13.1.2 线段垂直平分线的性质 第1课时 同步练习（含答案）

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13.1.2
线段的垂直平分线的性质
第1课时
线段的垂直平分线的性质与判定
一、知识梳理
1.线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的
与这条线段
相等．几何语言描述：如图，直线l为线段AB的垂直平分线，且垂足为C，则AC＝
，△PAC≌
，PA＝
．
2.如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB＋BD与DE有什么关系？
1题
2题
3题
3．线段垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的
．线段的垂直平分线是到线段两个端点的距离
的点的
．几何语言描述：如图，PA＝PB.①若PC⊥AB，垂足为C，则AC＝
；②若AC＝BC，则PC⊥
．
二、针对训练
1．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是(
)
A．MA＝MB，NA＝NB
B．MA＝MB，MN⊥AB
C．MA＝NA，MB＝NB
D．MA＝MB，MN平分∠AMB
2.如图，AB＝AC，MB＝MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
　
3.如图，AB＝AC＝8
cm，AB的垂直平分线交AC于点D.若△ADB的周长为18
cm，求DC的长．
4.已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=45°，AC=2，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，连接BE，交AD于点F，求BE的长.
5.如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，△BCE的周长为8cm，且AC﹣BC=2cm，求AB、BC的长．
6.如图，已知：在中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P.
7.如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：AD垂直平分EF．
8.如图，已知∠C=∠D=90°，AC与BD交于O，AC=BD．（1）求证：BC=AD；（2）求证：点O在线段AB的垂直平分线上．
答案：
一、知识梳理
1.点，两个端点的距离，BC，△PBC，PB
2.AB＝AC＝CE，AB＋BD＝DE
3.垂直平分线上，相等，集合,BC,AB
二、针对训练
1.C
2.是
3.解：∵DM是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD.
设CD的长为x，则AD＝AC－CD＝8－x.
∵C△ADB＝AB＋AD＋BD＝8＋(8－x)＋(8－x)＝18，
∴x＝3，即CD的长为3
cm.
4.
解：连接BD，∵∠C=90°，∠BAC=45°，AC=2，
∴AB=
.
∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，
∴AD=AB，∠DAB=60°.
∴△ADB是等边三角形.
∴AB=BD.
∵AE=DE，∴BE垂直平分AD.
∴由勾股定理得AF=EF=
，
BF
=
∴BE=EF+BF=
．
∴BE的长为
5.解：∵△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，∴AE=BE，
∵△BCE的周长为8cm，即BE+CE+BC=8cm，
∴AC+BC=8cm…①，
∵AC﹣BC=2cm…②，
①+②得，2AC=10cm，即AC=5cm，故AB=5cm；
①﹣②得，2BC=6cm，BC=3cm．
故AB=5cm、BC=3cm．
6.求证：点P在AC的垂直平分线上.
证明：∵P在AB、BC的垂直平分线上
∴AP=BP，BP=CP
∴AP=CP，
∴P点在AC的垂直平分线上.
7.证：∵AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分EF（三线合一）
8.证明：（1）∵∠C=∠D=90°，
∴在Rt△ACB和Rt△BDA中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA，
∴AD=BC；
（2）∵Rt△ACB≌Rt△BDA，
∴∠CAB=∠DBA，
∴OA=OB，
∴点O在线段AB的垂直平分线上．
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