(共35张PPT)
1.1 随机现象 1.2 样本空间
1.3 随机事件 1.4 随机事件的运算
激趣诱思
知识点拨
同时转动如图所示的两个转盘,记转盘①得到的数为x,转盘②得到的数为y,结果为(x,y),你知道这个试验有多少种不同的结果吗?
激趣诱思
知识点拨
一、现象的相关概念
1.确定性现象:在一定条件下必然出现的现象,称为确定性现象.
2.随机现象:在一定条件下,进行试验或观察会出现不同的结果,而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象,称为随机现象.
名师点析随机现象的两个特点
(1)结果至少有两种;(2)事先并不知道会出现哪一种结果.
激趣诱思
知识点拨
微练习
以下现象是随机现象的是( )
A.过了冬天就是春天
B.物体只在重力作用下自由下落
C.不共线的三点确定一个平面
D.下一届奥运会中国获得100枚金牌
答案:D
解析:A,B,C均是确定性现象,D是随机现象.
激趣诱思
知识点拨
二、样本空间
1.试验:在概率与统计中,把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验,一般用E表示,把观察结果或实验结果称为试验结果.
2.样本空间:一般地,将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间,记作Ω.
3.样本点:样本空间Ω的元素,即试验E的每种可能结果,称为试验E的样本点,记作ω.
4.有限样本空间:如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的,那么称样本空间Ω为有限样本空间.
激趣诱思
知识点拨
微练习
连续抛掷2枚硬币,观察落地后这2枚硬币出现正面还是反面.
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)求这个试验的样本点的总数.
解:(1)试验的样本空间Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}.
(2)样本点的总数是4.
激趣诱思
知识点拨
三、随机事件
1.随机事件:一般地,把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件,简称事件.常用A,B,C等表示.
2.必然事件:样本空间Ω是其自身的子集,因此Ω也是一个事件;又因为它包含所有的样本点,每次试验无论哪个样本点ω出现,Ω都必然发生,因此称Ω为必然事件.
3.不可能事件:空集Φ也是Ω的一个子集,可以看作一个事件;由于它不包含任何样本点,它在每次试验中都不会发生,故称?为不可能事件.
激趣诱思
知识点拨
名师点析(1)随机事件是指在一定条件下可能发生,也可能不发生的事件.应注意:事件的结果是相对于条件而言的,所以必须明确何为事件发生的条件,何为此条件下产生的结果.
(2)随机事件的“可能发生也可能不发生”并不是指没有任何规律地随意发生.
激趣诱思
知识点拨
微练习
在下列事件中,哪些是必然事件?哪些是不可能事件?
(1)如果a,b都是实数,那么a+b=b+a;
(2)没有水分,种子发芽;
(3)在标准大气压下,水的温度达到50
℃时沸腾.
解:由定义可知三个事件都是随机事件.由实数运算性质知(1)恒成立,故(1)为必然事件.没有水分,种子不会发芽,在标准大气压下,水的温度达到50
℃时不沸腾,故(2)(3)是不可能事件.
激趣诱思
知识点拨
四、随机事件的运算
1.交事件与并事件
激趣诱思
知识点拨
2.互斥事件与对立事件
激趣诱思
知识点拨
微拓展
事件运算的性质
(1)A∪B=B∪A.
(2)并事件包含三种情况:①事件A发生,事件B不发生;②事件A不发生,事件B发生;③事件A,B都发生.即A∪B表示事件A,B至少有一个发生.
(3)A∩B或AB表示事件A与事件B同时发生.
激趣诱思
知识点拨
微思考
互斥事件与对立事件之间有什么关系?
提示:(1)根据对立事件的概念易知,若两个事件对立,则这两个事件是互斥事件;反之,若两个事件是互斥事件,则这两个事件未必是对立事件.
(2)对立事件是特殊的互斥事件,若事件A,B对立,则A与B互斥,而且A∪B是必然事件.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
样本点与样本空间
例1同时掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)求这个试验的样本点的总数;
(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个样本点?
分析根据题意可用列举法按照顺序列举出所有的样本点.
解:(1)试验的样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}.
(2)样本点的总数是8.
(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个样本点:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
反思感悟确定样本空间的方法
1.必须明确事件发生的条件;
2.根据题意,按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的,按规律去写,要做到既不重复也不遗漏.
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
延伸探究同时掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面,写出这个试验中“恰有一枚正面向上”这一事件包含的样本点.
解:“恰有一枚正面向上”这一事件包含3个样本点,分别是:(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正).
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
随机事件的概念及分类
例2(1)以下的随机事件中不是必然事件的是( )
A.标准大气压下,水加热到100
℃,必会沸腾
B.长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×b
C.走到十字路口,遇到红灯
D.三角形内角和为180°
(2)下列事件中,是必然事件的是( )
A.任意买一张电影票,座位号是2的倍数
B.12个人中有两个人生肖相同
C.买了一注彩票中一等奖
D.实数a+b=b+a
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
答案:
(1)
C (2)
D
解析:(1)在A中,标准大气压下,水加热到100
℃,必会沸腾是必然事件,故A不符合题意;在B中,长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×b是必然事件,故B不符合题意;在C中,走到十字路口,遇到红灯是随机事件但不是必然事件,故C符合题意;在D中,三角形内角和为180°是必然事件,故D不符合题意.
(2)四个选项都是随机事件,但选项A,B,C中的事件都不确定发生,因此都不是必然事件,只有选项D总会发生,因此是必然事件.
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
反思感悟
(1)要判断一个事件是必然事件、随机事件、还是不可能事件,要从定义出发.
(2)必然事件和不可能事件不具有随机性,但为了统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的特殊情形,具有随机性的和不具有随机性的事件都可以理论上认为是随机事件.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练1从6个篮球、2个排球中任选3个球,则下列事件中,不可能事件是( )
A.3个都是篮球
B.至少有1个是排球
C.3个都是排球
D.至少有1个是篮球
答案:C
解析:根据题意,从6个篮球、2个排球中任选3个球,四个选项都是随机事件,进一步C是不可能事件,D是必然事件.
探究一
探究二
探究三
探究四
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互斥事件与对立事件的判定
例3某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件:
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”;
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”;
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”;
(4)“至少有一名男生”与“至少有一名女生”.
分析紧扣互斥事件与对立事件的定义判断.
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
解:从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果:2名男生,2名女生,1男1女.
(1)“恰有1名男生”指1男1女,与“恰有2名男生”不能同时发生,它们是互斥事件;但是当选取的结果是2名女生时,该两事件都不发生,所以它们不是对立事件.
(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生,所以它们不是互斥事件.
(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥,由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件.
(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果,当选出的是1男1女时,“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
探究一
探究二
探究三
探究四
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反思感悟互斥事件和对立事件的判定方法
利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有样本点,看它们能不能同时发生,在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,明晰它们对事件结果的影响.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练2把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A.对立事件
B.
不可能事件
C.互斥但不对立事件
D.
以上答案都不对
答案:C
解析:“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,但分得红牌的还可能是丙或丁,所以不是对立事件.故选C.
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
事件的运算
例4盒子里有质地相同的6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A={有1个红球、2个白球},事件B={有2个红球、1个白球},事件C={至少有1个红球},事件D={既有红球又有白球}.
(1)事件D与A,B是什么运算关系?
(2)事件C与A的交事件是什么事件?
解:(1)对于事件D,可能的结果为1个红球、2个白球,或2个红球、1个白球,故D=A∪B.
(2)对于事件C,可能的结果为1个红球、2个白球,或者2个红球、1个白球,或者3个均为红球,故C∩A=A.
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
反思感悟事件间运算方法
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练3在本例中,设事件E={3个红球},事件F={至少有一个白球},那么事件C与A,B,E是什么运算关系?C与F的交事件是什么?
解:分析可得C=A∪B∪E,C∩F=A∪B.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
确定样本空间的方法
典例
写出下列试验的样本空间.
(1)同时抛掷三颗骰子,记录三颗骰子之和;
(2)从一批产品中,任选三件,记录出现正品(记作N)与次品(记作D)的情况.
解:
(1)抛掷三颗骰子,其样本空间为:Ω={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}.
(2)抽取一批产品,其样本空间为:Ω={NNN,NND,NDN,DNN,NDD,DDN,DND,DDD}.
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
方法点睛确定样本空间时,首先要确定样本点的个数,当样本点个数较多时,可借助图形观察,如树状图,当样本点个数较少时,可利用分类写法,依次一一列举出来,写出样本空间.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1.下列现象:①当x是实数时,x-|x|=2;
②某班一次数学测试,及格率低于75%;
③从分别标有0,1,2,3,…,9这十个数字的纸团中任取一个,取出的纸团是偶数;
④体育彩票某期的特等奖号码.
其中是随机现象的是( )
A.①②③
B.①③④
C.
②③④
D.①②④
答案:C
解析:由随机现象的定义知②③④正确.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
2.从含有8件正品、2件次品的10件产品中,任意抽取3件,则必然事件是( )
A.3件都是正品
B.至少有1件次品
C.3件都是次品
D.至少有1件正品
答案:D
解析:从含有8件正品、2件次品的10件产品中,任意抽取3件,选项A:3件都是正品是随机事件,A错误;选项B:至少有1件次品是随机事件,B错误;选项C:3件都是次品是不可能事件,C错误;选项D:至少有1件正品是必然事件,D正确,故选D.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3.抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则( )
A.A∩B=?
B.A=B
C.A+B表示向上的点数是1或2或3
D.AB表示向上的点数是1或2或3
答案:C
解析:设A={1,2},B={2,3},A∩B={2},A∪B={1,2,3},所以A+B表示向上的点数为1或2或3,故选C.
探究一
探究二
探究三
探究四
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4.已知事件M“3粒种子全部发芽”,事件N“3粒种子都不发芽”,那么事件M和N是( )
A.互斥且对立事件
B.不是互斥事件
C.互斥但不对立事件
D.对立事件
答案:C
解析:事件M与事件N在任何一次试验中不会同时发生,故事件M和事件N互斥,而事件M“3粒种子全部发芽”的对立事件为“3粒种子不都发芽”,有可能1个不发芽,也有可能2个不发芽,也有可能3个不发芽,故事件M和事件N不对立,故事件M和事件N互斥不对立.故选C.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
5.从3双鞋子中,任取4只,其中至少有两只鞋是一双,这个事件是 (选填“必然”“不可能”或“随机”)事件.?
答案:必然
解析:从3双鞋子中,任取4只,必有两只鞋是一双,所以这个事件是必然事件.(共28张PPT)
2.1 古典概型的概率计算公式
2.2 古典概型的应用
第1课时 古典概型的概率计算公式及其应用
激趣诱思
知识点拨
齐王与田忌赛马,田忌的上马优于齐王的中马,劣于齐王的上马,田忌的中马优于齐王的下马,劣于齐王的中马,田忌的下马劣于齐王的下马.现各出上、中、下三匹马分别进行一场比赛,胜两场以上(含两场)即为获胜.若齐王知道田忌马的出场顺序,他获胜的概率是多大?如田忌知道齐王马的出场顺序,他能获胜吗?若双方均不知对方马的出场顺序,你能探求田忌获胜的概率吗?
激趣诱思
知识点拨
一、古典概型
2.一般地,若试验E具有如下特征:
(1)有限性:试验E的样本空间Ω的样本点总数有限,即样本空间Ω为有限样本空间;
(2)等可能性:每次试验中,样本空间Ω的各个样本点出现的可能性相等.
则称这样的试验模型为古典概率概型,简称古典概型.
1.对于随机事件A,通常用一个数P(A)(0≤P(A)≤1)来表示该事件发生的可能性大小,这个数就称为随机事件A的概率.
激趣诱思
知识点拨
名师点析古典概型的判断标准
一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点:有限性和等可能性,并不是所有的试验都是古典概型.
下列三类试验不是古典模型:
(1)样本点个数有限,但非等可能;
(2)样本点个数无限,但等可能;
(3)样本点个数无限,也非等可能.
激趣诱思
知识点拨
微练习
下列试验中,是古典概型的是( )
A.种下一粒种子观察它是否发芽
B.从规格直径为(250±0.6)
mm的一批合格产品中任意取一件,测量其直径
C.抛掷一枚质量均匀硬币,观察其出现正面或反面
D.某人射击中靶或不中靶
答案:C
激趣诱思
知识点拨
二、古典概型的概率计算公式
对古典概型来说,如果样本空间Ω包含的样本点总数为n,随机事件A包含的样本点个数为m,那么事件A发生的概率为
名师点析使用古典概型概率公式的注意事项
(1)首先判断该模型是不是古典概型;
(2)找出随机事件A所包含的样本点的个数和试验中样本点的总数.
激趣诱思
知识点拨
微练习
有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
答案:C
解析:选取两支彩笔的方法有10种,即(红、黄),(红、蓝),(红、绿),(红、紫),(黄、蓝),(黄、绿),(黄、紫),(蓝、绿),(蓝、紫),(绿、紫),含有红色彩笔的选法有4种,即(红、黄),(红、蓝),(红、绿),(红、紫),由古典概型公式,得满足题意的概率为
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
古典概型的判断
例1判断下列概率模型是否属于古典概型?
(1)在区间[0,2]上任取一点;
(2)某人从甲地到乙地共有10条路线中任意一条;
(3)任意抛掷两枚质地均匀的骰子,所得点数之和作为基本事件.
分析从有限性和等可能性两个方面入手,对每个概率模型进行判断.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟
古典概型的判断方法
判断一个试验是不是古典概型,关键看它是否具备古典概型的两个特征:(1)一次试验中,可能出现的样本点只有有限个,即有限性;(2)每个样本点出现的可能性是均等的,即等可能性.
解:(1)区间[0,2]包含无穷多个点,从
[0,2]上任取一点时,有无穷多种取法,不满足有限性,因此这不是古典概型.
(2)从甲地到乙地共有10条路线,某人从中任取一条,共有10种选法,满足有限性,又每一条路线被选中的可能性是相同的,满足等可能性,因此这是古典概型.
(3)任意抛掷两枚质地均匀的骰子,点数之和共有11种可能,即点数之和分别是:2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,满足有限性,但这11种结果不是等可能出现的,不满足等可能性,故这不是古典概型.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1下列试验不是古典概型的是 .(填序号)?
①从6名同学中任选4人,参加数学竞赛;
②近三天中有一天降雨;
③从10人中任选两人表演节目.
答案:②
解析:①③为古典概型,它们符合古典概型的两个特征:有限性和等可能性.②不符合等可能性.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
古典概型概率的求解
例2袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的2个黑球和编号为c,d,e的3个红球,从中任意摸出2个球,写出试验的样本空间,并求至少摸出1个黑球的概率.
分析写试验的样本空间时要逐一写出,用古典概型的概率公式可得概率.
解:试验的样本空间为
Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},n=10.
记“至少摸出1个黑球”为事件A,则事件A包含7个样本点,∴m=7.
即至少摸出1个黑球的概率为0.7.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
延伸探究袋子中有红、白色球各1个,每次任取一个,有放回地摸三次,写出试验的样本空间,并计算下列事件的概率:(1)三次颜色恰有两次同色;(2)三次颜色全相同;(3)三次摸到的红球多于白球.
解:试验的样本空间Ω={(红,红,红)、(红,红,白)、(红,白,红)、(白,红,红)、(红,白,白)、(白,红,白)、(白,白,红)、(白,白,白)}.样本点总数n=8.
(1)记事件A为“三次颜色恰有两次同色”.
探究一
探究二
探究三
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古典概型的综合问题
例3编号分别为A1,A2,…,A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:
(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,
①用运动员编号列出所有可能的抽取结果;
②求这2人得分之和大于50的概率.
解:(1)由得分记录表,从左到右应填4,6,6.
(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3,A4,A5,A10,A11,A13.从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有(A3,A4),(A3,A5),(A3,A10),(A3,A11),(A3,A13),(A4,A5),(A4,A10),(A4,A11),(A4,A13),(A5,A10),(A5,A11),(A5,A13),(A10,A11),(A10,A13),(A11,A13),共15种.
②从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,将“这2人得分之和大于50”记为事件B,则事件B的所有可能结果有(A4,A5),(A4,A10),(A4,A11),(A5,A10),(A10,A11),共5种.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
反思感悟
古典概型综合问题的解题方法
(1)要深刻理解问题所涉及的其他数学知识,在理解题意的基础上结合古典概型的计算公式进行求解.
(2)古典概型信息迁移题通过给出一个新概念或定义一种新运算或给出几个新模型等来创设新的问题情境,要求同学们在阅读理解的基础上,应用所学的知识和方法,实现信息的迁移,以达到灵活解题的目的.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
变式训练2(1)设a,b∈{1,2,3},则函数f(x)=x2+bx+a无零点的概率为 ;?
(2)“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如2
578),在两位的“渐升数”中任取一个数比37大的概率是 .?
解析:
(1)由题意知本题是一个古典概型问题,因为试验发生包含的事件是从含有3个元素的集合中取元素,每一个有3种取法,共有3×3=9种结果.满足条件的事件是使函数f(x)=x2+bx+a无零点的结果,要满足b2-4a<0,即b2<4a.从所给的数据中,当b=1时,a有3种结果;当b=2时,a有2种结果;当b=3时,a有1种结果.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)十位是1的“渐升数”有8个;十位是2的“渐升数”有7个;…;十位是8的“渐升数”有1个,所以两位的“渐升数”共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个);以3为十位数,比37大的“渐升数”有2个,分别以4,5,6,7,8为十位数的“渐升数”均比37大,且共有5+4+3+2+1=15(个),所以比37大的两位“渐升数”共有2+15=17(个).故在两位的“渐升数”中任取一个数比37大的概率是
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
变换角度,巧解古典概型
典例
甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排,则甲站在边上的概率为 .?
方法一如图所示.
由图可看出共有24个样本点.
甲站在边上有12个样本点:(甲,乙,丙,丁),(甲,乙,丁,丙),(甲,丙,乙,丁),(甲,丙,丁,乙),(甲,丁,乙,丙),(甲,丁,丙,乙),(乙,丙,丁,甲),(乙,丁,丙,甲),(丙,乙,丁,甲),(丙,丁,乙,甲),(丁,乙,丙,甲),(丁,丙,乙,甲).故甲在边
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法二甲、乙、丙、丁四人站队,排头和排尾的站法共有:(甲,乙),(乙,甲),(甲,丙),(丙,甲),(甲,丁),(丁,甲),(乙,丙),(丙,乙),(乙,丁),(丁,乙),(丙,丁),(丁,丙)12个样本点,其中甲站在边上的情况有:(甲,乙),(乙,甲),(甲,丙),(丙,甲),(甲,丁),(丁,甲)6个样本点,故甲站在边上的概率为
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
1.从不同的角度把握问题,进而转化为不同的古典概型,这是我们进行概率计算的重要思想.当所选取的试验可能出现的结果的角度不同时,样本点的个数也将不同,但是最终所求概率的值是确定的.
2.在写试验的所有可能结果时,务必弄清问题的本质,选取合适的着眼点,有时需要“放短”眼光,只考虑影响某次试验结果的事件总数即可,如本例可只考虑排头和排尾两个特殊位置.
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探究三
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当堂检测
变式训练用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色,且每个矩形只涂一种颜色,求:
(1)3个矩形颜色都相同的概率;
(2)3个矩形颜色都不同的概率.
解:用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色,共有27个样本点,如图所示.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.下列试验中,是古典概型的个数为( )
①种下一粒花生,观察它是否发芽;
②向上抛一枚质地不均的硬币,观察正面向上的概率;
③在正方形ABCD内任意一点P,点P恰与点C重合;
④从1,2,3,4四个数中,任取两个数;
⑤在区间[0,5]上任取一点.
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:B
解析:只有④是古典概型.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是 .?
解析:从2,3,8,9任取2个分别记为(a,b),则有(2,3),(3,2),(2,8),(8,2),(2,9),(9,2),(3,8),(8,3),(3,9),(9,3),(8,9),(9,8),共有12种情况,其中符合logab为整数的有log39和log28两种情况,所以
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.若将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率为 .?
解析:将先后抛掷2次,出现向上的点数记作点坐标(x,y),则共可得样本点个数为6×6=36,而向上点数之和为4的样本点有(1,3),(2,2),(3,1),共3个,故所求概率为
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.某商场举行购物抽奖促销活动,规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中,每次取出一个球记下编号后放回,连续取两次,若取出的两个小球号码相加之和等于6,则中一等奖,等于5则中二等奖,等于4或3则中三等奖.
(1)求中三等奖的概率;
(2)求中奖的概率.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:设“中三等奖”为事件A,“中奖”为事件B,从四个小球中有放回地取两球有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)共16个样本点.
(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有(1,3),(2,2),(3,1),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)共7个样本点,则中三等奖的概
(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7个;两个小球号码相加之和等于5的样本点有2个:(2,3),(3,2).两个小球号码相加之和等于6的样本点有1个:(3,3).则中奖的概率为(共23张PPT)
第2课时 互斥事件概率的求法
激趣诱思
知识点拨
问题一:抛掷一枚骰子,点数2朝上和点数3朝上可以同时发生吗?
问题二:在两个装有质量盘的不透明箱子中各随机地取出一个质量盘,“总质量至少20
kg”与“总质量不超过10
kg”能同时发生吗?
激趣诱思
知识点拨
一、互斥事件的概率加法公式
1.定义:在一个试验中,如果事件A和事件B是互斥事件,那么有P(A∪B)=P(A)+P(B),这一公式称为互斥事件的概率加法公式.
2.推广:一般地,如果事件A1,A2,…,An两两互斥,那么有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
名师点析互斥事件概率加法公式的作用
在求某些较为复杂事件的概率时,先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知或较容易求出的彼此互斥的事件,再利用互斥事件的概率加法公式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功能,但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足前提条件“两两互斥”.
激趣诱思
知识点拨
微练习
在掷骰子的试验中,向上的数字是1或2的概率是 .?
激趣诱思
知识点拨
二、对立事件的概率公式
名师点析(1)对立事件的概率公式使用的前提是两个事件对立,否则不能使用.
(2)当一个事件的概率不易直接求出,但其对立事件的概率易求时,可运用对立事件的概率公式,即运用间接法求概率.
激趣诱思
知识点拨
微练习
从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛,所选3人都是男生的概率是
,则所选3人中至少有1名女生的概率为 .?
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
互斥事件的概率
(1)分别求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率;
(2)求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率.
分析从12个球中任取一球,取到红球、黑球、白球两两互斥,所以可用互斥事件概率的加法公式求解.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
解:(1)从袋中任取一球,记事件A为“得到红球”,B为“得到黑球”,C为“得到黄球”,D为“得到绿球”,则事件A,B,C,D两两互斥.由
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
(2)∵得到的球既不是黑球也不是绿球,
∴得到的球是红球或黄球,即事件A+C,
反思感悟互斥事件的概率的求解策略
1.当一个事件包含几种情况时,可把事件转化为几个互斥事件的并事件,再利用互斥事件的概率的加法公式计算.
2.使用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)时,必须先判断A,B是否为互斥事件.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练(1)一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为0.58,摸出红球或黑球的概率为0.62,那么摸出红球的概率为( )
A.0.42
B.
0.38
C.
0.2
D.
0.8
(2)向三个相邻的军火库投一枚炸弹,炸中第一个军火库的概率为0.2,炸中第二个军火库的概率为0.12,炸中第三个军火库的概率为0.28,三个军火库中,只要炸中一个另两个也会发生爆炸,求军火库发生爆炸的概率.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
答案:
(1)
C
解析:记分别摸一个球为红球、白球和黑球为事件A,B,C,则A,B,C为互斥事件,且A+B+C为必然事件,由题意知P(A)+P(B)=0.58,P(A)+P(C)=0.62,P(A)+P(B)+P(C)=1,解得P(A)=0.2.
(2)解:设A,B,C分别表示炸中第一、第二及第三个军火库这三个事件,事件D表示军火库爆炸,已知P(A)=0.2,P(B)=0.12,P(C)=0.28.又因为只投掷了一枚炸弹,故不可能炸中两个及以上军火库,所以A,B,C是互斥事件,且D=A+B+C,所以P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.12+0.28=0.6,即军火库发生爆炸的概率为0.6.
探究一
探究二
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当堂检测
互斥事件和对立事件的概率
例2某射手在一次射击训练中,射中10环,9环,8环,7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算这个射手在一次射击中:
(1)射中10环或7环的概率;
(2)不够7环的概率.
分析先设出事件,判断是否互斥或对立,然后再使用概率公式求解.
解:(1)设“射中10环”为事件A,“射中7环”为事件B,由于在一次射击中,A与B不可能同时发生,故A与B是互斥事件.“射中10环或7环”的事件为A∪B.故P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49,∴射中10环或7环的概率为0.49.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟互斥事件和对立事件的概率的求解策略
1.对于一个较复杂的事件,一般将其分解成几个简单的事件,当这些事件彼此互斥时,原事件的概率等于这些事件概率的和.并且互斥事件的概率加法公式可以推广为:P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).其使用的前提条件仍然是A1,A2,…,An两两互斥.故解决此类题目的关键在于分解事件及确定事件是否互斥.
2.“正难则反”是解决问题的一种很好的方法,应注意掌握,如本例中的第(2)问,不能直接求解,则可考虑求其对立事件的概率,再转化为所求.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
延伸探究本例条件不变,求射中8环及以上的概率.
解:记“射中8环及以上”为事件H,因为“射中8环”、“射中9环”、“射中10环”彼此是互斥事件,所以P(H)=0.21+0.23+0.25=0.69.
∴射中8环及以上的概率为0.69.
探究一
探究二
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当堂检测
复杂的互斥事件的概率
典例
在“元旦”联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条,分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种.从中任取一张,不中奖的
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
解:设任取一张,抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为A,B,C,D,它们是两两互斥事件.由条件可得
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
方法点睛1.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接求法,即将事件的概率分解成一些彼此互斥事件的概率的和;二是间接求法,先求出此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-
即运用逆向思维法(正难则反).
2.特别是解决“至多”“至少”型的题目,用方法二显得更为方便,注意对立事件的分类做到不重不漏.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
1.某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项,已知中一等奖的概率为0.1,中二等奖的概率为0.1,那么本次活动中,中奖的概率为( )
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.7
答案:B
解析:由于中一等奖,中二等奖为互斥事件,故中奖的概率为0.1+0.1=0.2.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
2.若事件A与B是互斥事件,且事件A+B的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,则事件A的概率为( )
A.0.2
B.0.4
C.0.6
D.0.8
答案:C
解析:由已知得P(A)+P(B)=0.8,又P(A)=3P(B),于是P(A)=0.6.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
3.据统计,在某银行的一个营业窗口等候的人数及其相应的概率如下:
则至多有2人等候排队的概率是 ,至少有3人等候排队的概率是 .?
答案:0.54 0.46
解析:记A为“至多有2人等候排队”,则P(A)=0.05+0.14+0.35=0.54.B=“至少有3人等候排队”,则P(B)=0.3+0.1+0.06=0.46.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
4.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止1个小组,具体情况如图所示.随机选取1个成员:
(1)他至少参加2个小组的概率是多少?
(2)他参加不超过2个小组的概率是多少?
探究一
探究二
素养形成
当堂检测(共25张PPT)
§3 频率与概率
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
一、概率
在相同条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率通常会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时,把这个常数叫作随机事件A的概率,记作P(A).
名师点析概率的性质
(1)随机事件A的概率P(A)满足0≤P(A)≤1.
(2)当A是必然事件时,P(A)=1;当A是不可能事件时,P(A)=0.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知某厂的产品合格率为0.8,现抽出10件产品检查,则下列说法正确的是( )
A.合格产品少于8件
B.合格产品多于8件
C.合格产品正好是8件
D.合格产品可能是8件
答案:D
解析:抽出10件产品检查合格产品约为10×0.8=8件,由概率的意义可得合格产品可能是8件.
激趣诱思
知识点拨
二、频率与概率之间的关系
1.区别:
2.联系:随机事件的频率是指大量随机试验中,此事件发生的次数与试验次数的比值,它具有一定的稳定性,总是在某一个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增加,这种摆动幅度越来越小.我们给这个常数取了一个名字,叫作这个随机事件的概率.概率可看作频率在理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小,频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率.
名师点析频率本身是随机的,在试验前不能确定;概率是一个确定的数,是客观存在的,是事件的固有属性,与每次试验无关.
激趣诱思
知识点拨
微练习
在一次掷硬币试验中,掷30
000次,其中有14
984次,正面朝上,则出现正面朝上的频率是 ,
(结果精确到0.000
1),掷一枚硬币,正面朝上的概率是 .?
答案:0.499
5 0.5
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
概率概念的理解
例1试从概率角度解释下列说法的含义:
(1)掷一枚均匀的正方体骰子得到6点的概率是
,是否意味着把它掷6次能得到1次6点?
(2)某种病的治愈率是0.3,那么前7个人没有治愈,后3个人一定能治愈吗?如何理解治愈率是0.3?
(3)据报道:某地发生的9级地震是“千年一遇”的大地震.在这里,“千年一遇”是什么意思?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)把一枚均匀的骰子掷6次相当于做6次试验,因为每次试验的结果都是随机的,所以做6次试验的结果也是随机的.这就是说,每掷一次总是随机地出现一个点数,可以是1点,2点,也可以是其他点数,不一定出现6点.所以掷一枚骰子得到6点的概率是
,并不意味着把它掷6次能得到1次6点.
(2)如果把治疗一个病人作为一次试验,治愈率是0.3,是指随着试验次数的增加,即治疗病人人数的增加,大约有30%的人能够治愈,对于一次试验来说,其结果是随机的,因此前7个病人没治愈是可能的,对后3个人来说,其结果仍然是随机的,即有可能治愈,也可能没有治愈.
(3)“千年一遇”是指0.001的概率,虽然0.001的概率比较小,但不代表没有可能;但也不能说每1
000年就一定会发生一次9级地震.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟对概率的正确理解
1.概率是随机事件发生可能性大小的度量,是随机事件A的本质属性,随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值.
2.由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率就是其规律性在数量上的反映.
3.正确理解概率的意义,要清楚概率与频率的区别与联系.对具体的问题要从全局和整体上去看待,而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
延伸探究我们知道,每次抛掷硬币的结果出现正、反的概率都为0.5,则连续抛掷质地均匀的硬币两次,是否一定出现“一次正面向上,一次反面向上”呢?
解:不一定.这是因为统计规律不同于确定的数学规律,对于具体的一次试验而言,它带有很大的随机性(即偶然性),通过具体试验可以知道除上述结果外,也可能出现“两次都是正面向上”“两次都是反面向上”.尽管随机事件的概率不像函数关系那样具有确定性,但是如果我们知道某事件发生的概率的大小,也能作出科学的决策.例如:做连续抛掷两枚质地均匀的硬币的试验1
000次,可以预见:“两个都是正面向上”大约出现250次,“两个都是反面向上”大约出现250次,而“一个正面向上、一个反面向上”大约出现500次.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
概率与频率的关系及求法
例2某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:
(1)填写表中击中靶心的频率;
(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少(结果精确到0.01)?
分析由表中数据→计算事件频率→观察频率的稳定值→估计概率.
解:(1)表中依次填入的数据为:0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.(2)由于频率稳定在常数0.89附近,所以这个射手射击一次,击中靶心的概率约是0.89.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟概率与频率的求解策略
1.频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值,利用此公式可求出它们的频率.频率是变化的,当n很大时,频率总是在一个稳定值附近左右摆动,这个稳定值就是概率.
2.解此类题目的步骤是:先利用频率的计算公式依次计算频率,然后用频率估计概率.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1下表是某批乒乓球质量检查结果表:
(1)在上表中填上优等品出现的频率;
(2)估计该批乒乓球优等品的概率约是多少(结果精确到0.01)?
(3)若抽取乒乓球的数量为1
700只,则优等品的数量大约为多少?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)如下表所示:
(2)从表中数据可以看出,这批乒乓球优等品的概率约是0.95.
(3)由优等品的概率为0.95,则抽取1
700只乒乓球时,优等品数量约为1
700×0.95=1
615.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
概率的应用
例3一个箱子中放置了若干个大小相同的白球和黑球,从箱中抽到白球的概率是99%,抽到黑球的概率是1%.现在随机取出一球,你估计这个球是白球还是黑球?
解:从箱子中任取一球,所取的球是白球的概率为99%比取到黑球的概率为1%要大得多.因此随机取出一球,取到白球的可能性比取到黑球的可能性要大,所以估计取出的球是白球.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟概率是根据大量的随机试验结果得到的一个相应的稳定值,它说明了一个事件发生的可能性的大小,但并未说明一个事件是否发生.接近1的大概率事件不是一定发生,只是发生的可能性较大,而接近0的小概率事件不是一定不发生,只是发生的可能性较小,即概率仅表示事件发生可能性的大小.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2某中学为了了解初中部学生的佩戴胸卡的情况,在学校随机抽取初中部的150名学生,其中有60名佩戴胸卡.第二次检查,调查了初中部的所有学生,有500名学生佩戴胸卡.据此估计该中学初中部一共有多少名学生.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
概率的意义
典例
某出版社对某教辅图书的写作风格进行了5次“读者问卷调查”,结果如下:
(1)计算表中的各个频率(结果精确到0.001);
(2)读者对此教辅图书满意的概率P(A)是多少?
(3)根据(1)(2)说明读者对此教辅图书满意度情况.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)表中各个频率依次是:0.998,0.998,0.998,0.999,1.000.
(2)由(1)中的结果,知某出版社在5次“读者问题调查”中,读者对此教辅图书满意的概率约是0.998.
(3)由(1)(2)可以看出,读者对此教辅图书满意程度较高,且呈上升趋势.
方法点睛随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定,但是在大量重复的试验情况下,它的发生呈现一定的规律性,可以用事件发生的频率去“测量”,因此可通过计算事件发生的频率去估算概率.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.对以下命题:
①随机事件的概率与频率一样,与试验重复的次数有关;
④“姚明投篮一次,求投中的概率”属于古典概型概率问题.
其中正确的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1
536石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得256粒内夹谷18粒,则这批米内夹谷约为( )
A.108石
B.169石
C.237石
D.338石
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.某工厂为了节约用电,现规定每天的用电量指标为1
000度,按照上个月的用电记录,在30天中有12天的用电量超过指标,若这个月(按30天计)仍没有采取具体的节电措施,则该月的第一天用电量超过指标的概率是 .?
答案:0.4
解析:电量超过指标的频率是
=0.4,又频率是概率的近似值,故该月的第一天用电量超过指标的概率为0.4.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.对某产品进行抽样检查,数据如下:
根据上表中的数据,如果要从该产品中抽到950件合格品,则大约需要抽查 件产品.?
答案:1
000
解析:根据题表中数据可知合格品出现的频率为0.94,0.92,0.96,0.95,0.95,因此合格品出现的概率约为0.95,因此要抽到950件合格品,大约需要抽查1
000件产品.(共28张PPT)
§4 事件的独立性
激趣诱思
知识点拨
常言道:“三个臭皮匠能抵诸葛亮。”怎样从数学上来解释呢?将问题具体化:假如对某事件诸葛亮想出计谋的概率为0.88,三个臭皮匠甲、乙、丙想出计谋的概率各为0.6、0.5、0.5.问这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗?
激趣诱思
知识点拨
一、相互独立事件
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫作相互独立事件.
名师点析相互独立事件与互斥事件、对立事件的区别与联系
激趣诱思
知识点拨
微练习
甲、乙两名射手同时向一目标射击,设事件A为“甲击中目标”,事件B为“乙击中目标”,则事件A与事件B( )
A.相互独立但不互斥
B.互斥但不相互独立
C.相互独立且互斥
D.既不相互独立也不互斥
答案:A
解析:甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的,所以事件A与B相互独立;甲、乙两射手可能同时击中目标,也就是说事件A与B可能同时发生,所以事件A与B不是互斥事件.
激趣诱思
知识点拨
微拓展
激趣诱思
知识点拨
二、相互独立事件同时发生的概率
两个相互独立同时发生的概率等于这两个事件发生的概率的积,即P(AB)=P(A)·P(B).
激趣诱思
知识点拨
微练习
在某道路A,B,C三处设有交通信号灯,这三处信号灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为 .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
事件独立性的判断
例1容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”,请判断此事件是否为相互独立事件.
反思感悟两个事件是否相互独立的判断
由事件相互独立的定义结合事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1甲组有3名男生,2名女生;乙组有2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”,请判断此事件是否为相互独立事件.
解:
“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响,所以它们是相互独立事件.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
相互独立事件同时发生的概率
例2根据资料统计,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.6,购买甲种保险与购买乙种保险相互独立.
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率;
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.
分析根据相互独立事件的概率公式求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件是相互独立的;
(2)再确定各事件会同时发生;
(3)先求每个事件发生的概率,再求两个概率之积.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(1)求乙答对这道题的概率;
(2)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题的概率.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
事件的相互独立性与互斥性
例3小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求:
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率;
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
分析(1)这三列火车之间是否正点到达互不影响,因此本题是相互独立事件同时发生的概率问题,注意两列正点到达所包含的情况.
(2)这三列火车至少有一列正点到达的对立事件是三列火车都没正点到达,这种情况比正面列举简单些,因此利用对立事件的概率公式求解.
探究一
探究二
探究三
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解:用A,B,C分别表示这三列火车正点到达的事件,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,
(1)由题意得A,B,C之间互相独立,所以恰好有两列正点到达的概率为
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反思感悟与相互独立事件有关的概率问题求解策略
明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.
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延伸探究本例条件下,求恰有一列火车正点到达的概率.
=0.8×0.3×0.1+0.2×0.7×0.1+0.2×0.3×0.9
=0.092.
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方程思想在概率中的应用
(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率;
(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个是一等品的概率.
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解:(1)设甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品为事件
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方法点睛设甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品为事件A,B,C,由题意建立关于P(A),P(B),P(C)的方程组,从而确定P(A),P(B),P(C)的值;再由对立事件和相互独立事件同时发生的概率公式求解.
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1.袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,用A表示“第一次摸得白球”,用B表示“第二次摸得白球”,则A与B是( )
A.互斥事件
B.相互独立事件
C.对立事件
D.不相互独立事件
答案:D
件、对立事件和相互独立事件的定义可知,A与B不是相互独立事件.
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2.甲、乙两人各进行一次射击,如果两人击中目标的概率都是0.8,则其中恰有一人击中目标的概率为( )
A.0.64
B.
0.32
C.
0.56
D.
0.48
答案:B
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3.袋中装有红、黄、蓝3种颜色的球各1个,从中每次任取1个,有放回地抽取3次,则3次全是红球的概率为( )
答案:D
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(1)求恰有一名同学当选的概率;
(2)求至多有两人当选的概率.
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当堂检测(共20张PPT)
章末整合
专题一 随机事件的概率?
例1某射击运动员为备战奥运会,在相同条件下进行射击训练,结果如下:
(1)该射击运动员射击一次,击中靶心的概率大约是多少(结果精确到0.01)??
(2)假设该射击运动员射击了300次,则击中靶心的次数大约是多少?
(3)假如该射击运动员射击了300次,前270次都击中靶心,那么后30次一定都击不中靶心吗?
解:(1)由题意,击中靶心的频率分别为0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91,当射击次数越来越大时,击中靶心的频率在0.9附近摆动,故概率约为0.9.
(2)击中靶心的次数大约为300×0.9=270(次).
(3)由概率的意义,可知概率是个常数,不因试验次数的变化而变化.后30次中,每次击中靶心的概率仍是0.9,所以不一定击中靶心.
方法规律概率与频率的关系
随机事件的概率是指在相同的条件下,大量重复进行同一试验,随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时,我们把这个常数叫作事件A的概率,记作P(A).它反映的是这个事件发生的可能性的大小.
一个随机事件的发生既有随机性(对单次试验来说),又有规律性(对大量重复试验来说).其概率一般不好求,但可以用频率来估计.
变式训练1对一批U盘进行抽检,结果如下表:
(1)计算表中次品的频率(结果精确到0.001);
(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少?
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,要销售2
000个U盘,至少需进货多少个U盘?
解:(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018.
(2)当抽取件数a越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.
(3)设需要进货x个U盘,为保证其中有2
000个正品U盘,则x(1-0.02)≥2
000,因为x是正整数,
所以x≥2
041,即至少需进货2
041个U盘.
专题二 互斥事件与对立事件的概率求法?
例2甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个不同的题目.其中,选择题3个,判断题2个,甲、乙两人各抽一题.
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题的概率是多少?
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?
解:把3个选择题记为x1,x2,x3,2个判断题记为p1,p2.
共有20个样本点.
“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的情况有:(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2),共6个样本点;
“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的情况有:(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3),共6个样本点;
“甲、乙都抽到选择题”的情况有:(x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2,x3),(x3,x1),(x3,x2),共6个样本点;
“甲、乙都抽到判断题”的情况有:(p1,p2),(p2,p1),共2个样本点.
方法技巧互斥事件与对立事件的概率求法
互斥和对立都是反映事件相互关系的重要概念.互斥事件、对立事件的概率公式是基本公式,必须学会正确运用.运用互斥事件的概率加法公式时,首先要确定各事件是否彼此互斥,如果彼此互斥,分别求出各事件发生的概率,再求和.求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和,运用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)求解;二是先求其对立事件的概率,然后
变式训练2某服务电话,打进的电话响第1声时被接的概率是0.1;响第2声时被接的概率是0.2;响第3声时被接的概率是0.3;响第4声时被接的概率是0.35.
(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少?
(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少?
解:(1)设事件“电话响第k声时被接”为Ak(k∈N),那么事件Ak彼此互斥,设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A,根据互斥事件概率加法公式,得P(A)=P(A1∪A2∪A3∪A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.1+0.2+0.3+0.35=0.95.
(2)由(1)知事件“打进的电话响4声而不被接”是事件“打进的电话在
专题三 古典概型?
例3从含有两件正品a1,a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.
(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率;
(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少?
解:(1)每次取一件,取出后不放回,则连续取两次的所有的样本点共有6个,分别是(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,b),(b,a1),(b,a2),其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.可以确定这些样本点的出现是等可能的.用A表示“取出的两件产品中恰有一件次品”,则A包含的样本点是(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2).
因为A中的样本点的个数为4,所以
(2)有放回地连续取出两件,则所有的样本点共有9个,分别是(a1,a1),(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b),(b,a1),(b,a2),(b,b).由于每一件产品被取到的机会均等,因此可以确定这些样本点的出现是等可能的.用B表示“取出的两件产品中恰有一件次品”,则B包含的样本点是(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2).
方法技巧古典概型的概率求法
古典概型是一种最基本的概率模型,也是学习其他概率模型的基础,在高考题中,经常出现此种概率模型的题目.解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征,即有限性和等可能性.
列举样本点时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏.
变式训练3从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是( )
答案:D
解析:∵当b=1时,没有满足条件的a值;当b=2时,a=1;当b=3时,a可以是1,可以是2,∴共3种情况.而从{1,2,3,4,5}中随机取一个数a,再从{1,2,3}中随机取一个数b,共有3×5=15种不同取法,∴b>a的
专题四 相互独立事件同时发生的概率?
例4计算机考试分理论考试与实际操作两部分,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考试都“合格”者,则计算机考试“合格”,并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次
否合格相互之间没有影响.
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试,谁获得合格证书的可能性最大?
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后,求恰有两人获得合格证书的概率.
规律总结相互独立事件概率的求法
(1)首先要搞清事件间的关系(是否彼此互斥、是否相互独立、是否对立),正确区分“互斥事件”与“对立事件”.当且仅当事件A和事件B相互独立时,才有P(AB)=P(A)P(B).
(2)某些事件若含有较多的互斥事件,可考虑其对立事件的概率,这样可减少运算量,提高准确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化.
变式训练4甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的
(1)求至多1个人译出密码的概率;
(2)求至少1个人译出密码的概率.
