一是x∈N+,二是第二、三产业的总产值每年增加量为剩余人员创造的产值与分流人员创造产值的和减去没有人员分流时创造的产值.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练1有A,B两城相距100
km,在A,B两城之间距A城x
km的D地建一核电站给这两城供电.为保证城市安全,核电站与城市距离不得少于10
km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月,B城供电量为10亿度/月.
(1)把月供电总费用y表示成x的函数,并求其定义域;
(2)核电站建在距A城多远时,才能使供电费用最小?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
建立指数型函数、对数型函数模型解决实际问题
例2某种商品进价为每个80元,零售价为每个100元,为了促销,决定用买一个这种商品,赠送一个小礼品的办法.实践表明:礼品价值为1元时,销售量增加10%,且在一定范围内,礼品价值为(n+1)元时比礼品价值为n元(n∈N+)时的销售量增加10%.
(1)写出礼品价值为n元时,利润yn(单位:元)与n的函数关系式;
(2)请你设计礼品的价值,以便商店获得最大利润.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)设没有礼品时销售量为m,则当礼品价值为n元时,销售量为m(1+10%)n,利润yn=(100-80-n)·m·(1+10%)n
=(20-n)·m·1.1n(0(2)令yn+1-yn≥0,
即(19-n)·m·1.1n+1-(20-n)·m·1.1n≥0,解得n≤9.
∴y1令yn+1-yn+2≥0,
即(19-n)·m·1.1n+1-(18-n)·m·1.1n+2≥0,
解得n≥8.∴y9=y10>y11>y12>y13>…>y19,
∴当礼品价值为9元或10元时,商店获得最大利润.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟1.指数型函数模型应用非常广泛,有关人口增长、银行利息、细胞分裂等问题都可以建立指数型函数模型来解决问题,建立函数解析式时要善于通过列举、归纳等方法寻求变量之间的关系,探寻内在的规律.
2.对于本题通过作差探讨出函数的单调情况是解题的关键所在.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练2大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2
000
m,游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数
单位是m/s,其中x表示鲑鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是8
100个单位时,它的游速是多少?
(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数.
(3)若鲑鱼A的游速大于鲑鱼B的游速,问这两条鲑鱼谁的耗氧量较大?并说明理由.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
建立分段函数模型
例3WAP手机上网每月使用量在500
min以下(包括500
min),按30元计费;超过500
min的部分按0.15元/min计费.假如上网时间过短(小于60
min)使用量在1
min以下不计费,在1
min以上(包括1
min)按0.5元/min计费.WAP手机上网不收通话费和漫游费.
(1)写出上网时间x
min与所付费用y元之间的函数关系式.
(2)12月份小王WAP上网使用量为20
h,要付多少钱?
(3)小王10月份付了90元的WAP上网费,那么他上网的时间是多少?
分析由于上网时间不同,收费标准不同,因此对所付费用作分段讨论,以确定付费标准,建立函数关系式,解决付费与上网时间的问题.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(2)当x=20×60=1
200(min)时,x>500,
应付y=30+0.15×(1
200-500)=135(元).
(3)90元已超过30元,所以上网时间超过500
min,由解析式可得上网时间为900
min.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟1.在刻画实际问题中,变量之间的关系因自变量x取值范围的不同,对应的函数关系不能用同一个解析式表示时,常用分段函数建立函数模型解决问题.
2.分段函数是指自变量在不同的范围内有着不同对应法则的函数.求解分段函数的最值问题时应注意:分段函数的最大值是各段函数最大值中最大的一个,分段函数的最小值是各段函数最小值中最小的一个.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练3为支持福利事业,解决残疾人就业问题,银行决定给某福利企业免息贷款46.8万元,用于经营某种商品.已知该种商品的进价为每件40元,每月销售量q(单位:百件)与销售价格p(单位:元/件)之间满足关系式:q=
该企业职工每人每月工资为1
200元,其他经营性费用为每月13
200元.
(1)如果暂时不考虑还贷的前提下,当销售价格p为52元/件时,每月刚好收支平衡,求该企业的职工人数;
(2)若该企业只有20名职工,在保证职工工资及其他经营性支出外,剩余的利润都用来偿还贷款,试问最早几年后还清贷款.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)设该企业职工人数为t,依题意p=52时,q=36时,则(52-40)×36×100=1
200t+13
200,∴t=25.
即该企业有25名职工.
(2)设每个月的利润为f(p),则f(p)=
∵当p=55时,[(-2p+140)(p-40)]max=450,
当p=61时,[(-p+82)(p-40)]max=441,
∵450>441,∴p=55时,能更早还清贷款,
∴当定价为55元时,最早5年后能还清贷款.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
拟合函数模型解决实际问题
例4某个体经营者把开始六个月试销售A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:
该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种产品,但不知投入A,B两种商品各多少万元才合算.请你帮助制定一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:以投资额x为横坐标,纯利润y为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图①②所示.
观察散点图可以看出,A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟,如图①所示.取(4,2)为最高点,则y=a(x-4)2+2(a≠0),再把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.15,所以y=-0.15(x-4)2+2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的,可以用一次函数模型进行模拟,如图②所示.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
设y=kx+b(k≠0),取点(1,0.25)和(4,1)代入,
即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y=-0.15(x-4)2+2;前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y=0.25x.
设第七个月投入A,B两种商品的资金分别为x,12-x(单位:万元),则0W=-0.15(x-4)2+2+0.25(12-x)=-0.15x2+0.95x+2.6.
当x=
≈3.2时,W取最大值,约为4.1,此时12-x=8.8.
即该经营者下月用3.2万元投资A种商品,8.8万元投资B种商品,可获得最大纯利润约为4.1万元.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟解决拟合函数模型问题一般有以下步骤:
(1)根据原始数据、表格,绘出两个变量之间的散点图.
(2)通过散点图,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上,
“点滴”不漏,那么这将是一件十分完美的事情,但在实际应用中,这种情况一般不会发生.因此,使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧,使两侧的点的个数大体相等,得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.
(3)根据所学函数知识,结合已知数据,求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式.
(4)利用函数解析式,根据条件对所给问题进行预测和检验,为决策和管理提供依据.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练4为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x
cm与当年灌溉面积y
hm2.现有连续10年的实测资料,如下表所示:
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(1)描出灌溉面积y
hm2随积雪深度x
cm变化的数据点(x,y);
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=f(x),并作出其图象;
(3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25
cm,则可以灌溉的土地面积是多少?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)数据点分布如图①所示.
(2)从图①中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y
hm2和最大积雪深度x
cm满足线性函数模型y=a+bx(a,b为常数,b≠0).
取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
用计算器可算得a≈2.4,b≈1.8.
这样,我们得到一个函数模型y=2.4+1.8x.作出函数图象如图②,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.
(3)由(2)得当x=25时,y=2.4+1.8×25=47.4,即当最大积雪深度为25
cm时,可以灌溉土地47.4
hm2.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
图表型应用问题
典例
客车从甲地以60
km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地,在乙地停留了半小时,然后以80
km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地.下列描述客车从甲地出发,经过乙地,最后到达丙地所经过的路程s(单位:km)与时间t(单位:h)之间关系的图象中,正确的是( )
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
分析本题有两种求解方法:一是依据各时间段内路程的变化情况,逐一排除;二是由实际问题抽象出函数解析式,再确定图象.
解析:(方法一)根据已知条件知,在第1个小时内四个选项中的图象都正确;之后的半小时,选项B中的图象不正确,因为该图中此段时间内路程为0,与事实不符;最后1个小时,选项A中的图象错在时间和路程上,选项D中的图象错在时间上.选项C中的图象正确.
(方法二)由题意可知客车在整个过程中的路程s与时间t之间的关
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
解图表型应用问题的一般步骤
以图表信息为背景的函数应用问题是高考中一道亮丽的风景线,这类问题由图表给出数据信息,探求变量之间的关系,再综合应用函数的相关知识加以分析,从而解决实际问题.
解决这类问题的一般步骤是:
(1)观察图表,捕捉有效信息;
(2)对已有信息进行加工,分清变量之间的关系;
(3)选择恰当的数学工具,通过建模加以解决;
(4)进行检验,去伪存真,找出符合实际情形的答案.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如下:
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦·时,低谷时间段用电量为100千瓦·时,则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为
元.?
答案:148.4
解析:高峰时间段电费为50×0.568+(200-50)×0.598=118.1(元).
低谷时间段电费为50×0.288+(100-50)×0.318=30.3(元).
故该家庭本月应付的电费为118.1+30.3=148.4(元).
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1.一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示,则图象所对应的函数模型是( )
A.分段函数
B.二次函数
C.指数函数
D.对数函数
答案:A
解析:由题图知,在不同的时间段内,对应的图象不同,故对应函数模型应为分段函数.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
2.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则每年沙漠面积增加值y关于年数x的函数关系较为近似的是( )
答案:C
解析:当x=1时,否定选项B;当x=3时,否定选项A,D,检验C项较为接近.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:A
解析:设北冰洋冬季冰雪覆盖面积每年为上一年的q%,则
3.据报道,全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%,假设这50年内,冰雪覆盖面积每年减少的百分比是一样的.按此速度,设2000年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m,则从2000年起,经过x年后,北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( )
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
4.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为
试人数,若应聘的面试人数为60,则该公司拟录用人数为( )
A.15
B.40
C.25
D.130
答案:C
解析:令y=60,若4x=60,则x=15>10,不合题意;若2x+10=60,则x=25,满足题意;若1.5x=60,则x=40<100,不合题意.故拟录用人数为25.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
5.某工厂生产一种电脑元件,每月的生产数据如下表:
为估计以后每月该电脑元件的产量,以这三个月的产量为依据,用函数y=kx+m(k,m为常数,且k≠0)或y=ax+b(a,b为常数,且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份x的关系.请问用以上哪个函数拟合较好?并说明理由.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:若用函数y=kx+m(k≠0),取(1,50),(2,52),
∴y=2x+48.
当x=3时,y=56.
由题知3月份的产量为53.9千件,由上可知用函数y=2x+48估计时误差较小,故用函数y=2x+48拟合比较好.(共17张PPT)
章末整合
专题一 数形结合法解函数的零点问题?
例1已知函数
答案:A
解析:当-6≤x<-2时,2<-x≤6,
则f(x)=2(x+2)(x+6),
f(-x)=-2(-x-2)(-x-6)=-2(x+2)(x+6),
即f(x)在-6≤x<-2与2当-2≤x≤2时,f(x)=2-|x|是偶函数,
由F(x)=f(x)-g(x)=0得f(x)=g(x),
作出函数f(x)和g(x)的图象如图所示,
则当-6≤x<-2及2所以这四个交点的横坐标之和为0,即函数F(x)在-6≤x<-2和2方法技巧函数图象是处理函数零点问题最为重要和常用的手段.要把握问题本质,利用转化与化归思想,转化为函数图象的位置关系、数形结合解决.
变式训练1若函数f(x)=kx-2x在(0,1)内有零点,则实数k的取值范围是 .?
答案:(2,+∞)
解析:∵f(x)=kx-2x在(0,1)内有零点,
∴y1=kx与y2=2x的图象在(0,1)内有交点.画出y2=2x在(0,1)内的图象,如图,又知y1=kx过原点,故可知k>2时,y1与y2在(0,1)内有交点.
专题二 二次方程的根的分布问题?
例2求证:关于x的方程5x2-7x-1=0的解一个在区间(-1,0)上,另一个在区间(1,2)上.
分析证明方程5x2-7x-1=0的两个解分别位于(-1,0)和(1,2)内,即证函数f(x)=5x2-7x-1在(-1,0)和(1,2)上分别有一个零点.
证明:设f(x)=5x2-7x-1,则f(-1)=11,f(0)=-1,f(1)=-3,f(2)=5.
由于f(-1)·f(0)=-11<0,f(1)·f(2)=-15<0,
且f(x)=5x2-7x-1在R上是连续的,
∴f(x)在(-1,0)和(1,2)上分别有零点.
即方程5x2-7x-1=0的根一个在(-1,0)上,另一个在(1,2)上.
方法技巧对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)解的分布问题,一般需从三个方面考虑:①判别式;②区间端点函数值的正负;③对称轴x=-
与区间端点的关系.另外,对于二次函数在闭区间上的最值问题,要抓住顶点的横坐标与闭区间的相对位置,确定二次函数在闭区间上的单调性进行求解.
解得-1变式训练2关于x的方程x2-2tx+t2-1=0的两个解属于区间(-2,4),求t的取值范围.
解:关于x的方程x2-2tx+t2-1=0的两个解属于区间(-2,4),即函数f(x)=x2-2tx+t2-1的零点在区间(-2,4)上.设函数f(x)=x2-2tx+t2-1,由题意可得
专题三 实际问题中的函数模型?
例3某工厂有一段旧墙长14
m,现准备利用这段旧墙为一面建造一个平面图形为矩形,占地面积为126
m2的厂房,工程条件是:①建1
m新墙的费用为a元;②修1
m旧墙的费用为
元;③拆去1
m旧墙,用所得的材料建1
m新墙的费用为
元.经讨论有两种方案:
①利用旧墙的一段x
m(x<14)为矩形厂房的一面;
②矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14.问如何利用旧墙,即x为多少米时,建墙总费用最省?(1)(2)两种方案哪个更好?
方法技巧求解本题的关键在于以建墙费用为目标函数建立函数关系式,而难点在于求函数的最小值,两种方案的函数解析式结构相似,但求最值方法不同,一个可用均值不等式求最值,而另一个则必须用函数的单调性求最值.
变式训练3提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是关于车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到280辆/千米时,会造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过40辆/千米时,车流速度为60千米/时.研究表明:当40(1)当0≤x≤280时,求函数v(x)的表达式;
(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.
解:(1)由题意知,当0≤x≤40时,v(x)=60;
当40≤x≤280时,设v(x)=ax+b,
当0≤x≤40时,f(x)单调递增,故当x=40时,f(x)在区间[0,40]上取得最大值,最大值为60×40=2
400.
所以当x=140时,f(x)在区间(40,280]上取得最大值4
900.
综上可得,当x=140时,f(x)在区间[0,280]上取得最大值4
900.
即当车流密度为140辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值为
4
900辆/时.
