新人教版数学八年级上册14.3.2因式分解之公式法---平方差公式课件（21张ppt）

(共21张PPT)
教学目标
1.理解运用平方差公式分解因式与整式乘法是相反的变形：
a – b (a+b)(a-b)
分解因式
整式乘法
2.学会运用平方差公式分解因式，并且分解到底.
1. 计算：（1）(x+1)(x-1) (2) (y+4)(y-4)
2. 根据1题的结果分解因式：
（1） （2）
=(x+1)(x-1)
=(y+4)(y-4)
平方差公式反过来就是说：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积
a - b = (a+b)(a-b)
因式分解
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a - b
整式乘法
此公式有何特点
(1)左边是二项式,两项均能写成完全平方的形式,且符号相反;
(2)右边是这两个数的和与这两个数的差的积.
a2-b2=(a+b)(a-b)
【例1】把下列各式分解因式：
（1）25－16x2. （2）9a2－b2.
【解析】（1）25－16x2
=52－（4x）2
=（5+4x)(5－4x）.
（2）9a2－b2
=（3a）2－（b）2
=（3a+b)(3a－b）.
【例题】
你能由以上知识分解下列几个多项式吗
解：(1)、p2-16=(p+4)(p-4)
（2）、y2-4=(y+2)(y-2)
─
1
9
─
1
3
─
1
3
(3)、x2- =(x+ )(x- )
【例2】把下列各式分解因式:
（1）9（m+n）2－（m－n）2. （2）2x3－8x.
【解析】（1）9（m +n）2－（m－n）2
=［3（m +n）］2－(m－n)2
=[3(m +n)+(m－n)][3(m +n)－(m－n)]
=（3 m +3n+ m－n)(3 m +3n－m +n）
=（4 m +2n)(2 m +4n）
=4（2 m +n)(m +2n）.
（2）2x3－8x
=2x（x2－4）
=2x（x+2)(x－2）.
有公因式时，先提公因式，再考虑用公式.
1.下列各式能否用平方差公式分解？如果能分解，分解成什么？
①x2+y2
② x2-y2
③ -x2+y2
④ -x2-y2
能，x2-y2=(x+y)(x-y)
能，-x2+y2=y2-x2=(y+x)(y-x)
不能
不能
【跟踪训练】
2.判断下列分解因式是否正确.
（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.
（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1)·(a2－1).
【解析】（1）不正确.
本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中右边还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解.
（2）不正确.错误原因是因式分解不彻底，
因为a2－1还能继续分解成（a+1）（a－1）.
应为a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－1）.
3.分解因式：
（1）x4-y4. （2）a3b-ab.
【解析】(1)x4-y4 =（x2)2-(y2)2
=(x2+y2)(x+y)(x-y).
(2)a3b-ab=ab(a2-1)
=ab(a+1)(a-1).
分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
=(x2+y2)(x2-y2)
例2.把下列各式因式分解
1)、( x + z ) - ( y + z )
2)、4( a + b) - 25(a - c)
3)、4a - 4a
4)、(x + y + z) - (x – y – z )
5)、 a - 2
─
1
2
解：
1.原式=[(x+z)+(y+z)][(x+z)-(y+z)]
=(x+y+2z)(x-y)
解：
2.原式=[2(a+b)] -[5(a-c)]
=[2(a+b)+ 5(a-c)][2(a+b)- 5(a-c)]
=(7a+2b-5c)(-3a+2b+5c)
解：
3.原式=4a(a -1)=4a(a+1)(a-1)
解：
4.原式=[(x+y+z)+(x-y-z)]
×[(x+y+z)- (x-y-z)]
=2 x ( 2 y + 2 z)
=4 x ( y + z )
解：原式= ─(a2-4)
= (a+2)(a-2)
1
2
─
1
2
用平方差公式进行简便计算:
38 -37 2) 213 -87
3) 229 -171 4) 91×89
解：1） 38 -37
=（38+37）（38-37）=75
213 -87
=(213+87)(213-87)
=300×126=37800
解：3） 229 -171
=（229+171）（229-171）=400×58=23200
解：4） 91×89
=（90+1）（90-1）
=90 -1=8100-1=8099
已知，x+ y =7，x-y =5，求代数式 x2- y2-2y+2x的值．
解： x2－y2－2y+2x
=x2－y2＋（2x－2y）
=（x +y）（ x －y ）＋2（x－y）
=（ x －y ）（ x ＋y ＋2）
=5×9=45
例2 若n是整数，证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数．
证明： (2n+1)2-(2n-1)2
=（2n＋1＋2n-1）（2n＋1-2n＋1）
=4n×2
=8n
因为n是整数，所以原式是8的倍数．
1.（杭州·中考）分解因式 m3 – 4m = .
【解析】m3 – 4m =m(m+2)(m-2). 答案：m(m+2)(m-2)
2.(江西·中考)因式分解:2a2－8＝___________.
【解析】 原式=
答案：
3.(珠海·中考)因式分解: =______.
【解析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式；
即ax2-ay2=a（x2－y2）=a（x+y）（x－y）
答案:a(x+y)(x－y)
4.（东阳·中考） 因式分解：x3-x=___.
【解析】x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1).
答案: x(x+1)(x-1)
5.（盐城·中考）因式分解: =______.
【解析】 原式=（x+3）(x-3).
答案:（x+3）(x-3)
6.利用因式分解计算：
1002-992+982-972+962-952+… +22-12.
【解析】原式=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97）+…
+(2+1)(2-1)
=199+195+191+… +3
=5 050.
1.利用平方差公式分解因式: a2－b2=（a+b)(a-b).
2.因式分解的步骤是:首先提取公因式,然后考虑用公式法.
3.因式分解应进行到每一个因式不能分解为止.
4.计算中应用因式分解,可使计算简便.
通过本课时的学习，需要我们掌握：