苏科版八年级数学上册 2.5 等腰三角形的轴对称性 专题培优训练卷（Word版 含解析）

2020-2021苏科版八年级数学上册2.5等腰三角形的轴对称性专题培优训练卷
一、选择题
1、下列说法错误的是
（
）
A．等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴
B．等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴
C．等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴
D．等腰三角形一个内角的平分线所在的直线是它的对称轴
2、已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长是(
)
A．12
　　　　
B．17　　　　　
C．17或19
　　　
D．19
3、如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，
则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（???
）
A.?BC????????????????????????????????????????B.?CE????????????????????????????????????????C.?AD????????????????????????????????????????D.?AC
4、如图，等腰三角形ABC的边BC为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为(
)
A.
8
B.
10
C.
12
D.
14
5、如图，在中，，平分，，，、为垂足，则下列四个结论：（1）；（2）；（3）平分；（4）垂直平分．其中正确的有　　
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6、如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长为AB＋AC；
④BD＝CE.
(??
)
A.?③④??????????????????????B.?①②??????????????????C.?①②③??????????????????????D.?②③④
7、如图，AD＝BC＝BA，那么∠1与∠2之间的关系是（
??）
A.?∠1＝2∠2????????????????B.?2∠1+∠2＝180°??????????????????C.?∠1+3∠2＝180°????????????????D.?3∠1﹣∠2＝180°
8、如图，点P在边长为1的等边的边AB上，过点P作于点为BC延长线上一点，
当时，连PQ交AC边于D，则DE的长为(
)
A.
B.
C.
D.
不能确定
8、如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC的度数为（　　）
A．35°
B．40°
C．45°
D．60°
9、如图，是等边三角形，，，则的度数为　　
A．
B．
C．
D．
10、在中，与相邻的外角是，要使为等腰三角形，则的度数是　　
A．
B．
C．或
D．或或
11、如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝6，DC＝8，
DE＝20，则FG＝　
　．
12、在等腰三角形中，边上的高恰好等于边长的一半，则等于　　
A．
B．或
C．或
D．或或
二、填空题
13、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，
则∠EPF=
度．
14、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于28°，则顶角为
15、如图，在中，平分，于点，交于点，若，
则　
　．
16、如图，已知∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，求则∠FEN=_______
17、如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，BE是高，且点D、F分别是边AB、BC的中点，则△DEF的周长等于　
　．
18、如图，是等腰三角形，，，平分；点是射线上一点，如果
点满足是等腰三角形，那么的度数是　
　．
19、如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于
点，那么下列结论，①是等腰三角形；②；③若，；
④．其中正确的序号是_____________
20、含角的直角三角板与直线，的位置关系如图所示，已知，，以下三个结论中正确的是　
　（只填序号）
①；②为正三角形；③
21、已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E、F分别是AC、BD的中点．则∠EFO＝　90°　．
22、如图，两块完全一样的含角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点．已知，则这两块直角三角板顶点、之间的距离等于　
　．
23、如图，垂直平分线段，，垂足为，交于点，，，
则点到直线的距离是　
　．
24、如图，在中，，点和点在直线的同侧，，，，连接、，则的度数为　
　．
三、解答题
25、如图，是等腰三角形底边上的任一点，于，于，是等腰三角形边上的高．猜想：、和间具有怎样的数量关系？
26、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：
（1）EF⊥AB；（2）△ACF为等腰三角形．
27、如图1，已知锐角中，、分别是、边上的高，、分别是线段、的中点．
（1）求证：．
（2）连结，，猜想与之间的关系，并证明猜想．
（3）当变为钝角时，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
图1
图2
28、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．
（1）若∠BAC＝90°（图1），求∠DAE的度数；
（2）若∠BAC＝120°（图2），求∠DAE的度数；
（3）当∠BAC＞90°时，探求∠DAE与∠BAC之间的数量关系，直接写出结果．
图1
图2
2020-2021苏科版八年级数学上册2.5等腰三角形的轴对称性专题培优训练卷（答案）
一、选择题
1、下列说法错误的是
（
D
）
A．等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴
B．等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴
C．等腰三角形顶角的平分线所在的直线是它的对称轴
D．等腰三角形一个内角的平分线所在的直线是它的对称轴
2、已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长是(
C
)
A．12
　　　　
B．17　　　　　
C．17或19
　　　
D．19
3、如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，
则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（??B?
）
A.?BC????????????????????????????????????????B.?CE????????????????????????????????????????C.?AD????????????????????????????????????????D.?AC
4、如图，等腰三角形ABC的边BC为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为(
D
)
B.
8
B.
10
C.
12
D.
14
5、如图，在中，，平分，，，、为垂足，则下列四个结论：（1）；（2）；（3）平分；（4）垂直平分．其中正确的有　　
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】，平分，，
是等腰三角形，，，
垂直平分
（4）错误；
又所在直线是的对称轴，
（1）；（2）；（3）平分．
故选：．
6、如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长为AB＋AC；
④BD＝CE.(??C
)
A.?③④??????????????????????B.?①②??????????????????C.?①②③??????????????????????D.?②③④
7、如图，AD＝BC＝BA，那么∠1与∠2之间的关系是（
B??）
A.?∠1＝2∠2????????????????B.?2∠1+∠2＝180°??????????????????C.?∠1+3∠2＝180°????????????????D.?3∠1﹣∠2＝180°
8、如图，点P在边长为1的等边的边AB上，过点P作于点为BC延长线上一点，
当时，连PQ交AC边于D，则DE的长为(
B
)
A.
B.
C.
D.
不能确定
8、如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC的度数为（　　）
A．35°
B．40°
C．45°
D．60°
【解析】∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，
∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABE＝45°，
又∵AB＝AC，∴∠ABC（180°﹣∠BAC）（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，∴BF＝EF，∴∠BEF＝∠CBE＝22.5°，
∴∠EFC＝∠BEF+∠CBE＝22.5°+22.5°＝45°．
故选：C．
9、如图，是等边三角形，，，则的度数为　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：是等边三角形，，，
，，，，，
又，，故选：．
10、在中，与相邻的外角是，要使为等腰三角形，则的度数是　　
A．
B．
C．或
D．或或
【解答】解：．
当时，；
当时，，则；
当时，．
的度数为或或，故选：．
11、如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝6，DC＝8，
DE＝20，则FG＝　
　．
【解析】∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，
∵∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，
∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，
∴BE＝EG，CD＝DF，
∵BE＝6，DC＝8，DE＝20，
∴FG＝DE﹣EG﹣DF＝DE﹣BE﹣CD＝20﹣6﹣8＝6，
故答案为6．
12、在等腰三角形中，边上的高恰好等于边长的一半，则等于　　
A．
B．或
C．或
D．或或
【解答】解：如下图，分三种情况：
①如图1，，，在三角形的内部，
由题意知，，
，，，；
②如图2，，，在三角形的外部，由题意知，，
，，
，；
③如图3，，，边为等腰三角形的底边，
由等腰三角形的底边上的高与底边上中线，顶角的平分线重合，可得点为的中点，
由题意知，，，均为等腰直角三角形，
，，的度数为或或，
故选：．
图1
图2
图3
二、填空题
13、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，
则∠EPF=
50
度．
14、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于28°，则顶角为
62或118°
15、如图，在中，平分，于点，交于点，若，则　
　．
【解析】是的平分线，，
，，，，
，，，
，，，．
故答案为：4．
16、如图，已知∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，求则∠FEN=_______75°
17、如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，BE是高，且点D、F分别是边AB、BC的中点，则△DEF的周长等于　16　．
【解析】∵点D、F分别是边AB、BC的中点，AB＝AC＝12，BE是高，
∴DF是△ABC的中位线，AF⊥BC，BE⊥AC，
∴DFAC＝6，EFBC＝4，DEAB＝6，
∴△DEF的周长＝DF+EF+DE＝6+4+6＝16；
故答案为：16．
18、如图，是等腰三角形，，，平分；点是射线上一点，如果
点满足是等腰三角形，那么的度数是　、或　．
19、如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于
点，那么下列结论，①是等腰三角形；②；③若，；
④．其中正确的序号是_____________
【解答】，，
平分，，，是等腰三角形，故①正确；
，同理可得：，，故②正确；
，，故③错误；
无法得出，故④错误；
20、含角的直角三角板与直线，的位置关系如图所示，已知，，以下三个结论中正确的是　
　（只填序号）
①；②为正三角形；③
【解答】由题意可知：，，故①错误；
，，是等边三角形，故②正确；
是等边三角形，，
，，故③正确；
故答案为：②③
21、已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E、F分别是AC、BD的中点．则∠EFO＝　90°　．
【解析】连接EB、ED，
∵∠ABC＝90°，E是AC的中点，∴BEAC，
同理，DEAC，∴EB＝ED，又F是BD的中点，
∴EF⊥BD，∴∠EFO＝90°，故答案为：90°．
22、如图，两块完全一样的含角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点．已知，则这两块直角三角板顶点、之间的距离等于　
　．
【解答】如图，连接，
点是中点，，
旋转，，，
，且,是等边三角形,
故答案为：2
23、如图，垂直平分线段，，垂足为，交于点，，，
则点到直线的距离是　
　．
【解答】过点作与点，
垂直平分线段，，，即为角平分线，
，，，
又，，．故答案为：．
24、如图，在中，，点和点在直线的同侧，，，，连接、，则的度数为　　．
【解答】解：如图，作
，
，连接，，
，，
，，
，，
在和中，，，
，，，
，
，，，△是等边三角形，，，
在△和△中，，△△，
，，故答案为：．
三、解答题
25、如图，是等腰三角形底边上的任一点，于，于，是等腰三角形边上的高．猜想：、和间具有怎样的数量关系？
【解答】解：．理由如下：
连接．
，，
，．
26、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：
（1）EF⊥AB；（2）△ACF为等腰三角形．
【分析】（1）依据AB＝AC，∠BAC＝36°，可得∠ABC＝72°，再根据BD是∠ABC的平分线，即可得到∠ABD＝36°，由∠BAD＝∠ABD，可得AD＝BD，依据E是AB的中点，即可得到FE⊥AB；
（2）依据FE⊥AB，AE＝BE，可得FE垂直平分AB，进而得出∠BAF＝∠ABF，依据∠ABD＝∠BAD，即可得到∠FAD＝∠FBD＝36°，再根据∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，可得∠CAF＝∠AFC＝36°，进而得到AC＝CF．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝72°，
又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝36°，
∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD，
又∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，即FE⊥AB；
（2）∵FE⊥AB，AE＝BE，∴FE垂直平分AB，∴AF＝BF，∴∠BAF＝∠ABF，
又∵∠ABD＝∠BAD，∴∠FAD＝∠FBD＝36°，
又∵∠ACB＝72°，∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，∴∠CAF＝∠AFC＝36°，
∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．
27、如图1，已知锐角中，、分别是、边上的高，、分别是线段、的中点．
（1）求证：．
（2）连结，，猜想与之间的关系，并证明猜想．
（3）当变为钝角时，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
图1
图2
【解答】（1）证明：如图，连接，，
、分别是、边上的高，是的中点，，，
，又为中点，；
（2）在中，，
，
，，
，，；
（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，
理由如下：在中，，
，
，，，
，．
28、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．
（1）若∠BAC＝90°（图1），求∠DAE的度数；
（2）若∠BAC＝120°（图2），求∠DAE的度数；
（3）当∠BAC＞90°时，探求∠DAE与∠BAC之间的数量关系，直接写出结果．
图1
图2
【解析】（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA（180°﹣∠B）＝67.5°，
∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠E∠ACB＝22.5°，
∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝112.5°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°，
（2）如图2，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝30°，
∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝75°，
∴∠DAC＝45°，∵CA＝CE，
∴∠E＝∠CAE＝15°，∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝60°；
（3）∠DAE∠BAC，
理由：设∠CAE＝x，∠BAD＝y，
则∠B＝180°﹣2y，∠E＝∠CAE＝x，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝2y﹣x，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝2y﹣x﹣y＝y﹣x，∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝2y﹣x﹣x＝2y﹣2x
∴∠DAE∠BAC．