题型分类学案：正余弦函数图像与性质（含答案）

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题型分类：正弦函数与余弦函数的图像与性质
【知识归纳】
要点一：基本三角函数表
0














sin
0


1


0


-1


cos 1



0


-1



0


tan 0

1
不
-1
0

1
不
-1
要点二：三角函数图像
1.正余弦函数的图像


2.五点画图法
画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)
画余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)
【五点法作图】
例1.用“五点法”作出下列函数的图象：
　 ，． ，．
【变式1】用“五点法”作出下列函数的图象：
　 ．
【变式2】画出、与y=-sinx的三个图像并对比一下与y=sinx的图像有何不同；
要点三：三角函数图像的性质
y=sinx y=cosx
定义域 (-∞，+∞) (-∞，+∞)
值域 [-1，1] [-1，1]
奇偶性 奇函数 偶函数
单调性 增区间
减区间
增区间
减区间
周期性 最小正周期 最小正周期
最值 当时，
当时， 当时，
当时，
对称性 对称轴
对称中心
对称轴 对称中心
【正余弦图像的性质1-周期性】
例2.求函数其最小正周期
【变式1】求函数的周期
【变式2】已知正弦三角函数图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别为，求该函数的最小正周期
【变式3】求函数其最小正周期
【正余弦图像的性质2-对称性】
例3.函数是图象的一个对称中心是（ 　）
　　Ａ．　　　Ｂ．　 　Ｃ． 　　Ｄ．
答案c；
【变式1】函数的图象（ ）
A．关于原点对称 B．关于点（－，0）对称 C．关于y轴对称 D．关于直线x=对称
答案：B；
【变式2】函数的图象的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
答案：A；
【变式3】如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A；
【正余弦图像的性质3-单调性】
例4.求函数的单调递减区间 。
答案：；
【变式1】的单调递增区间为 。
答案：；
【变式2】函数的单调减区间是 （ ）
A． B．
C． D．
答案：B；
【变式3】的单调递增区间为 。
【正余弦图像的性质4-最值】
例5.已知函数求当时，求的值域．
因为，所以
当=，即时，取得最大值为2；
当=，即时，取得最大值为-1．
【变式】已知函数的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）求在上的取值范围．
【解析】（1）
（2）．
【利用正余弦图像求不等式】
例6.画出正弦函数（x∈R）的简图，并根据图象写出：
（1）时x的集合；
（2）时x的集合。
【思路点拨】用“五点法”作出y=sin x的简图。
【解析】

（1）过点作x轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间与正弦曲线交于、两点，在[0，2π]区间内，时x的集合为。当x∈R时，若，则x的集合为。
（2）过、两点分别作x轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间，它们分别与正弦曲线交于，点和，点，那么当时，x的集合为
或
。
【变式1】已知，解不等式。
【解析】画出函数y=sin x，的图象，画出函数的图象，如下图，两函数的图象交于A、B两点，其中，，故满足的x的取值范围是。

【变式2】
【变式3】在内，使成立的X的取值范围是（ ）
A B C D
答案：D；
要点四：y＝Asin(ωx＋φ)图像的性质
表示一个振动量时，A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，x=0时的相位称为初相.
分析周期：
公式：。注意：分母是，有些题目如果忽略了绝对值就会出错。
求值域求值：
根据x的范围，求出ωx的范围，再求出ωx＋φ的范围，的图像，分析其值域即可。
对称轴、对称中心：
正弦对称轴： 令 ωx＋φ = + kπ (k∈Z)，解得
正弦对称中心：令 ωx＋φ = kπ (k∈Z)，解得
单调性、求单调区间：
（方法1）画图，直接观察；
（方法2）解以下不等式：
正弦单调增区间：2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)，正弦单调减区间：2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)；　
余弦单调增区间：2kπ+π≤ωx＋φ≤2kπ＋2π (k∈Z)，余弦单调减区间：2kπ≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)；
【已知图像求系数】
三角看图写式：
求式子；
观测图像，直接写出振幅A；
利用横座标，计算出周期T；
利用公式，求出；
将图像最值代入式中，求出；最好代最值，因为如果代入其他值，会有两种情况，要判断取舍，容易出问题；
例7.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：D；
【变式1】已知函数图象y=上相邻的最高点与最低点的坐标分别为，求该函数的解析式．
答案：；
【变式2】电流强度（安）随时间（秒）变化的函数，(，，)的图象如右图所示，则当秒时，电流强度是（ ）安。A. B. C. D.

答案：A；
【变式3】已知函数的图象在y轴右侧的第一个最高点为，与x轴在原点右侧的第一个交点，求这个函数的解析式。
答案：；
【变式4】已知函数（，，），在同一周期内的最高点是，最低点为，求f (x)的解析式．
【解析】
由题
又是函数的最大值点，是函数的最小值点
，
又函数最高点为（2，2），即
要点五：三角函数图像的图像变化
1.振幅变换：
(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(02.周期变换：
函数的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍(纵坐标不变).若则可用诱导公式将符号“提出”再作图.决定了函数的周期.
3.相位变换：
函数(其中)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向：“左加右减”).
要点诠释：一般地，函数的图象可以看作是用下面的方法得到的：
(1)先把y=sinx的图象上所有的点向左(>0)或右(<0)平行移动个单位；
(2) 再把所得各点的横坐标缩短或伸长到原来的倍(纵坐标不变)；
(3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0例8.说出下列函数图像是由原式图像如何变化而来：
（1）y=sin(x+)
（2）y=3sin(2x+)
（3）—1
【变式1】说出函数的图像是由y=cosx如何变化而来
【变式2】把函数的图像上每个点的纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的，然后将图像沿X轴负方向平移个单位，所得图像是下列那个函数的图像若先沿X轴负方向平移个单位，然后横坐标缩小为原来的，则变成（ ）
A. B. C. D.
答案：B；
【变式3】已知函数y=f(x),f(x)的图象上每个点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的两倍，然后再将整个图象沿ｘ轴向左平移个单位，得到的曲线与y=sinx的图象相同，则y=f(x)表达式为（ ）
Ａ．y=sin(x－)　　Ｂ．y=sin2(x+) Ｃ．y=sin(x+) Ｄ．y=sin(2x－)
答案：D
【变式4】设，函数的图象向左平移个单位后，得到下面的图像，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：B；
【变式5】函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（ ）
（A）向左平移个单位长度 （B）向右平移个单位长度
（C）向右平移个单位长度 （D）向左平移个单位长度
C由图可知 则 ，又，结合可知 ，即，为了得到的图象，只需把的图象上所有点向右平移个单位长度.
要点六：正切函数图像与性质
y＝tan x
图象
定义域 {x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z
值域 R
周期 最小正周期为π
奇偶性 奇函数
单调性 　 (k∈Z)内递增
例9.函数的图像被平行直线 隔开，与x轴交点的横坐标是 ，与y轴交点的纵坐标是 ，周期为 ，定义域是 ，值域是 。
答案：，，，，，
【变式1】函数y＝3tan(2x＋)的定义域是(　 　)
A．{x|x≠kπ＋，k∈Z} B．{x|x≠π－，k∈Z} C．{x|x≠π＋，k∈Z} D．{x|x≠π，k∈Z}
答案：C；
【变式2】函数y＝tan在一个周期内的图象是(　 　)

答案：A；
【变式3】y＝3tan(－)的单调区间是 。
答案：
.
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