六年级上册数学教案 - 第5单元 3 圆的面积 人教版

《圆的面积》教学设计
一、教学内容
新人教版六年级上册第67页内容
二、教材分析：
本节内容是在学生认识了圆, 探索并掌握了平行四边形、三角形、梯形及圆的周长计算公式的基础上进行学习的。“圆面积”的内容是平面图形的认识和测量探索过程中，由“直”变“曲”的关键点，也是数学思想从“有限”进入“无限”的一次飞跃。小学阶段学生以形象直观思维为主，对于抽象的概念不易理解，空间想象能力较弱，因此，这一内容是小学几何教学的一大难点。教学大纲中强调了学习圆面积计算公式的活动性、过程性和探索性, 要让学生充分经历探索圆面积公式的过程, 并在这一过程中, 学习基本的数学思想和方法, 积累数学活动经验。这不仅要求学生灵活运用之前研究直线图形面积时的化归、类比思想，还应在亲身探索活动的过程中感悟“化圆为方”“化曲为直”的分割思路，在观察有限分割的基础上想象它们的极限状态，在曲与直的转化中体会无限逼近的极限思想。
“圆的面积”公式推导方法有多种：将分割后的圆拼合成近似平行四边形、近似长方形、近似三角形、近似梯形等。新人教版教材采用的是将分割后的圆拼合成近似长方形，然后比较近似长方形的长、宽与圆之间的关系，从而推导出圆的面积公式。对于这种方法，学生有一定的基础，容易理解。教材中“在硬纸上画一个圆，把圆分成若干（偶数）等份，剪开后，用近似等腰三角形的小纸片拼一拼，你能发现什么？” 这一问题为学生提供了示范性的研究思想和研究方法。长方形的面积计算是各类图形面积计算的基础和逻辑原点。由于“圆面积公式推导”的特殊性，让学生想象一个“曲线图形”转化成“直线图形”来计算面积有一定的难度。呈现拼合成近似长方形的推导方法，指向性强，目标明确，便于教师教、学生学，并能启发有良好数学思维能力的学生从其他角度探讨圆的面积计算。
三、学情分析
六年级学生自主意识在逐渐増强，有一定的思维能力和学习能力。在学习“圆的面积”之前，学生已经认识圆，知道圆的直径、半径和周长，已经理解面积的概念，掌握长方形、平行四边形、三角形等直线图形的面积公式。对于圆的认识仅停留在再认层面，对其本质属性的认识还不足。多数学生会联想到运用转化的思想来研究圆的面积公式。但由于圆是一个曲线图形，与直线图形的特征不一样，“如何剪”和“如何拼”将是学生思考中的一大疑问，独立研究圆的面积的能力较弱。以直代曲的转化过程和极限思想，对于抽象思维能力较低的小学生来说无疑是一个学习难点。仅通过教师的语言表达出来，学生难以想象、不易感知和理解。为突破这一难点，应充分利用多媒体教学资源，呈现多个等分圆的剪拼过程。通过几何画板逐步呈现多个分割拼组图，为探究圆面积计算公式搭建脚手架。随着圆平均分割块数的增多，研究素材的丰富，学生逐步感知，对图形进行无限细分，拼成的图形就接近长方形的“极限状态”，感受“化曲为直”、“等积变形”、“无限逼近”的数学思想方法，将感性认识进一步上升到理性认识。
四、教学目标
（一）知识与技能
理解并掌握圆面积的计算公式，能运用公式正确进行计算。
过程与方法
利用已有的知识，运用转化的思想，经历探索圆的面积公式的过程，理解圆面积计算公式；
渗透极限、转化、化曲为直的数学思想方法。
情感态度与价值观
体验圆面积公式推导的探索性和结论的确定性。
培养学生认真观察、深入思考的良好思维品质。
五、教学重点
圆面积公式的推导过程
六、教学难点
如何将曲线图形转化成熟悉的直线图形，极限思想的渗透
七、教学过程
（一）谈话导入
师：同学们，关于圆，我们已经知道了什么？
生：知道了圆是曲线图形，这是圆的圆心、半径、直径、围绕圆一周的长度叫做圆的周长。
生：还知道圆的周长计算公式。
师：还想了解什么呢？
师：我们今天就来重点研究圆的面积。
师：先来认识一下数学上是怎样定义圆的面积。
课件出示：圆所占平面的大小叫做圆的面积。
猜一猜：圆的面积可能跟什么有关？
设计意图：开门见山，并让学生直观想象圆的面积可能与半径有关。
（二）唤起经验，引导思路
师：现在请大家回忆一下，我们以前是怎样研究平面图形面积计算公式的。
1.数方格
生：在研究长方形时，我们用1平方厘米的正方形去摆一摆，推导出长方形的面积＝长×宽。
师：我们能不能直接用面积单位去量圆的面积呢？
生：不行，因为它是由曲线围成的。
（课件展示）
师：是啊，今天学习的圆形与以前学习的图形有显著的区别。它是由曲线围成的，用面积单位直接量有困难。
2.转化
师：想一想，以前研究图形的面积时，还用过哪些好办法？
生：研究平行四边形面积的时候，把平行四边形剪拼成长方形，推导出平行四边形的面积公式。
生：研究三角形面积的时候，利用两个完全相同的三角形拼成平行四边形，推导出三角形的面积公式。
生：研究梯形面积的时候，也是利用两个完全相同的图形去拼。
师：这些方法的共同点都是把新的图形转化成已经学过的图形。
3.启发思考
师：既然直接用面积单位去量的方法不太可行，那能不能通过剪一剪、拼一拼等方式将圆转化成某个学过的图形呢？
师：现在思考：将圆转化成什么图形可以求出圆的面积？
师：要解决的难点是：如何化曲为直？
师：我们刚才猜想圆的面积可能跟半径有关系。那下面我们操作试试。
设计意图：初次研究曲线图形的面积，学生可能无从着手。所以，先让学生猜想到圆的面积与半径有关系，再唤起学生的学习经验，在用面积单位（数格子）的方法行不通的情况下，引导学生想到要把圆进行“转化”。
（三）操作想象，突破难点
1.操作指导
在硬纸上画一个圆，沿着半径把圆分成若干（偶数）等份，剪开后，把近似等腰三角形的小纸片拼一拼，你能发现什么？我们试试吧！
想一想：剪拼过程中，转化后的图形与圆之间有什么关系？什么变了？什么没变？
2.初步演示
师：沿着半径，我们把圆平均分成4个同样大小的近似等腰三角形的图形。
师：同学们观察一下，拼成的是什么图形？
生：近似于平行四边形。
师：为什么说近似平行四边形呢，哪里不太像？
生：它的底是由几段弧线组成的，不是直线。
师：我们继续分一分、拼一拼，把圆分成8等份，16等份。
生：拼成的图形也是近似平行四边形。而且更像是平行四边形了，它的底更接近直线。
师：是这样吗？我们再继续分，把圆分成32等份。图形的边更直了，拼出的图形有点接近长方形。
师：同学们，想象一下如果等分的份数越多，拼成的图形会怎样？
生：边会越来越直，拼出的图形会越来越接近长方形。真是个了不起的发现。
师：究竟能分多少份呢？
生：无数份，可以永远分下去。
师：当分割无限细密时，我们可以化曲为直，圆就转化成了长方形。
3.动态演示
师：我们借助几何画板来感受圆无限分割的过程。
课件动态展示：随着等分的份数不断增加，拼成的图形就越接近长方形。使学生初步感知化曲为直、极限等数学思想。
设计意图：有些学生可能不知道“怎么剪”、“如何拼”，通过明确的操作指导，引导学生操作并初步想象圆是如何转化成已学平面图形的。应用数学软件动态展示分割圆、拼成长方形的过程，“圆方互变”，清晰凸显圆面积与长方形面积的内在联系。从中激发学生学习的兴趣，促进学生理解数学本质，体会转化的思想及魅力，改善学生的数学认识信念。
（四）观察发现，推导公式
1.观察联系
师：我们发现了，原来圆确实可以转化成我们以前学过的平面图形，按照我们刚才剪拼圆的方式，我们把圆转化成了长方形。
师：请同学们仔细观察，在这个转化的过程中，什么变了？什么没变？
生：形状变了，图形的大小没变。
师：也就是说，图形的面积是不变的，在数学上，也叫做“等积变形”。那我们要求出圆的面积的话，只需要求出转化后的长方形的面积就可以了。
2.推导公式
师：经过无限分割，把圆转化成长方形后，这个长方形的面积怎样计算呢？我们知道长方形的面积= 长× 宽，那这个长方形的长和宽与原来的圆分别有什么关系呢？
生：长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。
师：现在我们用表示圆的周长, 长方形的长就用表示,长方形的宽用表示，你能推导出圆的面积公式吗？试一试吧！
师：长方形的面积＝长×宽
＝
＝
因为圆的面积等于转化后长方形的面积，如果用表示圆的面积，那么，圆的面积公式可以用字母表示为。
3.深化认识
师: 我们已经总结出了圆面积的计算公式。仔细观察这个公式，知道了什么条件就可以求出圆的面积了呢?
生: 只要知道了圆的半径就可以求出它的面积了。
辨一辨：圆的半径扩大2倍，圆的面积就扩大2倍。
师：这句话是错误的，要注意公式中的平方，圆的半径扩大2倍，圆的面积就应该扩大4倍。
设计意图：理解圆与拼成的长方形之间的内在联系,将“圆的面积”这个对于学生来说比较陌生的概念通过求已知学过的长方形的面积计算方法而间接推导得出，突破了重点，解决了难点。
（五）课堂小结
师：同学们，回顾一下，我们是怎样探究得出圆的面积计算公式的？
生：首先，我们把圆进行分割剪拼，发现可以近似拼成以前学过的平行四边形。当无限分割下去时，我们就把曲线图形圆转化成了已学过的直线图形长方形，这个长方形的长相当于圆的（周长的一半），宽相当于圆的（半径）。进而由旧知识长方形的面积公式推导出了今天所要探究的圆的面积计算公式。
师：在这个过程中，我们运用了以下几个重要的数学思想方法：转化思想（化曲为直、化新知为旧知）、极限思想（无限逼近）。这在往后的学习中也会运用到。
设计意图：系统回顾整个学习活动过程，把探索过程中零散的、初步的认识加以整理和升华。
（六）拓展思考
我们今天的探究方法是把圆剪拼成一个长方形，那如果我们不拼成长方形，而是拼成近似的三角形或梯形，还能推导出圆的面积计算公式吗？有兴趣的同学课后试试吧！
设计意图：启发学生思考，发展学生的学习迁移能力。