题型分类学案：三角恒等变化（含答案）

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题型分类：三角恒等变化复习
类型一、两角和差公式
记忆方法：正余余正负号同，余余正正符号反。
；
tan(α＋β)＝ tan(α－β)＝
【例1—直接求角度】的值是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
【变式1】已知，，都是第一象限角，求，
答案：；；
【变式2】化简sin（α－β）cosα－cos（α－β）sinα的结果是 （ ）
A．－sinβ B．sinβ C．sin（2α－β） D．cosβ
答案：A；
【变式3】化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得(　 )
A. B．－ C. D．－
答案：A；
　[原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝.]
【变式4】已知,tan α=2，则=_______。
答案：；
【例2—凑角运算】都是锐角，且，，则的值是（ 　　）
A、 B、 C、 D、
答案：C；
【变式1】已知，且均为锐角，则 ．
答案：；
【变式2】已知tan α＝4，cos(α＋β)＝－，α、β均为锐角，求cos β的值．
答案：；
解　∵α∈，tan α＝4，∴sin α＝，cos α＝.
∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－，∴sin(α＋β)＝.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝.
【例3—公式整体运用】已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cosαcosβ的值为(　 　)
A．0　　　　 B.　　 　 C．0或　　 D．0或±
答案：A；
[解析]　由条件得，cosαcosβ－sinαsinβ＝，
cosαcosβ＋sinαsinβ＝－，左右两边分别相加可得cosα·cosβ＝0.
【变式】，,求
【例4—正切的两角和差】
（1）=，则= ； (2) ＝_______.
答案：－；
【变式1】的值为（ ）
A.1 B. C.－ D.
【变式2】已知，，则等于（ 　）
A. 　 B. 　C.　 　D.
类型二、二倍角公式
二倍角公式：
几个重要的变型公式：
；









【例5—二倍角】若tan+ =4,则sin2=（ ）
A． B. C. D.
答案：D；
【命题立意】本题考查三角函数的倍角公式以及同角的三角函数的基本关系式。
【解析】由得， ，即， 所以.
【变式1】已知为第三象限角，，则（ ）
答案：B；

【变式2】若，且，则的值等于（ 　　）．
　A、 　　　B、 　　 C、 　 D、
答案：D；
【变式3】已知sin 2α＝，则＝(　 　)．
A． B． C． D．
答案：A；
解析：由半角公式可得，＝.
【变式4】已知α为第二象限角，，则cos2α=（ ）
(A) （B） (C) (D)
【解析】因为所以两边平方得，所以，因为已知α为第二象限角，所以，，所以=，选A.
【变式5】设sin2α＝－sinα，α∈(，π)，则tan2α的值是_______．
[答案]　
[解析]　本题考查了倍角公式及诱导公式的使用．
sin2α＝2sinαcosα＝－sinα，
∵α∈(，π)，
故cosα＝－，∴α＝π，
tan2α＝tanπ＝tan＝.
类型三、辅助角公式
，其中，；
（1）
，，，
，
所以
（2）
，，，
，
所以
【例6—函数化简】化简式子：
答案：；
【变式1】
答案：；
【变式2】
答案：；
【变式3】sin＋sin的化简结果是(　 　)
A．2sin B．2sin C．2sin D．2sin
[答案]　A
[解析]　sin＋sin＝sin＋sin
＝cos＋sin＝2
＝2＝2sin＝2sin.
【变式4】
答案：
【变式5】
答案：
【例7—数式化简】求的值。
答案：4
【变式】求值：= ．
答案：提示：
类型四、综合化简求值
【例8—三角综合】已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D；
【变式1】已知函数f(x)＝sinx＋acosx的图象的一条对称轴是x＝，则函数g(x)＝asinx＋cosx的最大值是( )
A. B. C. D.
[答案]　B
[解析]　由于函数f(x)的图象关于x＝对称，
则f(0)＝f，∴a＝－－，
∴a＝－，
∴g(x)＝－sinx＋cosx
＝sin，
∴g(x)max＝.
【变式2】当y＝2cos x－3sin x取得最大值时，tan x的值是( )
A. B．－ C. D．4
答案：B；
　[y＝2cos x－3sin x＝＝(sin φcos x－cos φsin x)
＝sin(φ－x)，当sin(φ－x)＝1，φ－x＝2kπ＋时，y取到最大值．
∴φ＝2kπ＋＋x，(k∈Z)
∴sin φ＝cos x，cos φ＝－sin x，
∴cos x＝sin φ＝，sin x＝－cos φ＝－.
∴tan x＝－.]
【变式3】若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值为(　 )
A．1 B．2 C．1＋ D．2＋
答案：B；
　[f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x＝2(cos x＋sin x)＝2sin(x＋)，
∵0≤x<，∴≤x＋<.∴f(x)max＝2.]
【变式4】已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1(x∈R)，则f(x)在区间上的最大值和最小值分别是(　　 ) A．2，－1 B．1，－1 C．1，－2 D．2，－2
答案：A；
　依题意得f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)，当x∈时，2x＋∈，sin∈，因此f(x)在区间上的最大值和最小值分别是2，－1，选A.
【变式5】已知函数的图象的一条对称轴是，则函数 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，∴，∴ ，
，∴，故选B.
【变式6】已知函数的都分图象如图所示．
(1)求的值及图中的值；
(2)将函数的图象上的各点向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．
答案：（1）（2）时，最小值；
【解析】 (1)
．
由题图可知，，又，所以．（4分）
又，所以，所以．（6分）
(2)由可知，将图象上的各点向左平移个单位长度得到的图象，然后将各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍后得到的图象．（8分）
因为，所以．
所以当，即时，取得最大值；
当时，即时，取得最小值．（12分）
【变式7】已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1.
（1）求f的值；
（2）最小正周期 ，单调区间 ，对称轴 ，对称中心 ；
（3）当x∈时，求f(x)的最大值和最小值．
答案：f(x)＝2sin，周期为π，在，；对称轴，对称中心最大值为2，最小值为－1
[解析]　(1)∵f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1
＝sin2x＋cos2x＝2sin，
∴f＝2sin(2×＋)＝2，且函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由x∈可知，≤2x＋≤，
所以，当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值，最大值为2；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最小值，最小值为－1.
【变式8】已知函数
（1）求
（2）单调区间 ，对称轴 ，对称中心 。
（3）当的值域。
解：（1） 2分
4分


6分
（2）
根据正弦函数的图象可得：
当时，
取最大值1 8分
当时
10分

即
【例9—三角图像分析】已知的最大值为A,若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
【变式1】若函数，又，，且的最小值为，则正数的值是（ ） A. B. C. D.
答案：D；
【变式2】已知函数的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．

17．解：（1）由题意可得，即 ，，
．又，由，
,．
，所以，，
又是最小的正数，．
（2），
，，
，
.
【变式3】设f(x)＝asin2x＋bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0.若f(x)≤对一切x∈R恒成立，则
①f＝0；
②<；
③f(x)既不是奇函数也不是偶函数；
④f(x)的单调递增区间是(k∈Z);
⑤存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交．
以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)（式子合并，图像分析）
【答案】 ①③
【解析】 f(x)＝asin2x＋bcos2x＝sin(2x＋φ)，因为对一切x∈R时，f(x)≤恒成立，所以sin＝±1.
故φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－.
故f(x)＝sin，
或f(x)＝－sin.
对于①，f＝sin2π＝0，或f＝－sin2π＝0，故①正确；
对于②，＝＝＝sin，
＝＝
＝sin.所以＝，故②错误；
对于③，由解析式f(x)＝sin，或f(x)＝－sin知其既不是奇函数也不是偶函数，故③正确；
对于④，当f(x)＝sin时，(k∈Z)是f(x)的单调递减区间，故④错误；
对于⑤，要使经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交，则此直线须与横轴平行，且|b|>，此时平方得b2>a2＋b2，这不可能，矛盾，故不存在过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交．故⑤错．
【变式4】函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形。
（Ⅰ）求的值及函数的值域；
（Ⅱ）若，且，求的值。（式子合并）（图像分析）
答案：，，；
【答案】本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式，倍角公式等基础知识，考查基本运算能力，以及数形结合思想，化归与转化思想.
[解析]（Ⅰ）由已知可得：
=3cosωx+
又由于正三角形ABC的高为2，则BC=4
所以，函数
所以，函数。……………………6分
（Ⅱ）因为（Ⅰ）有

由x0
所以，
故

………………………………………………………12分
.
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