新人教版数学八年级上册14.3.2 因式分解之公式法---完全平方公式（21张ppt）

第14章 整式乘除与因式分解

因式分解与整式乘法是两种互逆的变形, 把乘法的完全平方公式

a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
反过来,就得到因式分解的完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
1、完全平方公式
一、探究
2、辨析
左边：① 项数：共三项，即a、b两数的平方项，a、b两数积的2倍。
② 次数：左边每一项的次数都是二次。
③ 符号：左边a、b两数的平方项必须同号。
右边：是a、b两数和（或差）的平方。
当a、b同号时，a2+2ab+b2=(a+b)2
当a、b异号时，a2-2ab+b2=(a-b)2
完全平方式
结构特点

（1） x2-4x+4______________
（2） x2+16 _________________
（3）9m2+3mn+n2_____________________
（4）-y2-12xy+36x2 __________________
（5） -m2+10mn-25n2______________
（6） 9x2+6x_________________________
3、深刻理解
下列各式是不是完全平方式，为什么？
是
不是，缺乘积项
不是，缺乘积项的2倍
不是，平方项异号
不是，只有一个平方项
是
例5 分解因式
16x2+24x+9= (4x)2+2×4x×3+32

(1) 16x2+24x+9
分析：16x2=(4x)2,9=32,24x=2×4x×3
符合完全平方式的特点，是一个完全平方式。即
三、引领示范
a2
+2×
a
×b
+b2
解： 16x2+24x+9
= (4x)2+2×4x×3+32
=(4x+3)2
(2) -x2+4xy-4y2
分析：-x2+4xy-4y2中有两个平方项，且平方项同为“-”，乘积项4xy正好是x与2y的积的2倍，符合完全平方式的结构特点。
解： -x2+4xy-4y2
=-(x2-4xy+4y2）
=- [x2-2×x×2y+(2y)2]
=-(x-2y)2
例6 分解因式
(1) 3ax2+6axy+3ay2
分析：3ax2+6axy+3ay2中，都有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解。
解：3ax2+6axy+3ay2
=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2
(2) (a+b)2-12(a+b)+36
分析：只要把a+b看成一个整体,(a+b)2-12(a+b)+36 就是一个完全平方式。即
解： (a+b)2-12(a+b)+36
= (a+b)2-2×(a+b)×6+62
=(a+b-6)2
(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2×(a+b)×6+62
m2
- 2
×m
×6
+62
现在回头来看看我们上课时提出的问题，快速口算
（1）832+2×83×17+172
（2）1042-2×104×4+42
你看出快速口算的奥妙了吧？你能快速口算了吗？
（1）832+2×83×17+172=(83+17)2=10000
（2）1042-2×104×4+42=(104-4)2=10000
_____+10xy+y2 =(___ +__)2
x2-_____+ ____=( __-3y )2
___+____+16y2= (3x +___ ) 2
____ -36mn+___=(___ - 2n)2
5x
9x2
x
9y2
6xy
25x2
y
4n2
81m2
9m
4y
24xy
1、基础练习
（1）填空
这些等式只给了两个已知项，你能完成这些填空吗？
四、巩固提升
（1）a2+8a+16
（2）-1-a2+2a
（3）xy-8xy2+16xy3
（4）(a+2b)2-6(a2+2ab)+9a2
解:原式=(a+4)2
解:原式=-(1+a2-2a)=-(1-a)2
解:原式=xy(1-8y+16y2)=xy(1-4y)2
解:原式=(a+2b-3a)2=［2(b-a)］2
2、分解因式
=4(b-a)2
（1）已知4X2-px+9是完全平方式，求p的值。
2、 拓展练习
分析：完全平方式中的乘积项是一、二两数乘积的2倍。
解：把4X2-px+9变形为(2x)2+px+32,由完全平方式的意义得，
P= 　　　　
你知道完全平方式中的乘积项是怎样组成的？
2 ×2 ×3
　　12
＝
(2) 分解因式
(x2+y2)2-4x2y2
从整体看，(x2+y2)2-4x2y2符合平方差公式的特点，可先用平方差公式分解，然后再用完全平方式进行分解。
解：(x2+y2)2-4x2y2
=[(x2+y2)+2xy][(x2+y2)-2xy]
=(x+y)2(x-y)2
温馨提示：
*
(1) 已知:a2+b2+2a-4b+5=0,求2a2+4b-3的值。
与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“奏”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解。
3、能力提升
温馨提示：从已知条件可以看出，a2+b2+2a-4b+5
解：由已知可得(a2+2a+1)+(b2-4b+4)=0
即(a+1)2+(b-2)2=0



∴ 2a2+4b-3=2×(-1)2+4×2-3
=7
(2)已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足 a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，试判断△ABC的形状。
温馨提示：将条件a2+2b2+c2-2b(a+c)=0变形为a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，左边与完全平方式十分相似。可将其奏成两个完全平方式的和，然后利用非负数性质就能解决问题了。
考考你
解： ∵ a2+2b2+c2-2b(a+c)=0
∴ a2+2b2+c2-2ab-2bc=0
(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)=0 即
(a-b)2+(b-c)2=0
∴ a-b=0，b-c=0
∴ a=b=c
所以 △ABC是等边三角形
1：如何用符号表示完全平方公式？
a2+2ab+b2=(a+b)2，
a2-2ab+b2=(a-b)2．
2：完全平方公式的结构特点是什么？
四、小结
完全平方式的特点：
1. 必须是三项式（或可以看成三项的）
2. 有两个同号的平方项
3. 有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
1、课堂练习
119页第1-2题
2、课外作业
119页复习巩固第3题、第5题
六、作业
Thank you!