题型分类学案：利用导数求函数单调性（含答案）

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题型分类：利用导数求函数单调性
【知识归纳】
要点一：函数的单调性与导数的关系
我们知道，如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说在这一区间具有单调性.
已知函数的图象如图所示，
由函数的单调性易知，当时，是减函数；当时，是增函数.现在我们看看各个单调区间内任意一点的切线情况：
考虑到曲线的在某点处切线的斜率就是函数在改点的导数值，从图象可以看到：
在区间（－∞，2）内，任意一点的切线的斜率为负，即时，为减函数.
在区间（2，+∞）内，任意一点的切线的斜率为正，即时，为增函数.
导数的符号与函数的单调性：
一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，
（1）若，则在这个区间上为增函数；
（2）若，则在这个区间上为减函数；
（3）若恒有，则在这一区间上为常函数.
反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．
要点诠释：
①因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减；
②若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似.
即在某区间上，在这个区间上为增函数；
在这个区间上为减函数，但反之不成立.
③在某区间上为增函数在该区间；
在某区间上为减函数在该区间.
在区间(,b)内，（或）是在区间(，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件.
例如：而f()在R上递增.
④只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.
⑤注意导函数图象与原函数图象之间的关系.
要点二：利用导数研究函数的单调性
利用导数判断函数单调性的基本方法：
设函数在区间（，b）内可导，
（1）如果恒有，则函数在（，b）内为增函数；
（2）如果恒有，则函数在（，b）内为减函数；
（3）如果恒有，则函数在（，b）内为常数函数.
要点诠释：
①若函数在区间（，b）内单调递增，则，若函数在（，b）内单调递减，则；
②或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或.
要点三：利用导数求函数单调区间的基本步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）在函数的定义域内解不等式或；
（4）确定的单调区间.
或者：令，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号.
要点诠释：
①求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集；
②求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确.
【典型剖析】
类型一：求普通函数的最值
例1. 函数在区间上的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D；

得而端点的函数值，得
【变式1】已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为(　 　)
A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件
答案：C；
[解析]　本题考查了导数的应用及求导运算．
∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，
令y′＝0，解得x＝9，所以x∈(0,9)时，y′>0，
x∈(9，＋∞)时，y′<0，y先增后减．
∴x＝9时函数取最大值，选C，属导数法求最值问题．
【变式2】若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．
[答案]　－1
[解析]　f′(x)＝＝
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－(舍去)
当x>时，f′(x)<0；当00；
当x＝时，f(x)＝＝，＝<1，不合题意．
∴f(x)max＝f(1)＝＝，解得a＝－1.
【变式3】求函数的最值
思路：首先判定定义域为,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值
解：，令,解得：
的单调区间为：






，无最小值
【变式4】已知函数,是否存在实数，使得在上取得最大值，最小值若存在，求出的值，若不存在，请说明理由
思路：利用求出函数的单调区间，在根据单调区间判断最大最小值点的可能位置，进而根据最大最小值解出
解：，
（1）当时，
在单调递减
（2）当时，
在单调递增
或
类型二、导数图像与函数图像的应用
例2.已知二次函数的图象如图1所示 , 则其导函数的图象大致形状是（ ）

答案：B；
【变式1】设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图1所示，则导函数y=f (x)的图象可能为（ ）
答案：D；
【变式2】如果函数y=f(x)的图象如下图，那么导函数y=f(x)的图象可能是（ ）
答案：A；
【变式3】函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　 　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案]　A；
[解析]　由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．
类型三、含参数求导分类讨论法
【讨论极值存在性】讨论的单调性
【讨论极值大小关系】讨论的单调性
【变式1】已知函数，求的单调区间
解：定义域

令，所解不等式为
当时，即解不等式
的单调区间为：






当时， 恒成立
为增函数:
【变式2】讨论函数的单调区间
解： 令
即 （注意定义域为，所以导函数分母恒正，去掉后简化所解不等式）
① 时 （求解需要除以后开方，进而两个地方均需要分类讨论，先从的符号入手）
恒成立，在单调递增
② 函数 为增函数
③ 时 （下一步为开方出解集，按的符号进行再分类）
当即时，恒成立，在单调递减
当即时，解得：
的单调区间为：






【变式3】已知函数，讨论的单调性
解：定义域为
令即
考虑 （左边无法直接因式分解，考虑二次函数是否与轴有交点）
① 时 恒成立，故在单调递增
② 时 的解
的解集为
的单调区间为：









③ 时
在单调递增
【变式4】已知函数.求函数的单调区间.
解：
令，即，
（参数角色：① 的大小，② 是否在定义域内，以①为目标分类）
① 即 （此时一定在定义域中，故不再分类）
不等式的解集为或 的单调区间为：






↗ ↘ ↗
② 在单调递增
③ ，要根据是否在进行进一步分类
当时， 不等式的解集为或
的单调区间为：






↗ ↘ ↗
当时，则，不等式的解集为 ，的单调区间为：




↘ ↗
类型四、单调性逆应用
孤立系数法求系数范围：
知道单调性反求系数，多数用孤立系数法。具体操作步骤如下：
1、求导；
2、若要求单调递增，则令导数大于等于“0”；若要求单调递减，则令导数小于等于“0”；
3、整理式子，把所要求的系数放在左边，其他放在右边；
4、若，则求最大值；若，则求最小值；
5、该系数大于（或小于）该最值；
例4.若函数在区间上是减函数，则实数的范围是（ ）
A. B、 C、 D、
答案：A
【变式1】函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( 　)
A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞) C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)
[答案]　B
[解析]　∵f(x)＝x3＋ax－2在[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立
即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立
又∵在[1，＋∞)上(－3x2)max＝－3
∴a≥－3，故应选B.
【变式2】若上是减函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案： C
【变式3】已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 因为函数在区间上是增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，易知在上单调递减，所以，所以，解得．
【变式4】若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是_________．
[答案]　[3，＋∞)
[解析]　y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax<0在区间(0,2)内恒成立，
即a>x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.
【变式5】函数在上单调递增，则实数的取值范围是　　　　　．
答案：4 ；
【变式6】函数在上单调递增，则实数的取值范围是　　　　．
答案：；
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