2019-2020学年山东省青岛大学附中八年级下学期期中数学试卷（word版，含解析）

2019-2020学年山东青岛大学附中八年级第二学期期中数学试卷
一、选择题（共7小题）.
1．已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（　　）
A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b
2．观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设（　　）
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
4．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　）
A．m2﹣9＝（m﹣3）2 B．m2﹣m+1＝m（m﹣1）+1
C．m2+2m＝m（m+2） D．（m+1）2＝m2+2m+1
5．如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E、在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE．若点C的坐标为（0，1），AC＝2，则这种变换可以是（　　）
A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1
D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3
6．已知不等式组的解集是x≥1，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a≤1 C．a≥1 D．a＞1
7．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝4，CD＝5．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图2），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（　　）
A． B． C． D．4
二、填空题
8．命题“互为相反数的两数的和是0”的逆命题是　 　，它是　 　命题． （填“真、假”）
9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的底角为　 　．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3cm，∠A＝120°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于D，E，则EC的长为　 　．
11．一次函数y＝﹣3x+b和y＝kx+1的图象如图所示，其交点为P（3，4），则不等式（3+k）x≥b﹣1的解集是　 　．
12．小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米，已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x分钟，则列出的不等式为　 　．
13．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△EFD的面积分别为50和4.5，则△AED的面积为　 　．
14．如图，点A1的坐标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为　 　．
三、解答题
15．解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
16．因式分解：4（x+y）2﹣16（x﹣y）2．
17．尺规作图：用直尺和圆规作图，不写作法，保留痕迹．
已知：如图，线段a，h．
求作：△ABC，使AB＝AC，且∠BAC＝∠α，高AD＝h．
18．如图所示∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，点E，F在BC上且BE＝CF．
（1）求证：AF＝DE；
（2）若PO平分∠EPF，则PO与线段BC有什么关系？为什么？
19．某单位需要将一批商品封装入库，因此打算购进A、B两种型号的包装盒共100个，若购买3个A型包装盒和2个B型包装盒共需550元，且A型包装盒的单价是3型包装盒单价的3倍，每个A型包装盒可容纳500件该商品，每个B型包装盒可容纳200件该商品．
（1）求A、B两种型号的包装盒单价各是多少元？
（2）若共需要封装34400件该商品，求怎样购买包装盒最划算？最低费用是多少？
20．如图，在直角三角形△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm，点P从A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动．P，Q分别从A，B同时出发，当一个动点到达终点则另一动点也随之停止运动．设运动时间为t（s）
（1）求t为何值时，△PBQ为等腰三角形？
（2）是否存在某一时刻t，使点Q在线段AC的垂直平分线上？
（3）点P、Q在运动的过程中，是否存在某一时刻t，直线PQ把△ABC的周长与面积同时分为1：2两部分？若存在，求出t，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（　　）
A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b
解：由不等式的性质得a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．
故选：D．
2．观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，不是轴对称图形，选项不符合题意；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，选项符合题意．
故选：D．
3．用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设（　　）
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，
第一步应先假设每一个内角都小于60°，
故选：B．
4．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　）
A．m2﹣9＝（m﹣3）2 B．m2﹣m+1＝m（m﹣1）+1
C．m2+2m＝m（m+2） D．（m+1）2＝m2+2m+1
解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫把这个多项式因式分解，也叫分解因式，
A、平方差公式计算错误，故本选项错误；
B、不是因式分解，故本选项错误；
C、左右相等，且是因式分解，故本选项正确；
D、不是因式分解，故本选项错误；
故选：C．
5．如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E、在y轴上，Rt△ABC经过变换得到Rt△ODE．若点C的坐标为（0，1），AC＝2，则这种变换可以是（　　）
A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1
D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3
解：根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE．
故选：A．
6．已知不等式组的解集是x≥1，则a的取值范围是（　　）
A．a＜1 B．a≤1 C．a≥1 D．a＞1
解：∵等式组的解集是x≥1，
∴a＜1，
故选：A．
7．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝4，CD＝5．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图2），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（　　）
A． B． C． D．4
解：由题意易知：∠CAB＝45°，∠ACD＝30°．
若旋转角度为15°，则∠ACO＝30°+15°＝45°．
∴∠AOC＝180°﹣∠ACO﹣∠CAO＝90°．
在等腰Rt△ABC中，AB＝4，则AC＝BC＝2．
同理可求得：AO＝OC＝2．
在Rt△AOD1中，OA＝2，OD1＝CD1﹣OC＝3，
由勾股定理得：AD1＝．
故选：A．
二、填空题
8．命题“互为相反数的两数的和是0”的逆命题是　和是0的两个数互为相反数　，它是　真　命题． （填“真、假”）
解：逆命题是和是0的两个数互为相反数；
根据相反数的意义，知该逆命题是真命题．
故答案为：和是0的两个数互为相反数、真．
9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的底角为　70°或20°　．
解：①如图一，
∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°，
∴在直角△ABD中，∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴∠C＝∠ABC＝＝70°；
②如图二，
∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°，
∴在直角△ABD中，∠BAD＝90°﹣50°＝40°，
又∵∠BAD＝∠ABC+∠C，∠ABC＝∠C，
∴∠C＝∠ABC＝＝＝20°．
故答案为：70°或20°．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3cm，∠A＝120°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于D，E，则EC的长为　　．
解：∵AB＝AC＝3cm，∠A＝120°，
∴，
连接AE，
∵ED垂直平分AB，
∴AE＝BE，∠EAD＝30°，
∵∠A＝120°，
∴∠EAC＝90°，
∴
故答案为：．
11．一次函数y＝﹣3x+b和y＝kx+1的图象如图所示，其交点为P（3，4），则不等式（3+k）x≥b﹣1的解集是　x≥3　．
解：∵一次函数y＝﹣3x+b和y＝kx+1的图象交点为P（3，4），
∴当x≥3时，kx+1≥﹣3x+b，即（3+k）x≥b﹣1，
∴不等式（3+k）x≥b﹣1的解集为x≥3．
故答案为x≥3．
12．小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米，已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x分钟，则列出的不等式为　210x+90（15﹣x）≥1800　．
解：根据题意列不等式为：210x+90（15﹣x）≥1800，
故答案为：210x+90（15﹣x）≥1800．
13．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△EFD的面积分别为50和4.5，则△AED的面积为　41　．
解：作DM⊥AC，垂足为M，如图，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF＝DM，
∵AD＝AD，DF＝DM，
∴△ADF≌△ADM（HL），
∵DE＝DG，DF＝DM，
∴△DFE≌△DMG（HL），
∴S△ADM＝S△ADF＝S△ADG﹣S△EFD＝50﹣4.5＝45.5，
∴S△AED＝S△ADF﹣S△EFD＝45.5﹣4.5＝41．
故答案为：41．
14．如图，点A1的坐标为（1，0），A2在y轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，垂足为A2，交x轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3，交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，垂足为A4，交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5，垂足为A5，交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为　﹣（）2015　．
解：∵A1（1，0），A2[0，（）1]，A3[﹣（）2，0]．A4[0，﹣（）3]，A5[（）4，0]…，
∴序号除以4整除的话在y轴的负半轴上，余数是1在x轴的正半轴上，余数是2在y轴的正半轴上，余数是3在x轴的负半轴上，
∵2016÷4＝504，
∴A2016在y轴的负半轴上，纵坐标为﹣（）2015．
故答案为﹣（）2015．
三、解答题
15．解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
解：，
由①解得：x≤4；
由②得：x＞0，
故原不等式组的解集为0＜x≤4，
表示在数轴上，如图所示：
16．因式分解：4（x+y）2﹣16（x﹣y）2．
解：4（x+y）2﹣16（x﹣y）2
＝4[（x+y）2﹣4（x﹣y）2]
＝4（x+y+2x﹣2y）（x+y﹣2x+2y）
＝4（3x﹣y）（3y﹣x）．
17．尺规作图：用直尺和圆规作图，不写作法，保留痕迹．
已知：如图，线段a，h．
求作：△ABC，使AB＝AC，且∠BAC＝∠α，高AD＝h．
解：如图所示，△ABC即为所求．
18．如图所示∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，点E，F在BC上且BE＝CF．
（1）求证：AF＝DE；
（2）若PO平分∠EPF，则PO与线段BC有什么关系？为什么？
【解答】（1）证明：∵BE＝CFBC＝CB，
∴BF＝CE，
在Rt△ABF与Rt△DCE中，
∵
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴AF＝DE；
（2）解：PO垂直平分BC，
∵Rt△ABF≌Rt△DCE，
∴∠E＝∠F，
∴△PEF为等腰三角形，
又∵PO平分∠EPF，
∴PO⊥BC（三线合一），EO＝FO（三线合一），
又∵EB＝FC，
∴BO＝CO，
∴PO垂直平分BC．
19．某单位需要将一批商品封装入库，因此打算购进A、B两种型号的包装盒共100个，若购买3个A型包装盒和2个B型包装盒共需550元，且A型包装盒的单价是3型包装盒单价的3倍，每个A型包装盒可容纳500件该商品，每个B型包装盒可容纳200件该商品．
（1）求A、B两种型号的包装盒单价各是多少元？
（2）若共需要封装34400件该商品，求怎样购买包装盒最划算？最低费用是多少？
解：（1）设B型包装盒单价为x元，则A型包装盒单价为3x元，
根据题意，得3×3x+2x＝550，
解得x＝50．
则3×50＝150．
答：A型包装盒单价为150元，B型包装盒单价为50元．
（2）设购买A型包装盒m个，总费用为w元，
根据题意，得500m+200（100﹣m）≥34400，
解得m≥48．
由题意，得w＝150m+50（100﹣m）＝100m+5000，
∵k＝100＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝48时，w最小，此时w＝100×48+5000＝9800．
答：购买A型包装盒48个，B型包装盒52个时最划算，最低费用是9800元．
20．如图，在直角三角形△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm，点P从A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动．P，Q分别从A，B同时出发，当一个动点到达终点则另一动点也随之停止运动．设运动时间为t（s）
（1）求t为何值时，△PBQ为等腰三角形？
（2）是否存在某一时刻t，使点Q在线段AC的垂直平分线上？
（3）点P、Q在运动的过程中，是否存在某一时刻t，直线PQ把△ABC的周长与面积同时分为1：2两部分？若存在，求出t，若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意得，AP＝2t，BQ＝4t，
则BP＝12﹣2t，
当△PBQ为等腰三角形时，只有BP＝BQ，
∴12﹣2t＝4t，
解得，t＝2；
（2）当点Q在线段AC的垂直平分线上时，QC＝QA，
设BQ＝x，
则＝16﹣x，
解得，x＝3.5，即BQ＝3.5，
∴t＝＝（秒）；
（3）在Rt△ABC中，AC＝＝20，
△ABC的面积＝×AB×BC＝96cm2，
当直线PQ把△ABC的周长分为1：2两部分时，
当AC+AP+CQ＝2×（BP+BQ）时，20+2t+16﹣4t＝2（12﹣2t+4t），
解得，t＝2，
则PB＝12﹣4＝8，BQ＝4×2＝8，
则△BPQ的面积＝×PB×QB＝32，
∴四边形CAPQ的面积＝96﹣32＝64，
△BPQ的面积：四边形CAPQ的面积＝1：2，
∴当t＝2时，直线PQ把△ABC的周长与面积同时分为1：2两部分，
当2（AC+AP+CQ）＝BP+BQ时，2（20+2t+16﹣4t）＝12﹣2t+4t，
解得，t＝10（不合题意），
∴当t＝2时，直线PQ把△ABC的周长与面积同时分为1：2两部分．